初中數(shù)學(xué)——找規(guī)律

1、第一講 找規(guī)律【知識梳理】 所謂規(guī)律探索題指的是給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形或是給出與圖形有關(guān)的操作、變化過程，要求通過觀察、分析、推理，探求其中所蘊含的規(guī)律，進而歸納或猜想出一般性的結(jié)論。  常見類型有：（1）數(shù)字猜想型（2）數(shù)式規(guī)律型（3）圖像變化猜想型（4）數(shù)形結(jié)合猜想型（5）坐標(biāo)變化型解題策略：綜合運用比較、猜想、概括、推理等方法；關(guān)鍵是仔細(xì)審題，歸納規(guī)律，合理推測，認(rèn)真驗證，從而得出問題的結(jié)論。知識點1：循環(huán)規(guī)律：一列數(shù)每隔T項就開始循環(huán)，或一列圖形（符號）每隔T個就開始循環(huán)，T叫做循環(huán)周期。如果一列數(shù)或圖形的循環(huán)周期為T，則其第kT+1(k=1,2,3.)項與第

2、1項相同；則其第kT+2(k=1,2,3.)項與第2項相同；則其第kT+3(k=1,2,3.)項與第3項相同；以此類推. 正整數(shù)的n次冪的循環(huán)規(guī)律： 對于任意一個正整數(shù)a，an(n=1,2,3.)的個位數(shù)字必循環(huán)。例如：2n（n=1,2,3.）的個位數(shù)字循環(huán)規(guī)律為：2,4,8,6,2,4,8,6，.，循環(huán)周期為4. 知識點2：不循環(huán)的規(guī)律： 等差數(shù)列：對于一列數(shù)a1,a2,a3,.,如果始終有后面一項減去前面一項是一個固定常數(shù)，那么這列數(shù)就叫等差數(shù)列。此時后一項與前一項的差值稱為公差，通常記為d。對于等差數(shù)列，其第n項為an=a1+(n-1)d,前n項的和為.特別地， 奇數(shù)列：1,3,5,7,

3、9，.是等差數(shù)列，公差為2，第n項為2n-1，前n項和為n2。 偶數(shù)列：2,4,6,8,10，.是等差數(shù)列，公差為2，第n項為2n，前n項和為n2+n。 等比數(shù)列： 對于一列數(shù)a1,a2,a3,.,如果始終有后面一項與前面一項的比值是一個固定常數(shù)，那么這列數(shù)就叫等比數(shù)列。此時后一項與前一項的比值稱為公比，通常記為q。對于等比數(shù)列，其第n項為an=a1qn-1.特別地， 數(shù)列 -1,1，-1,1，-1，.是等比數(shù)列，公比為-1，第n項為(-1)n ； 數(shù)列 1，-1,1，-1，.是等比數(shù)列，公比為-1，第n項為(-1)n+1 ； 數(shù)列 1，0，1，0，1，. 第n項為 ； 平方數(shù)列：1,4,9,

4、16,25，.的第n項為n2 ?！纠}講解】1、 （2015朝陽一模）一組按規(guī)律排列的式子：，其中第7個式子是 ，第個式子是 （用含的式子表示，為正整數(shù)）【鞏固】一組按規(guī)律排列的式子：，其中第n個式子是 2、（2015燕山一模）定義：對于任意一個不為1的有理數(shù)a，把稱為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)為，的差倒數(shù)為記，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，依此類推，則 ； 3、（2013西城一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一只電子青蛙在點A(1,0)處第一次，它從點A先向右跳躍1個單位，再向上跳躍1個單位到達點A1；第二次，它從點A1先向左跳躍2個單位，再向下跳躍2個單位到達點A2；第三次，它從點A2

5、先向右跳躍3個單位，再向上跳躍3個單位到達點A3；第四次，它從點A3先向左跳躍4個單位，再向下跳躍4個單位到達點A4；依此規(guī)律進行，點A6的坐標(biāo)為 ；若點An的坐標(biāo)為（2013，2012），則n= 4、（2010北京）下圖為手的示意圖，在各個手指間標(biāo)記字母A，B，C，D.請你按圖中箭頭所指方向（即ABCDCBABC的方式）從A開始數(shù)連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，4，當(dāng)數(shù)到12時，對應(yīng)的字母是_;當(dāng)字母C第201次出現(xiàn)時，恰好數(shù)到的數(shù)是_；當(dāng)字母C第2n+1次出現(xiàn)時（n為正整數(shù)），恰好數(shù)到的數(shù)是_ （用含n的代數(shù)式表示）。2010北京 5、（2012豐臺）在數(shù)學(xué)校本活動課上，張老師設(shè)計了一個游戲，讓電

