】小撓度曲線微分方程

1、小撓度曲線微分方程忽略剪力對(duì)變形的影響，梁平面彎曲的曲率公式為： （a）式（a）表明梁軸線上任一點(diǎn)的曲率與該點(diǎn)處橫截面上的彎矩成正比，而與該截面的抗彎剛度成反比。如圖7-2所示。而梁軸線上任一點(diǎn)的曲率與撓曲線方程之間存在下列關(guān)系：（b）將上式代入式（a），得到 （c） 小撓度條件下，式（c）可簡(jiǎn)化為： （d） 在圖7-3所示的坐標(biāo)系中，正彎矩對(duì)應(yīng)著的正值（圖7-3a），負(fù)彎矩對(duì)應(yīng)著 的負(fù)值（圖7-3b），故式（d）左邊的符號(hào)取正值 （7-1）式（7-1）稱為小撓度曲線微分方程，簡(jiǎn)稱小撓度微分方程。顯然，小撓度微分方程僅適用于線彈性范圍內(nèi)的平面彎曲問(wèn)題。 用積分法求梁的位移將式（7-1）分別對(duì)x

2、 積分一次和二次，便得到梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程： （a） （b）其中C、D為積分常數(shù)，由邊界條件和連續(xù)條件確定。 對(duì)于載荷無(wú)突變的情形，梁上的彎矩可以用一個(gè)函數(shù)來(lái)描述，則式（a）和（b）中將僅有兩個(gè)積分常數(shù)，由梁的邊界條件（即支座對(duì)梁的撓度和轉(zhuǎn)角提供的限制）確定。兩種典型的邊界條件如圖7-4所示。 對(duì)于載荷有突變（集中力、集中力偶、分布載荷間斷等）的情況，彎矩方程需要分段描述。對(duì)式（a）和（b）必須分段積分，每增加一段就多出兩個(gè)積分常數(shù)。由于梁的撓度曲線為一連續(xù)光滑曲線，在分段點(diǎn)處，相鄰兩段的撓度和轉(zhuǎn)角值必須對(duì)應(yīng)相等。于是每增加一段就多提供兩個(gè)確定積分常數(shù)的條件，這就是連續(xù)條件?！纠?-1】

3、懸臂梁受力如圖7-5所示.求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程,并確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度。【解】首先建立如圖所示之范圍內(nèi)無(wú)載荷突變,故梁全長(zhǎng)上的彎矩方程為(a)撓度曲線微分方程為 (b)將上式積分一次,得 (c)圖7-5再積分一次,得 (d)利用約束條件,可確定上述方程中的積分常數(shù)C、D。對(duì)于固定端截面，其轉(zhuǎn)角和撓度均為零，即將其代入方程（c）和（d），解得C=0, D=0于是該梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為(e)(f)撓曲線的形狀如圖7-5中虛線所示。與均發(fā)生在自由端處,由式(e)、（f）求得即 即 所得的為負(fù)值,說(shuō)明截面B作順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)；為負(fù)值,說(shuō)明截面B的撓度向下。【例7-2】簡(jiǎn)支梁在左端支座處承受

4、集中力偶作用,如圖7-6所示.求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程,并確定和 ?！窘狻拷⒆鴺?biāo)系,并寫出梁的彎矩方程可以發(fā)現(xiàn),它與上例中梁的彎矩方程完全相同,因此在的范圍內(nèi),梁的撓度曲線微分方程及其積分也必然相同.于是有(a)圖7-6(b)所不同的是,二者的約束條件不同。因而,積分常數(shù)與上例也有所區(qū)別。本例中，A、B兩處分別為鉸支座和輥軸支座，兩處的撓度均為零，但截面的轉(zhuǎn)角不為零。于是有將其代入(a)、(b)二式，解得 于是，得到梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為 (c) (d)撓曲線的大致形狀如圖7-6中的虛線所示.將和分別代入式(c),便得到A、B兩支座處截面的轉(zhuǎn)角分別為 故=,發(fā)生在A支座處。為求最大撓度

5、，可令,由此解得,此即最大撓度截面的位置.將其代入式(d),求得 而梁跨度中點(diǎn)的撓度為 比較最大撓度和跨中撓度,可以看出,兩者的位置相差,而兩者撓度值僅相差3%。故工程中為簡(jiǎn)化計(jì)算，常以跨中撓度代替最大撓度。比較上面兩例中的梁，不難發(fā)現(xiàn)，因二者的受力（彎矩）和抗彎剛度都完全相同，故它們的撓曲線形狀也相同，但由于約束條件不同，二者撓曲線的最終位置便不完全相同。這是因?yàn)閺澗睾涂箯潉偠戎粵Q定了撓度曲線的形狀，而梁的位移還要取決于梁的約束條件。約束條件對(duì)撓曲線的影響是通過(guò)積分常數(shù)體現(xiàn)的?！纠?-3】簡(jiǎn)支梁AB受力如圖7-7所示(圖中a b)。求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并確定撓度的最大值?！窘狻苛旱闹ё?/p>

6、反力及所選坐標(biāo)系均示于圖中。由于集中力加在兩支座之間，彎矩方程在AC、CB兩段中互不相同，所以應(yīng)分段建立撓度曲線微分方程。AC段 圖7-7(a)CB段 (b)將上述（a）、（b）式積分后得 (c) (d) (e) (f)確定四個(gè)積分常數(shù)（、）需要四個(gè)邊界條件。在支座A和B處可提供的約束條件為 (g)在彈性范圍內(nèi)加載時(shí)，梁的撓曲線是一條連續(xù)光滑的曲線。因此，在AC和CB段的分段處，兩段的撓度與轉(zhuǎn)角必須對(duì)應(yīng)相等，即 (h)此即連續(xù)條件。將（g）和（h）式代入（c）、（d）、（e）、（f）各式，求得 于是梁AC和CB段的轉(zhuǎn)角和撓度曲線方程分別為 (i)(j)(k) (l) 為求,令(由于假設(shè)ab,可以判斷出將發(fā)生在AC段內(nèi)),解得 (m)將值代入式(k)得 由式(m)可以看出,當(dāng)載荷P無(wú)限靠近支座B時(shí),即b時(shí),則 這說(shuō)明,即使在這種極限情況下,梁最大撓度的所在位置仍與梁的中點(diǎn)非常接近.因此可以近似地用梁中點(diǎn)處的撓度來(lái)代替梁的實(shí)際最大撓度。以代入式(k),求