插值與曲線擬合論文

1、擬合及插值問(wèn)題研究作者：王成龍 指導(dǎo)老師：汪志華摘 要 本文討論了插值函數(shù)的基本概念及線性插值和多項(xiàng)式插值存在唯一性.主要介紹了基于基函數(shù)的拉格朗日插值、基于均差的牛頓插值和基于導(dǎo)數(shù)埃爾米特插值及三次及基于最小二乘擬合的多項(xiàng)式插值和正交多項(xiàng)式插值.關(guān)鍵詞 拉格朗日插值 牛頓插值 曲線擬合 最小二乘法1 引 言 函數(shù)常被用來(lái)描述客觀事物變化的內(nèi)在規(guī)律（數(shù)量關(guān)系）.但在生產(chǎn)和科研實(shí)踐中遇到的大量函數(shù),卻是復(fù)雜函數(shù).對(duì)于實(shí)際中的這些復(fù)雜函數(shù),我們希望能構(gòu)造一個(gè)能反映函數(shù)本身的特性,又便于計(jì)算的簡(jiǎn)單函數(shù),近似代替原來(lái)的函數(shù).解決上述問(wèn)題的方法有兩類:一類是對(duì)于一組離散點(diǎn),選定一個(gè)便于計(jì)算的函數(shù)形式,如

2、多項(xiàng)式函數(shù)、分段性函數(shù)、有理函數(shù)、三角函數(shù)等,要求簡(jiǎn)單函數(shù)滿足.由此確定函數(shù)作為的形式時(shí),不要近似函數(shù)必須滿足,而只要在某種意義下(最小二乘法原理),使近似函數(shù)在這些點(diǎn)上的總偏差量最小,這類方法稱為曲線擬合.2 插值問(wèn)題與插值多項(xiàng)式定義1 設(shè)為區(qū)間上函數(shù)，為上互不相同的點(diǎn)，為給定的某一函數(shù)類，若上有函數(shù)，滿足.則稱為關(guān)于節(jié)點(diǎn)在上的插值函數(shù)，稱點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)；稱為插值型值點(diǎn)，簡(jiǎn)稱型值點(diǎn)或插值點(diǎn);稱為被插函數(shù).定義2 已知函數(shù)在區(qū)間上的個(gè)點(diǎn)的值，即已知，尋求一個(gè)解析形式的函數(shù)，使之滿足 .則稱為插值結(jié)點(diǎn),為被插值函數(shù)，為插值函數(shù)，稱條件為插值條件，若為次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式，即，則.其中為實(shí)數(shù)，則稱為插

3、值多項(xiàng)式.定理1在個(gè)相異結(jié)點(diǎn)滿足插值條件而次數(shù)不高于的多項(xiàng)式是唯一的.2.1 拉格朗日插值多項(xiàng)式給定，構(gòu)造次數(shù)不超過(guò)的拉格朗日插值多項(xiàng)式.稱為關(guān)于的次拉格朗日插值多項(xiàng)式，它滿足.其中稱為為結(jié)點(diǎn)的次插值函數(shù)，它滿足.設(shè)是上關(guān)于的次插值多項(xiàng)式，在上有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在上存在，則其余項(xiàng)為.例1 已知函數(shù)表012-103試證明由此構(gòu)造的拉格朗日插值多項(xiàng)式是一個(gè)二次多項(xiàng)式.解 構(gòu)造，得 將其余結(jié)點(diǎn)代入得可知滿足所有插值條件.根據(jù)唯一性定理，就是所構(gòu)造的拉格朗日插值多項(xiàng)式. 牛頓插值定義3 零階均差 一階均差 .二階均差.2階均差是1階均差的均差，可遞推階均差，得.2.2.1 均差（差商）的性質(zhì)（）階均差與函

4、數(shù)值的關(guān)系為.（）均差關(guān)于所含結(jié)點(diǎn)是對(duì)稱的，若為的任意排列，則即均差值與結(jié)點(diǎn)次序無(wú)關(guān). 牛頓插值多項(xiàng)式給定，次數(shù)不超過(guò)的牛頓插值多項(xiàng)式為.牛頓插值多項(xiàng)式的系數(shù)可由以下均差表求得. 插值余項(xiàng).由插值多項(xiàng)式的唯一性知，因此，牛頓插值與拉格朗日插值有相同的余項(xiàng)表達(dá)式，即由此有.例2 已知函數(shù)表如下.0試求方程的根的近似值.解 采用牛頓插值，作均差表如下：一階均差二階均差三階均差四階均差0按4次牛頓插值公式可得 .2.2.4 等距結(jié)點(diǎn)的牛頓插值 若插值結(jié)點(diǎn)為等距結(jié)點(diǎn)，即，稱為步長(zhǎng)，表示在上的值，則有等距結(jié)點(diǎn)的牛頓插值公式.定義4 令分別稱為在點(diǎn)的一階向前差分和一階向后差分。由此可遞推階向前差分和階向后