6、動娃娃在邊長為1的正方形的四個頂點上依次跳動規(guī)定：從頂點A出發(fā)，每跳動一步的長均為1第一次順時針方向跳1步到達頂點D，第二次逆時針方向跳2步到達頂點B，第三次順時針方向跳3步到達頂點C，第四次逆時針方向跳4步到達頂點C， ，以此類推，跳動第10次到達的頂點是 ，跳動第2012次到達的頂點是 6、（12石景山二模）如圖所示，圓圈內(nèi)分別標(biāo)有1，2，12，這12個數(shù)字，電子跳蚤每跳一步，可以從一個圓圈逆時針跳到相鄰的圓圈，若電子跳蚤所在圓圈的數(shù)字為，則電子跳蚤連續(xù)跳（）步作為一次跳躍，例如：電子跳蚤從標(biāo)有數(shù)字1的圓圈需跳步到標(biāo)有數(shù)字2的圓圈內(nèi)，完成一次跳躍，第二次則要連續(xù)跳步到達標(biāo)有數(shù)字6的圓圈，依

7、此規(guī)律，若電子跳蚤從開始，那么第3次能跳到的圓圈內(nèi)所標(biāo)的數(shù)字為 ；第2012次電子跳蚤能跳到的圓圈內(nèi)所標(biāo)的數(shù)字為 7、（11北京）在上表中，我們把第i行第j列的數(shù)記為（其中i，j都是不大于5的正整數(shù)），對于表中的每個數(shù)，規(guī)定如下：當(dāng)時，；當(dāng)時，。例如：當(dāng)，時，。按此規(guī)定，_；表中的25個數(shù)中，共有_個1；計算的值為_。8、（2013朝陽一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點P從原點O出發(fā)，每次向上平移1個單位長度或向右平移2個單位長度，在上一次平移的基礎(chǔ)上進行下一次平移例如第1次平移后可能到達的點是（0，1）、（2，0），第2次平移后可能到達的點是（0，2）、（2，1）、（4，0），第3次平移后

8、可能到達的點是（0，3）、（2，2）、（4，1）、（6，0），依此類推我們記第1次平移后可能到達的所有點的橫、縱坐標(biāo)之和為l1，l1=3；第2次平移后可能到達的所有點的橫、縱坐標(biāo)之和為l2，l2=9；第3次平移后可能到達的所有點的橫、縱坐標(biāo)之和為l3，l3=18；按照這樣的規(guī)律，l4= ； ln= (用含n的式子表示，n是正整數(shù))9、（2012石景山一模）一個正整數(shù)數(shù)表如下（表中下一行中數(shù)的個數(shù)是上一行中數(shù)的個數(shù)的2倍）： 則第4行中的最后一個數(shù)是 ，第行中共有 個數(shù)，第行的第個數(shù)是 第1行1第2行35第3行79111310、（2013石景山一模）將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：12 34 5

9、 67 8 9 10 按照以上排列的規(guī)律，第5行從左到右的第3個數(shù)為_；第行（3）從左到右的第3個數(shù)為 （用含的代數(shù)式表示）11、 （2013通州一模）定義一種對正整數(shù)n的“F運算”：當(dāng)n為奇數(shù)時，結(jié)果為；當(dāng)n為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中k是使得為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算重復(fù)進行.例如，取，則： ，若，則第2次“F運算”的結(jié)果是 ；若，則第2013次“F運算”的結(jié)果是 .12、（2014年海淀一模）在一次數(shù)學(xué)游戲中，老師在三個盤子里分別放了一些糖果，糖果數(shù)依次為，記為（，）. 游戲規(guī)則如下： 若三個盤子中的糖果數(shù)不完全相同，則從糖果數(shù)最多的一個盤子中拿出兩個，給另外兩個盤子各放一個（若有兩個盤子中的

