平面向量四心問題(最全).(匯編)

1、精品文檔近年來，對于三角形的“四心”問題的考察時有發(fā)生，尤其是和平面向量相結(jié)合來考察很普遍，難度上偏向中等，只要對于這方面的知識準備充分，就能應(yīng)付自如 . 下面就平面向量和三角形的“四心”問題的類型題做一闡述：一、重心問題三角形“重心”是三角形三條中線的交點， 所以“重心”就在中線上 .例 1已知 O是平面上一定點， A，B，C 是平面上不共線的三個點，動點P 滿足：，則 P 的軌跡一定通過 ABC的（）外心內(nèi)心C重心D垂心解析：如圖1，以 AB， AC為鄰邊構(gòu)造平行四邊形ABCD， E 為對角線的交點，根據(jù)向量平行四邊形法則，因為，所以，上式可化為，E 在直線 AP上，因為 AE為的中線，所

2、以選 C.點評：本題在解題的過程中將平面向量的有關(guān)運算與平行四邊形的對角線互相平分及三角形重心性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合.二、垂心問題三角形“垂心”是三角形三條高的交點，所以“垂心”就在高線上.例 2P 是 ABC所在平面上一點，若，則 P 是 ABC的（） .精品文檔精品文檔A外心B 內(nèi)心C 重心D 垂心解析:由.即.則，所以 P為的垂心 .故選 D.點評：本題考查平面向量有關(guān)運算，及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關(guān)知識 . 將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運算及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直” 等相關(guān)知識巧妙結(jié)合 .三、內(nèi)心問題三角形“內(nèi)心”是三角形三條內(nèi)角平分線

3、的交點，所以“內(nèi)心”就在內(nèi)角平分線線上.例 3已知 P 是 ABC所在平面內(nèi)的一動點，且點P 滿足，則動點P 一定過 ABC的 .A、重心B 、垂心C 、外心D 、內(nèi)心解析：如圖2 所示，因為是向量的單位向量設(shè)與方向上的單位向量分別為，又，則原式可化為，由菱形的基本性質(zhì)知 AP平分，那么在中， AP平分，則知選 B.精品文檔精品文檔點評：這道題給人的印象當(dāng)然是“新穎、陌生”，首先是什么？想想一個非零向量除以它的模不就是單位向量？此題所用的都必須是簡單的基本知識，如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，若十分熟悉， 又能迅速地將它們遷移到一起，這道題就迎刃而解了.四、外

4、心問題三角形“外心”是三角形三條邊的垂直平分線的交點，所以“外心”就在垂直平分線線上 .例 4 已知 O是 ABC內(nèi)的一點，若，則 O是 ABC的.A重心B. 垂心C. 外心D.內(nèi)心解析：，由向量模的定義知到的三頂點距離相等. 故是的外心，選 C.點評：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合三角形的“四心”與平面向量向量本身是一個幾何概念，具有代數(shù)形式和幾何形式兩種表示方法，易于數(shù)形結(jié)合， 而且向量問題在進行數(shù)形結(jié)合時具有新形式、 新特點， 因此可稱為高中數(shù)學(xué)的一個交匯點。 三角形的“四心” （外心、內(nèi)心、重心、垂心）是與三角形有關(guān)的一些特殊點，各自有一些特殊的性質(zhì)。

5、在高考中，往往將“向量作為載體”對三角形的“四心”進行考查。這就需要我們在熟悉向量的代數(shù)運算的基礎(chǔ)上讀懂向量的幾何意義。與三角形的“四心”有關(guān)的一些常見的重要的向量關(guān)系式有：設(shè)0,設(shè)0,，則向量，則向量( ABAC ) 必平分 BAC，該向量必通過 ABC的內(nèi)心 ;ABAC( ABAC ) 必平分 BAC的鄰補角ABAC精品文檔精品文檔設(shè)0,，則向量(ABAC) 必垂直于邊 BC，該向量必通過 ABCAB cosBAC cosC的垂心ABC中 ABAC 一定過 BC 的中點，通過 ABC的重心點 O 是 ABC的外心2OB22OAOC點 O 是 ABC的重心OA OBOC0點 O 是 ABC的

