空間兩條直線地位置關(guān)系

1、空間兩條直線的位置關(guān)系知識點(diǎn)一空間兩條直線的位置關(guān)系1異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩直線叫做異面直線。特點(diǎn)：既不相交，也不平行。理解：“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”，指這兩條直線永不具備確定平面的條件，因此，異面直線既不相交，也不平行，要注意把握異面直線的不共面性。 “不同在任”也可以理解為“任何一個(gè)平面都不可能同時(shí)經(jīng)過這兩條直線”。 不能把異面直線誤解為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線.也就是說，在兩個(gè)不同平面內(nèi)的直線，它們既可以是平行直線，也可以是相交直線.2空間兩條直線的位置關(guān)系相交在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行一一在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面一一不同在任何個(gè)平面內(nèi)，沒有

2、公共點(diǎn).例1、正方體 ABCD A1B1C1D1中，M、N分別為棱 C1D1、C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié) 論： 直線AM與CC1是相交直線； 直線AM與BN是平行直線；直線BN與MB1是異面直線； 直線AM與DD1是異面直線.其中正確的結(jié)論為.（注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上）答案：例2、異面直線是指. 空間中兩條不相交的直線；分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線；平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線；不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線. 變式1、一個(gè)正方體中共有 對異面直線.知識點(diǎn)二平行直線1公理4 :平行于同一條直線的兩條直線互相平行付號表示：a / bb/ c =a/ c2. 等角定理：如果一

3、個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角D田DD相等例3、如圖在長方體 ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F分別為AB、BC 的中點(diǎn)，求證：EF / A1C1.變式1、如圖E、F、G、H是平面四邊形 ABCD四邊中點(diǎn)，四邊形 EFGH的形狀是平行四 邊形嗎？為什么？如果將 ABCD沿著對角線BD折起就形成空間四邊形 ABCD，那么四邊形知識點(diǎn)三異面直線1、異面直線的畫法：為了充分顯示出它們既不平行又不相交的特點(diǎn)，常常需要以輔助平面作為襯托，以加強(qiáng)直觀性，如下圖（I），若畫成如下圖（2）的情形，就分不開了，千萬不能畫成（2）的圖形。畫平面襯托時(shí)，通常畫成下圖中的情形。2、

4、異面直線的判定異面直線判定定理：過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.判定兩條直線為異面直線的常用方法有： 定義法：不同在任一平面內(nèi)的兩條直線. 定理法：過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線為異面直線. 推論法：一條異面直線上兩點(diǎn)與另一條異面直線上兩點(diǎn)所連成的兩條直線為異面直線. 反證法：反證法是證明立體幾何問題的一種重要方法，證明步驟有三步：一是提出與結(jié)論相反的假設(shè)；二是由此假設(shè)推出與題目條件或某一公理、定理或某一已 被證明是正確的命題相矛盾結(jié)果；三是推翻假設(shè)，從而肯定與假設(shè)相反的結(jié) 論，即命題的結(jié)論成立，3、異面直線所成的角a與b是

5、異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)0,作直線a'/ a, b b，直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線 a, b所成的角如下圖所示.異面直線所成角 二的范圍是0°< 90°為了求異面直線a, b所成的角，可以在空間中任取一點(diǎn)O,為了簡便，點(diǎn)O常常取這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置的點(diǎn)，如線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)或異面直線連線中點(diǎn)，也可以是異面直線中某一條上的一個(gè)特殊點(diǎn)將這個(gè)角放入某個(gè)三角形中計(jì)算這個(gè)角的大小，若該三角形是直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，便易求此角的大小(3) 我們規(guī)定：兩條平行直線所成的角為0。角，兩條相交直線所成的角為這兩條相交直線所成的四個(gè)角中的銳角(或