5、差分為.并規(guī)定零階差分為均差與差分有以下關(guān)系，即.差分表 牛頓前插、后插插值公式及其余項(xiàng)牛頓前插公式為.其余項(xiàng)為.牛頓后插公式為.其余項(xiàng)為.例3 設(shè)，給出在的值，試用3次等距結(jié)點(diǎn)插值公式求及的近似值.解 前插公式 .后插公式 .2.3 埃爾米特插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式除了滿足插值條件外，還要求與被插函數(shù)在結(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等，即有.上面等式共有個(gè)條件可唯一確定次數(shù)不超過(guò)次的多項(xiàng)式，稱之為埃米爾特插值多項(xiàng)式，它用插值基函數(shù)可表示為其中，和是插值基函數(shù). 插值基函數(shù)和是滿足下列條件 的次多項(xiàng)式.容易求得其中，是拉格朗日插值基函數(shù).若在插值區(qū)間內(nèi)存在階導(dǎo)數(shù)，則次艾爾米特插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為其中 特別地，當(dāng)時(shí)

6、，結(jié)點(diǎn)為滿足條件的艾爾米特插值多項(xiàng)式為.例4 求在上的分段3次埃爾米特插值函數(shù)，并估計(jì)誤差.解 令 ，分點(diǎn)當(dāng)時(shí)，有 誤差估計(jì).2.4 三次樣條插值定義5 設(shè)在上取個(gè)互不相同的結(jié)點(diǎn)，即給定各結(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，如果函數(shù)在區(qū)間上滿足下列條件，則稱之為三次樣條插值函數(shù)，簡(jiǎn)稱三次樣條：， ；在每個(gè)小區(qū)間上，都是次數(shù)不超過(guò)三次的多項(xiàng)式；. 三次樣條插值函數(shù)的計(jì)算.由給定的數(shù)據(jù),步長(zhǎng),求出,.由追趕法解三對(duì)角方程組（三彎矩方程組），當(dāng)自然邊界條件時(shí)，有當(dāng)邊界條件為時(shí)，有其中由求出代入式，即 區(qū)間上的三次樣條函數(shù)自然邊界條件：已知，特殊情形導(dǎo)數(shù)邊界條件：. 三次樣條插值收斂性設(shè)為三次樣條插值函數(shù)，則有估計(jì)式，

7、.其中：.可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，三次樣條插值函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)分別一致收斂于被插函數(shù)、及.例5 已知函數(shù)的數(shù)據(jù)表：01 234-8-701956求三次自然樣條函數(shù)并求.解 已知步長(zhǎng)，得繼而得 由上述可得三對(duì)角方程組解得 于是 由此得三次樣條函數(shù)本題的真實(shí)函數(shù)是誤差為.3 曲線擬合的最小二乘法 最小二乘原理設(shè)已知某物理過(guò)程的一組觀測(cè)數(shù)據(jù) ， . （1）要求在某特定函數(shù)類尋求一個(gè)函數(shù)作為的近似函數(shù)，使得二者在上的誤差或稱殘差 ， （2） 按某種度量標(biāo)準(zhǔn)為最小，這就是擬合問(wèn)題.要求殘差按某種度量標(biāo)準(zhǔn)為最小，即要求由殘差構(gòu)成的殘差向量的某種范數(shù)為最小，要求，或即為最小，這本來(lái)都是很自然的，可是計(jì)算不太方

8、便.以通常要求： 或者 （3）為最小.種要求誤差平方和最小的擬合稱為曲線擬合的最小二乘法.就是說(shuō)，最小二乘法提供了一種數(shù)學(xué)方法，利用這種方法可以對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)在最小平方誤差意義下的最好擬合.用最小二乘法求擬合曲線時(shí)，必須選擇函數(shù)類，確定擬合函數(shù)的形式，這與所討論問(wèn)題的專業(yè)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)有關(guān).常，其中，是一組線性無(wú)關(guān)且已給定的函數(shù)，表示組成的函數(shù)空間，表示為 （4）此時(shí)為線性擬合模型，否則當(dāng)關(guān)于某個(gè)或某些參數(shù)非線性時(shí)，稱之為非線性模型.下面給出求解方法.確定出擬合參數(shù)，就可得到擬合函數(shù).對(duì)于給定的數(shù)據(jù)，要在給定的函數(shù)空間中找一個(gè)函數(shù) （5）使?jié)M足 （6）這種求擬合函數(shù)的方法稱為曲線擬合的最小二乘法.