6、垂心OA OBOB OC OC OA點 O 是 ABC的內(nèi)心a OAbOBc OC0 ( 其中 a、b、 c 為 ABC三邊 )ABCO、重心G、垂心H共線，即 OG OH的外心設(shè) O 為 ABC所在平面內(nèi)任意一點，G為 ABC的重心， I 為 ABC的內(nèi)心，則有1(OC)OIaOAbOBcOCOGOA OBab c3X+X+XY+Y +YaX + bX + cXCay + by + cyC并且重心 G（ABCABCABAB，3）內(nèi)心 I（a+b+c，）3a+b+c例 1：（ 2003 年全國高考題） O 是平面上一定點， A、 B、 C 是平面上不共線的三點，動點 P滿足 OP OA( AB

7、AC )，0,，則動點 P 的軌跡一定通過ABC的（）ABAC（ A）外心（ B）內(nèi)心AF（ C）重心（ D）垂心ECAB, AFAC 都是單位向量T事實上如圖設(shè) AEABACB易知四邊形 AETF是菱形故選答案 B例 2 ：（ 2005年北京市東城區(qū)高三模擬題）O 為 ABC 所在平面內(nèi)一點，如果OA OB OB OCOC OA ，則 O必為 ABC的（）（ A）外心（ B）內(nèi)心（ C）重心（ D）垂心事實上 OAOB OBOC(OAOC) OB0 CAOB0OB CA故選答案 D精品文檔精品文檔例 3：已知 O 為三角形ABC 所在平面內(nèi)一點，且滿足222CA222OABCOBOCAB ，

8、則點 O 是三角形 ABC 的（）（ A）外心（ B）內(nèi)心（ C）重心（ D）垂心事實上由條件可推出OA OBOB OCOC OA故選答案 D例 4：設(shè) O 是平面上一定點，A、 B、 C是平面上不共線的三點，動點 P滿足 OPOA(ABAC) ，0,，則動點 P 的軌跡一定通AB cos BAC cosC過 ABC的（ ）（ A）外心（ B）內(nèi)心（ C）重心（ D）垂心事實上(ABAC) BC(BCBC) 0故選答案 DAB cos BAC cosC例5 、 已 知 向 量 OP1,OP2,OP3滿足條件O1P O2P3O0 P，| OP | |OP | |OP | 1，求證： PP12 P

9、3 是正三角形123分析對于本題中的條件 | OP |OP | | OP | 1，容易想到，點 O 是 PP12P3 的123外心，而另一個條件 OP1OP2OP30 表明，點 O 是 PP1 2P3 的重心故本題可描述為，若存在一個點既是三角形的重心也是外心，則該三角形一定是正三角形在1951 年高考中有一道考題，原題是：若一三角形的重心與外接圓圓心重合，則此三角形為何種三角形？與本題實質(zhì)是相同的顯然，本題中的條件|OP | |OP | |OP | 1可改為 | OP | |OP | | OP |123123高考原題例 6、O 是平面上一定點， A 、B、C 是平面上不共線的三個點，動點P

10、滿足OP OA(ABA C) 0 , 則). P 的軌跡一定通過 ABC 的（）|A B|AC|精品文檔精品文檔A外心B內(nèi)心C重心D垂心分析已知等式即 AP( ABAC )，設(shè) AEAB, AFAC ，顯然| AB|AC|AB|AC |AE, AF 都是單位向量， 以二者為鄰邊構(gòu)造平行四邊形， 則結(jié)果為菱形， 故 AP 為ABC 的平分線，選 B 例 7 、ABC的外接圓的圓心為 O，兩條邊上的高的交點為 H，OHm(OAOBOC ) ，則實數(shù) m =分析：本題除了利用特殊三角形求解外， 純粹利用向量知識推導(dǎo)則比較復(fù)雜，更加重要的一點是缺乏幾何直觀解法如下，由已知，有向量等式AH BC 0，將

11、其中的向量分解，向已知等式形式靠攏，有(OH OA) (OCOB) 0 ，將已知代入，有 m(OA OB OC )OA (OC OB)0，即221)OA BC0 ，由 O 是外心，得 (m1)OA BC0，由于 ABCm(OC OB ) (m是任意三角形，則 OA BC 不恒為，故只有 m1恒成立或者，過點 O 作 OMBC與M ，則M 是BC的中點，有OM1 (OBOC) ；2H 是垂心，則 AHBC，故AH 與OM共線，設(shè) AHkOM， 則OHOAk(OBOC)，又OHm(OAOBOC )，故可得AH OA2(m1OA)m ( k OB ) m k ( OC)，有 m0 1m k0，得 m