6、直角)，因此在空間中的兩條直線所成的角的范圍為(0° ，90° ;特別地，若兩異面直線所成角為90 °，則稱兩異面直線互相垂直；(4) 求異面直線所成角的一般步驟是： 構(gòu)造 恰當(dāng)?shù)剡x擇一個(gè)點(diǎn)，用平移法構(gòu)造異面直線所成的角. 證明 證明中所作出的角就是所求異面直線所成的角， 計(jì)算 通過解三角形(常用余弦定理)等知識，求中所構(gòu)造的角的大小， 結(jié)論 假如所構(gòu)造的角的大小為 ，若0°< 90°，則即為所求異面直線所成角的大??；若90°<180 °，貝U 180° ot即為所求。例 5、已知平面：.1 =1，直線

7、 a 二：*,a l=P,直線 b|，,b/l ,例6、如圖所示，正方體M、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，問:求證：直線a和b是異面直線.(1)AM和CN是否是異面直線？說明理由； (2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理 由.解：(1)不是異面直線.理由如下：/ M、N 分別是 A1B1、B1C1 的中點(diǎn)， MN / A1C1.又A1A 一D1D，而 D1D C1C, A1A 丄C1C, A1ACC1為平行四邊形， A1C1 / AC,得到 MN / AC , A , M , N , C 在同一個(gè)平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線.(2)是異面直線.理由如下：假設(shè) D1B與CC1在同一個(gè)

8、平面 D1CC1內(nèi)，貝U B 平面 CC1D1 , C 平面 CC1D1 , BC?平面CC1D1，這與BC是正方體的棱相矛盾，.假例7、如圖2. 1. 218,已知不共面的三條直線 a, b, c相交于點(diǎn)P, A a, B a, C b, D c,求證：AD和BC是異面直線.證法一：（反證法）：假設(shè)AD和BC共面，所確定的平面為 a，那么點(diǎn)P、A、B、C、 D都在平面a內(nèi)，直線a、b、c都在平面a內(nèi)，與已知條件 a、b、c不共面相矛盾. AD與BC是異面直線.證法二：（直接用判定定理）： an c= P, a和c確定一個(gè)平面，設(shè)為 3，巳知C.-一平面3 , B平面3 , AD 平面B ,

9、BAD, AD和BC是異面直線.變式1、如圖2. 1 . 2 19, a, b是異面直線，A、B a, C、D b, E、F分別為線段 AC和BD的中點(diǎn)，判斷直線 EF和a的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.答案：EF和a是異面直線，可用反證法證明.例8、正方體ACi中，E, F分別是A1B1, BQ 的中點(diǎn)，求異面直線 DB1與EF所成角的大 小。變式1、空間四邊形 ABCD中，E、F分別是對角線 求直線EF與直線AD所成的角。BD、AC 的中點(diǎn)，若 BC = AD = 2EF,例9、直三棱柱 -中，若丄-，二二-,則異面直線-匚與亠二一所成的角等于A. 30°B. 45°C.

10、60°D. 90°解：C變式1、已知空間四邊形 ABCD各邊長相等，求異面直線AB和CD所成 的角的大小.解：異面直線 AB CD成 90°角.鞏固練習(xí)：一、判斷題1. 若三條直線兩兩平行，則這三條直線必共面.（）2. 互不平行的兩條直線是異面直線.（）二、單選題1. 關(guān)于異面直線，有下列 3個(gè)命題： 分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩直線是異面直線 平面內(nèi)的一直線與平面外的一直線是異面直線 都不在某一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線其中真命題的個(gè)數(shù)是A . 0 B . 1 C . 2 D . 32. 直線a、b是兩條異面直線，A、B與C、D分別為直線a、b上不同的點(diǎn)，則直線 A

11、C與 BD的關(guān)系是A .可能相交B .可能平行C.異面D .相交或異面3. 兩條異面直線指的是A .在空間不相交的兩條直線B .分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線C. 一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線D .不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線4. 下列命題中，真命題的是A .兩兩相交的三條直線共面B .兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線共面C.不共面的四點(diǎn)中可以有三點(diǎn)共線D .邊長相等的四邊形一定是菱形5. 空間兩條互相平行的直線，指的是A .在空間沒有公共點(diǎn)的兩條直線B .分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線C .位于同一平面內(nèi)且沒有公共點(diǎn)的兩條直線D .分別與第三條直線成等角的兩條直線6. 平面M、N