10、糖果數(shù)相同，且都多于第三個盤子中的糖果數(shù)，則從這兩個盤子字母序在前的盤子中取糖果），記為一次操作. 若三個盤子中的糖果數(shù)都相同，游戲結(jié)束. 次操作后的糖果數(shù)記為（，）（1）若（4，7，10），則第_次操作后游戲結(jié)束；（2）小明發(fā)現(xiàn)：若（4，8，18），則游戲永遠(yuǎn)無法結(jié)束，那么_13、（2012海淀二模）小東玩一種“挪珠子”游戲，根據(jù)挪動珠子的難度不同而得分不同，規(guī)定每次挪動珠子的顆數(shù)與所得分?jǐn)?shù)的對應(yīng)關(guān)系如下表所示：挪動珠子數(shù)（顆）23456所得分?jǐn)?shù)（分）511192941按表中規(guī)律，當(dāng)所得分?jǐn)?shù)為71分時，則挪動的珠子數(shù)為 顆; 當(dāng)挪動n顆珠子時（n為大于1的整數(shù)）, 所得分?jǐn)?shù)為 （用含n的代數(shù)

11、式表示）【課堂練習(xí)】1、（2015東城期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將ABO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到AB1C1的位置，點B,O分別落在點B1,C1處，點B1在x軸上，再將AB1C1繞點B1順時針旋轉(zhuǎn)到A1B1C2的位置，點C2在x軸上，將A1B1C2繞點C2順時針旋轉(zhuǎn)到A2B2C2的位置，點A2在x軸上，依次進行下去若點A（，0），B（0，4），則點B4的坐標(biāo)為 ,點B2014的坐標(biāo)為2、（2015房山期末）拋物線（其中n是正整數(shù)）與x軸交于An、Bn兩點，若以AnBn表示這兩點間的距離，則; ； (用含n的代數(shù)式表示)3、（2015豐臺期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點，其中，我們把點 叫做點P的

12、衍生點.已知點的衍生點為，點的衍生點為，點的衍生點為，這樣依次得到點，如果點的坐標(biāo)為，那么點的坐標(biāo)為_；如果點的坐標(biāo)為，且點在雙曲線上，那么_4、（2015海淀期末）對于正整數(shù)，定義，其中表示的首位數(shù)字、末位數(shù)字的平方和例如：，規(guī)定，（為正整數(shù)）例如：，（1） 求：_，_；（2） 若，則正整數(shù)m的最小值是_5、（2015懷柔期末）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如右圖所示，點A的坐標(biāo)為（1，0），點D的坐標(biāo)為（0，2），延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1C，延長C1B1交x軸于點A2，作正方形A2B2C2C1，按這樣的規(guī)律進行下去，第1個正方形的面積為 ；第n個正方形的面積為

13、 6、（2015門頭溝）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD頂點A（1，1）、B（3，1） 我們規(guī)定“把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向右平移2個單位”為一次變換（1）如果正方形ABCD經(jīng)過1次這樣的變換得到正方形A1B1C1D1，那么B1的坐標(biāo)是 （2）如果正方形ABCD經(jīng)過2014次這樣的變換得到正方形A2014B2014C2014D2014，那么B2014的坐標(biāo)是 7、（2015密云期末）如圖，邊長為1的正方形 放置在平面直角坐標(biāo)系中，頂點與坐標(biāo)原點 重合，點在軸上.將正方形沿軸正方向作無滑動滾動，當(dāng)點第一次落在軸上時，點的坐標(biāo)是_,點經(jīng)過的路徑的總長度是_；當(dāng)點第2014次落

14、在軸上時，點經(jīng)過的路徑的總長度是_.8、 （2015平谷期末）在直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點叫做整點設(shè)坐標(biāo)軸的單位長度為1cm，整點P從原點O出發(fā)，作向上或向右運動，速度為1cm/s當(dāng)整點P從原點出發(fā)1秒時，可到達整點（1,0）或（0,1）；當(dāng)整點P從原點出發(fā)2秒時，可到達整點（2,0）、（0,2）或 ；當(dāng)整點P從原點出發(fā)4秒時，可以得到的整點的個數(shù)為 個當(dāng)整點P從原點出發(fā)n秒時，可到達整點（x,y），則x、y和n的關(guān)系為 9、（2015石景山期末）二次函數(shù)的圖象如圖，點A0位于坐標(biāo)原點，點A1，A2，A3An在y軸的正半軸上，點B1，B2，B3，Bn在二次函數(shù)位于第一象限的圖象