9、稱為最小二乘問(wèn)題的最小二乘解.令性能指標(biāo)函數(shù) （7）要使達(dá)到極小，由多元函數(shù)取極值的必要條件 （8）可得方程組 引入記號(hào) （9）則所得方程組表示成， （10）這個(gè)方程組成為正則（或正規(guī)）方程組或法方程組，寫(xiě)成矩陣形式為 （11）這是一個(gè)系數(shù)矩陣為對(duì)稱性方程組.線性無(wú)關(guān)時(shí)，有唯一解， 并且相應(yīng)的擬合函數(shù) （12）就是滿足殘差平方和為最小的最小二乘解.在實(shí)際問(wèn)題中得到的觀測(cè)數(shù)據(jù)并非是等精度、等重要性的.衡量數(shù)據(jù)的精度和重要性，常常對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行“權(quán)”處理，對(duì)精度好、重要的數(shù)據(jù)給予較大的權(quán)，否則給予小的權(quán)，這就是加權(quán)最小二乘法.用加權(quán)最小二乘法進(jìn)行擬合是對(duì)于觀測(cè)數(shù)據(jù)，要求在某函數(shù)類中尋求一個(gè)函數(shù)，使 （

10、13）為最小.中為一組正數(shù)，反映數(shù)據(jù)特性的權(quán)，此時(shí)正則方程組仍如式（10），即 只是其中 （14）由以上討論可知： 對(duì)于給定數(shù)據(jù)，在函數(shù)空間中存在唯一函數(shù)使殘差平方和為最小. 用最小二乘解得系數(shù)可通過(guò)解正則方程（10）求得. 用最小二乘解來(lái)擬合數(shù)據(jù)，的平方誤差為.例6 設(shè)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，分布大致為一條直線，利用最小二乘原理，作擬合直線，該直線不是通過(guò)所有點(diǎn)數(shù)據(jù)而是使殘差平方和 為最小.確定直線參數(shù)是取式（4）中此時(shí)正則方程組（1-11）成為.結(jié)束語(yǔ)本課題介紹了復(fù)雜函數(shù)的兩種近似表示形式，多項(xiàng)式插值與擬合及其求法.多項(xiàng)式插值是根據(jù)插值條件多項(xiàng)式,多項(xiàng)式擬合是根據(jù)最小二乘原理,即“偏差平方和最小”求多

11、項(xiàng)式.拉格朗日適合求固定節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值.牛頓插值可以在計(jì)算過(guò)程中,根據(jù)精度要求逐步增加節(jié)點(diǎn),且計(jì)算量小,埃爾米特插值適合導(dǎo)數(shù)已知的情況,所有插值多項(xiàng)式的次數(shù)都不能太高,否則會(huì)出現(xiàn)龍格現(xiàn)象.樣條函數(shù)光滑性好,但構(gòu)造和計(jì)算較復(fù)雜,并且需要求一個(gè)三隊(duì)角方程組.用最小二乘原理進(jìn)行多項(xiàng)式擬合,適用于根據(jù)大量觀測(cè)數(shù)據(jù),尋找變量之間的近似函數(shù)關(guān)系式.參考文獻(xiàn)1 王新和,程世洲,曲線擬合的最小二乘法J，疆職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2004,12(2):84-86.2 李桂成，計(jì)算方法M,北京,電子工業(yè)出版社,2005.10.3 楊泮池,計(jì)算方法M,西安,西安交通大學(xué)出版社,2005.11.4 馬東升,雷勇軍,數(shù)值計(jì)算方法M

12、,2版,北京,機(jī)械工業(yè)出版社,200.9.5 張韻華,奚梅成,陳效群,數(shù)值計(jì)算方法與算法M,2版,北京,科學(xué)出版社,2006.6 Berden R L, Faires J D, Reynolds A C. Numerical Analysis. Apline Press. 1984The study of function fitting and interpolationAuthor: Wang chenglong Supervisor: Wang zhihuaAbstract: The subject of my paper has discussed the basic concepti

13、on of interpolation function and the uniqueness existed in the linear interpolation and polynomials interpolation. It has mainly introduced Lagrange interpolation which is based on primary function, Newton interpolation on standard deviation and Hermit interpolation on derivative. It has also studied the piecewise linear interpolation ,the cubic spine interpolation and the curve fitting，a