12、相交于EF,A.異面 B .平行7. 直線a和b是異面直線，A .異面 B.不異面分別在平面C.相交直線 c / a,C.相交M、N內(nèi)作/ EAC= / FBD，貝U AC和BD的關(guān)系是D.不確定那么b與c8. 如果一條直線和兩條異面直線都相交，那么它們可確定A .9. 若A .4個(gè)平面 B . 3個(gè)平面 C. 2個(gè)平面 D. 1個(gè)平面 m和n是異面直線，n和I也是異面直線，則當(dāng)m Q I= $時(shí)，m與I異面B . m A I= $當(dāng)m與I共面時(shí)，m /ID . m與I相交、異面、平行都可能）C .10 .若P是兩條異面直線I、m外的任意一點(diǎn)，貝U （ A .過點(diǎn)B .過點(diǎn)C.過點(diǎn)D .過點(diǎn)P

13、有且僅有一條直線與 P有且僅有一條直線與 P有且僅有一條直線與 P有且僅有一條直線與I、I、I、I、m都平行m都垂直m都相交m都異面D.異面或相交11.過正方體 ABCD A1B1C1D1 相等，這樣的直線I可以作（A. 1條的頂點(diǎn)A作直線I，使I與棱AB , AD , AA1所成的角都 ）B . 2條 C . 3條 D . 4條1. “直線a、b異面”的否定說法是“ ”.2. 不平行的兩條直線的位置關(guān)系是 .3. “直線a、b相交”的否定說法是“ ”.4. 過已知直線外一點(diǎn)，可以作 條直線與已知直線垂直.5. 分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是 .6. 已知直線a和b是異面直線，直線 c

14、和a平行而不和b相交，則c和b的位置關(guān)系是7. 直線a、b確定一個(gè)平面，則 a、b的位置關(guān)系是 .8. “直線a、b異面”還可以說成“直線a、b既不，又不”.9. 空間有三條直線 a、b、c,如果b丄a, c丄a,那么直線b、c的位置關(guān)系是 10. 和兩條異面直線中的一條相交的直線與另一條直線的位置關(guān)系是.11. 已知直線a、b、c滿足a/ b, b與c是異面直線，則a與c的位置關(guān)系是 12. 正方體ABCD A1B1C1D1中，與側(cè)面對角線 AD1成異面直線的棱共有 條，它們分別是.13. 正方體 ABCD A1B1C1D1中，與棱 AB成異面直線的棱共有 條，它們分別是14.正方體的12條

15、棱中，互為異面直線的有 對.答案一、判斷題1. X 2. X二、單選題1. A 2. C 3. D 4. B 5. C 6. D 7. D 8. C 9. D 10.B11.D三、填空題1. a、b共面 2.相交或異面3. a、b不相交或a、b無公共點(diǎn)4. 無數(shù) 5.平行或相交或異面6.異面 7.相交或平行8.相交，平行9. 平行或相交或異面10.相交或平行或異面11.相交或異面12. 6; BC , B1C1 , BB1 , CC1 , DC , A1B1 13. 4; A1D1 , B1C1 , CC1 , DD114. 24空間兩條直線的位置關(guān)系1.已知直線a,b都在平面:夕卜，則下列推

16、斷錯(cuò)誤的是（）A. ab,b ： = a ：b. a _ b,b . ： a/-C. a / ： ,b / ： = a / bD. a _ ： , b .匚 一 a/b【答案】C2. 已知直線I /平面a, Pa，那么過點(diǎn)P且平行于I的直線（）A. 只有一條，不在平面 a內(nèi)B. 只有一條，在平面 a內(nèi)C. 有兩條，不一定都在平面 a內(nèi)D. 有無數(shù)條，不一定都在平面a內(nèi)【答案】B3. 下列命題正確的是（）A. 若兩條直線與同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B. 若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面C. 若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行