15、上，點C1，C2，C3，Cn在二次函數(shù)位于第二象限的圖象上，四邊形A0B1A1C1，四邊形A1B2A2C2，四邊形A2B3A3C3，四邊形An-1BnAnCn都是菱形，A0B1A1=A1B2A2=A2B3A3=An-1BnAn=120°.則A1的坐標(biāo)為 ；菱形An-1BnAnCn的邊長為 .10、（2015通州期末）如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，A（-2，0），B（0，1），有一組拋物線Ln,它們的頂點Cn（Xn，Yn）在直線AB上，并且經(jīng)過點（Xn+1，0）,當(dāng)n=1，2，3，4，5時，Xn=2,3,5,8,13，根據(jù)上述規(guī)律，寫出拋物線L1的表達式為 ，拋物線L6的頂點坐標(biāo)為 ，拋物

16、線L6與X軸的交點坐標(biāo)為 11、（2015延慶期末）如圖，AD是O的直徑(1)如圖1，垂直于AD的兩條弦B1C1，B2C2把圓周4等分，則B1的度數(shù)是，B2的度數(shù)是；(2)如圖2，垂直于AD的三條弦B1C1，B2C2，B3C3把圓周6等分，則B3的度數(shù)是；(3)如圖3，垂直于AD的n條弦B1C1，B2C2，B3 C3，BnCn把圓周2n等分，則Bn的度數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示Bn的度數(shù)） 圖1 圖2 圖312、（2015燕山期末）在函數(shù)的圖象上有點P1，P2，P3，Pn，Pn+1，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，n，n+1過點P1，P2，P3，Pn，Pn+1分別作x軸、y軸的垂線段，構(gòu)成如圖所示

17、的若干個矩形，將圖中陰影部分的面積從左至右依次記為，則點P1的坐標(biāo)為 ； ； （用含n的代數(shù)式表示）【課后作業(yè)】1、一組按規(guī)律排列的式子：，其中第6個式子是 ，第個式子是 （為正整數(shù)）2、（09東城一模）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為：，按此規(guī)律排列下去，這列數(shù)中的第9個數(shù)是_3、（12西城一模）在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱邊長為1、且頂點的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的正方形為單位格點正方形如圖，在菱形ABCD中，四個頂點坐標(biāo)分別是（8,0），（0,4），（8,0），（0，4），則菱形ABCD能覆蓋的單位格點正方形的個數(shù)是 個；若菱形AnBnCn D n的四個頂點坐標(biāo)分別為（2n,0），（0, n），（2

18、n，0），（0，n）（n為正整數(shù)），則菱形AnBnCn D n能覆蓋的單位格點正方形的個數(shù)為 （用含有n的式子表示）xy8-8-44OABCD4、（2014東城一模）如圖，矩形BCDE的各邊分別平行于x軸或y軸，物體甲和物體乙由點A（2，0）同時出發(fā)，沿矩形BCDE的邊作環(huán)繞運動，物體甲按逆時針方向以1個單位/秒勻速運動，物體乙按順時針方向以2個單位/秒勻速運動，則兩個物體運動后的第2次相遇地點坐標(biāo)是 ；第2014次相遇地點的坐標(biāo)是 5、（2013石景山一模）小涵設(shè)計了一個走棋游戲：在平面直角坐標(biāo)系中，棋子從點出發(fā)，第1步向上走1個單位，第2步向上走2個單位，第3步向右走1個單位，第4步向上走1個單位，第5步向上走2個單位，第6步向右走1個單位，第7步向上走1個單位依此規(guī)律走棋（1）當(dāng)走完第8步時，棋子所處位置的坐標(biāo)為_；（2）當(dāng)走完第100步時，棋子所處位置的坐標(biāo)為_6、（2013西城一模）如圖，數(shù)軸上，點A的初始位置表示的數(shù)為1，現(xiàn)點A做如下移動：第1次點A向左移動3個單位長度至點，第2次從點向右移動6個單位長度至點，第3次從點向左移動9個單位長度至點，按照這