12、1222根據(jù)已知式子 OHm(OAOBOC)中的 OA OBOC 部分，很容易想到三角形的重心坐標(biāo)公式， 設(shè)三角形的重心為G ，O 是平面內(nèi)A任一點，均有 OGOA OB OC ，由題意，題目顯然敘3述的是一個一般的結(jié)論，先作圖使問題直觀化，如圖，由圖上觀察，很容易猜想到 HG 2GO ，至少有兩個產(chǎn)生TOF猜想的誘因，其一是，BF , OT 均與三角形的邊AC 垂直，則 BF / OT ；其二，點G 是三角形的中線BT 的三等分GH精品文檔BCED圖精品文檔點此時，會先猜想 BHG TOG，但現(xiàn)在缺少一個關(guān)鍵的條件，即BH2 OT，這樣由兩個三角形的兩邊長對應(yīng)成比例，同時，夾角對應(yīng)相等可得相

13、似當(dāng)然，在考試時，只需大膽使用，也可利用平面幾何知識進行證明本題結(jié)論是關(guān)于三角形的歐拉定理，即設(shè)O、 G、H 分別是 ABC的外心、重心和垂心，則 O、G、H三點共線，且 OGGH12，利用向量表示就是 OH3OG 例 8、點 O 是三角形 ABC 所在平面內(nèi)的一點，滿足 OA OBOB OCOC OA ，則點 O是ABC的（）A 三個內(nèi)角的角平分線的交點B三條邊的垂直平分線的交點C三條中線的交點D三條高的交點分析移項后不難得出，AOB CAOC ABOA CB0 ，點 O 是ABC 的垂心，選 D P3 推廣應(yīng)用題BC圖例 9 在 ABC內(nèi)求一點 P ，使 AP 2BP2CP2 最小分析如圖

14、，構(gòu)造向量解決取CAa,CBb 為基向量，設(shè) CPx ，有APxa, BPxb于是，AP2BP2CP2(xa)2( x b)2x3x1 (a221 (ab)2 b) 2 ab33當(dāng) x1 (ab) 時， AP2BP 2CP 2最小，此時，即 OP1 (OAOBOC) ，33則點 P 為 ABC的重心例10已 知 O為ABC所在平面內(nèi)一點，滿足|OA|2|BC|2|OB |2|CA|2 |OC |2| AB |2 ，則 O 為 ABC的心分析將|BC|2(OCOB)2OC2OB22OC OB ， | CA |2 ,| AB |2 也類似展精品文檔精品文檔開代入，已知等式與例的條件一樣也可移項后，

15、分解因式合并化簡，O 為垂心例11已知O為ABC的外心，求證：OA sin BOCOB sin AOCOC sin AOB0 分析構(gòu)造坐標(biāo)系證明如圖，以A 為坐標(biāo)原 點 ， B 在 x 軸 的 正 半 軸 ， C 在 x 軸 的 上方 1x2 y0，直線BC的方程是S AOB2y3 x (2x)3xy 2 x 3，0y由于點 A 與點 O 必在直線BC的同側(cè)，且x2 y3 0 ， 因 此 有x0 y3x3 y0x2 y0 0x，得2yS BOC1 ( x3 y0 x2 y3 x0 y3 x2 y0 ) 2yAC ( x3 , y3 )O(x0 , y0 )B(x2 , y2 )x圖直線 AC

16、的方程是 y3x x3 y0 ，由于點 (1,0) 與點 O 必在直線 AC 的同側(cè)，且y3 1 x3 00 ，因此有 x0 y3x3 y00 ，得 S AOC1 ( x0 y3x3 y0 ) 2于是，容易驗證，OAAOB0 ， 又S BOC OBS AOCOC S1，S B O C 2 | O B| | O C| s i nB O CS BOA1，1| OA |OC | sin AOC，又| OA |OB |OC |，2|OB |OA | sin AOB S AOC2則所證成立總結(jié)：知識綜述（一）三角形各心的概念介紹1、重心三角形的三條中線的交點；2、垂心三角形的三條垂線的交點；精品文檔精品文檔3、內(nèi)心三角形的三個內(nèi)角角平分線的交點（三角形內(nèi)切圓的圓心）；4、外心三角形的三條垂直平分線的交點（三角形外接圓的圓心）根據(jù)概念，可知各心的特征條件比如：重心將中線長度分成2： 1；垂線與對應(yīng)邊的向量積為 0；角平分