17、D. 若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行【答案】C4. 下列四個(gè)條件中，能確定一個(gè)平面的是（A. 一條直線和一個(gè)點(diǎn)B.C.空間任意三點(diǎn)D.【答案】D5. 在平整的地面上任意放一根筆直的鋼管（ ）A. 平行B.相交C.異面D.垂直【答案】D6. 平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系（A.平行 B .相交 C .異面 D）空間兩條直線兩條平行直線,則在地面上必存在直線與鋼管所在的直線）平行、相交或異面【答案】D7.下列命題中，錯(cuò)誤的是（）A. 三角形的兩條邊平行一個(gè)平面，則第三邊也平行于這個(gè)平面.B. 平面 a /平面3 , a二a,過B內(nèi)的一點(diǎn)B有惟一的一條直線 b,使b/ a.C.

18、a/3, y3, a、 3、丫、S 的交線為 a、b、c、d,貝 U a / b / c/ d.D. 條直線與兩個(gè)平面所成角相等，則這兩個(gè)平面平行.【答案】D8. 直線m不平行于平面：，且m二：，則下列結(jié)論成立的是（）a.內(nèi)所有直線與 m異面 B .:-內(nèi)不存在與 m平行的直線c. 內(nèi)存在唯一的直線與 m平行 D .:-內(nèi)的直線與 m都相交【答案】B9. 正三棱錐P-ABC勺高為2，側(cè)棱與底面所成的角為 45°，則點(diǎn)A到側(cè)面PBC勺距離是（A. , 5B.2 2 C. 、2 D.【答案】D10.在棱長為1的正方體 ABCABCD中，M和N分別是 AiBi和BB的中點(diǎn)，那么直線 AM與

19、CN所成角的余弦值是（)31032A.2 B .10 C.5 D .5【答案】D11. 已知直線l, m，平面:-3：,，且丨丨，' , m .,給出下列四個(gè)命題：若、£/，則 I _ m ；若 I _ m，則、£ / -；若：£.，則 I / m;若 I / m，則I !：:-其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A. 1 B . 2 C . 3 D . 4【答案】B12. 設(shè)m、n是兩條不同的直線，:- > 一：是兩個(gè)不重合的平面，給定下列四個(gè)命題:若m _ n , n:一，則m二s ； 若a二s , a二，則鳥丄一：；若 m _ ： , n _，貝y m n

20、；若 m 二：丄，n - r- , :- /'則 m / n.其中真命題的是（）A.和B.和C.和D.和【答案】B13.如圖，在正四棱柱 ABCDAB1GD1中，E, F分別是AB , BG的中點(diǎn),論中不成立的是（）則以下結(jié)D1CA. EF與BB1垂直B. EF與BD垂直 C . EF與CD異面 DEF與AG異面【答案】DJl TL14.異面直線a、b, a丄b, c與a成30°角，則c與b成角的范圍是（）6 2A.B.I一-三16333B. D.【答案】A15.在正方體AiBQD ABCD中，AC與BD所成的角的大?。ǎ㎎I A.B.兀64JiJIC.D.32【答案】D16

21、. 已知空間直角坐標(biāo)系中，0為原點(diǎn)，A（0, 0,3）,B（0,4,0）, C（5,0, 0）則經(jīng)過O A、B C四點(diǎn)的球的體積為（）A. 50二 B. 125 2 ". 1°°° 2 二 D. 25 二334【答案】B17. 設(shè)m,n是兩條不同直線是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題若 m：_, n/：,貝 Um/n m_：, n_ :, m _n,則:-:若 > "-n, m/n,則m/：，且m/ ：若 m _ ：, m _ :,則:/ :其中正確的命題是（）A.B.C.D.【答案】D18.已知直線l和平面： , ,（)A.若 I /

22、：,：.，則 l .1B.若l/ : ,:- / ，則 l / 一：C.若 I / ：,l - ，則:-/ 1D.若l丄：，1 二：，則二丄 1【答案】D19.在下列條件下，可判斷平面 :與平面-平行的是（）A. a、3都垂直于平面 丫B. a內(nèi)不共線的三個(gè)點(diǎn)到3的距離相等C. l,m 是a內(nèi)兩條直線且I / 3 ,m / 3D. l,m 是異面直線,且 I /a ,m / a ,l / 3 ,m / 3【答案】D20. 設(shè)m, n是空間兩條不同直線，-：打-是空間兩個(gè)不同平面，當(dāng)m二:J n二，時(shí)，下列命題正確的是A.若 m 二 n，則 一：>B.若 m _ n，則爲(wèi)丄：C.若 m_

23、:，貝 U m_nD.若 n_>,貝 U m_：【答案】C21. 已知直線|、m,平面八一：，則下列命題中:若:./ 1 , | 二 X ,則 | / 若：_：, ：,則 | / :若 l / ： , m 二很，則 l / m 若：_：,： - : = l , m _ l ,則 m _ :，其中真命題有（）A. 0個(gè) B 1個(gè) C 2個(gè) D 3個(gè)【答案】B22.如圖1所示，在正方形 ABCDK E、F分別是BC CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿 AE AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使 B、C D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為 H,如 圖2所示，那么，在四面體 AEFF中必有（）E圖1

24、圖？A. AHLA EFH所在平面 B AGT EFH所在平面C. HFLA AEF所在平面 D HGLA AEF所在平面【答案】A23.如圖，平行四邊形 ABCD中, AB丄BD沿BD將 ABD折起，使面 ABDL面BCD連接AC, 則在四面體ABCD的四個(gè)面中，互相垂直的平面的對數(shù)為（）A. 1 B 2 C 3 D 4【答案】C24.棱長為1的正方體 ABCD-ABCD中，點(diǎn)M,N分別在線段 AB,BG上,且AM=BN給出以下結(jié) 論：AA1丄MN異面直線 AB,BG所成的角為60°1 四面體B1-D1CA的體積為一3 A1CLAB1,AQ丄BC,其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為A. 4 B

25、3C. 2D. 1【答案】A25. 已知一平面平行于兩條異面直線，一直線與兩異面直線都垂直，那么這個(gè)平面與這條直線的位置關(guān)系是（）A.平行B .垂直 C .斜交D .不能確定【答案】B26. 已知兩個(gè)不重合的平面 :-/，給定以下條件： 內(nèi)不共線的三點(diǎn)到一：的距離相等；l,m是：.內(nèi)的兩條直線，且l/1,m/1 ； l, m是兩條異面直線，且l/，l/：,m/，m/：;其中可以判定:-/ /!：；的是()A.B.C.D.【答案】D27.如圖所示，在空間四邊形 ABCDK AB= BC CD= DA E、F、G分別為CD DA和 AC的 中點(diǎn).求證：平面 BEFL平面BGD【答案】 AB= BC

26、, CD= AD G是 AC的中點(diǎn)，二 BGLAC DGL AC AC±平面BGD又EF/ ACEF丄平面BGD又EF?平面BEF二平面 BDGL平面BEF28. 已知三條不重合的直線 m, n,l ,兩個(gè)不重合的平面 ，：，有下列命題：若 l / / ：, m / 廠，且/ /1 ,則 l /m 若 l鳥，m. I,且 l / /m ,則/若 m 二 x,n 二：；，m/ :, n/ ：,則/ ：若_ ：,門：=m, n匚,n _ m ,則n _ :其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A. 4 B . 3 C . 2 D . 1【答案】C29. 若M N分別是 ABC邊AB AC的中點(diǎn)，MN與過直線BC的平面B的位置關(guān)系是（）A.MN/ 3B.MN與 3 相交或 MN= 3C. MN/ 3 或 MN_ 3D. MN/ 3 或 MN與 3 相交或 MN_ 3【答案】C30. 空間三條直線互相平行，由每兩條平行線確定一個(gè)平面，則可確定平面的個(gè)數(shù)為（）A. 3B. 1 或 2C. 1 或 3D. 2 或 3【答案】C31. 已知兩個(gè)不同的平面 a,卜和兩條不重合的直線 m,n,則下列四種說法正確的為 （）A、若 mil n,n 二 a,貝V m a B、若 m± n,m 丄 a,貝V n aC、若m a , n二卜，a /