維也納香腸函數(shù)

1、維也納香腸的維也納香腸半徑是隨機(jī)過程定義為在這里,是標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動在為和表示開球的半徑為中心的在。諾伯特·維納的名字命名,這個術(shù)語也用來描述視覺:事實上,對于一個給定的布朗運(yùn)動 ,本質(zhì)上是一個臘腸管的半徑有作為中央線。布朗運(yùn)動一個實值隨機(jī)過程是一個布朗運(yùn)動開始在哪里如果滿足以下屬性:1。 .2。為所有的時間的增量 , , .,都是獨(dú)立的隨機(jī)變量.3所示。對所有 ,的增量是正態(tài)分布與期望價值零,方差 .4所示。這個函數(shù)是連續(xù)幾乎無處不在。的布朗運(yùn)動如果是標(biāo)準(zhǔn)嗎 .很容易從上面所示標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動有許多獨(dú)特的自然不變性屬性

2、包括縮放不變性和在時間反演不變性。此外,布朗運(yùn)動滿足一個大數(shù)定律這幾乎無處不在。此外,盡管看起來真實乍一看,布朗運(yùn)動是持有人連續(xù)的幾乎無處不在對于所有的值。相反,任何布朗運(yùn)動可微的幾乎可以肯定.上面的定義擴(kuò)展自然得到高維布朗運(yùn)動。更準(zhǔn)確地說,鑒于獨(dú)立的布朗運(yùn)動開始在,一個可以定義一個隨機(jī)過程通過這樣一個被稱為維布朗運(yùn)動開始 .參見:維納過程一個連續(xù)時間的隨機(jī)過程為與增量等高斯均值為0,方差嗎對于任何,增量不重疊的時間間隔是獨(dú)立的。布朗運(yùn)動(即。隨機(jī)游走,隨機(jī)步驟大小)是最常見的一個維納過程的例子。維納測量概率法在連續(xù)函數(shù)空間與誘導(dǎo)的維納過程.參見:自已避免走連接常數(shù)我們的數(shù)量隨機(jī)漫步

3、在一個- d hypercubic晶格的開始起源從未落在同一個格點(diǎn)兩次步驟是表示。第一個值(1)(2)(3)一般來說,(4)(伯尼茲和Tittman 2000),更嚴(yán)格的邊界由馬德拉斯和斯萊德(1993)。康威和古德曼爵士(1996)枚舉的長度51。在任何晶格,打破了自已避免走在兩個收益率兩個自已避免走,但是連接兩個自已避免走不一定保持自已避免財產(chǎn)。讓表示自已避免走的步驟的晶格維度。然后上面的觀察告訴我們,Fekete引理證明(5)稱為連接晶格常數(shù),并存在有限的。這些常數(shù)的最佳范圍(6)(7)(8)(9)(10)(拜爾和富國1972年,1998年努南,芬奇2003)。的上限提高2.6939發(fā)現(xiàn)

4、努南(1998)和計算了伯尼茲和Tittman(2000)。三角晶格的飛機(jī),1993年(Alm),六角平面點(diǎn)陣,猜想(11)(馬德拉斯,斯萊德1993)。也認(rèn)為存在以下限制和有限的:(12)在臨界指數(shù)為(馬德拉斯,斯萊德1993)和猜想(13)定義平均平方位移要自已避免走作為(14)(15)認(rèn)為存在以下限制和有限的:(16)在臨界指數(shù)為(馬德拉斯,斯萊德1993),有推測說(17)參見:自已避免走自已避免行走路徑從一個點(diǎn)到另一個,從來沒有相交本身。這樣的路徑通常被認(rèn)為發(fā)生在格,所以步驟只允許在某些離散的方向和長度?？紤]一個自已避免走在一個二維方格網(wǎng)(即。晶格的道路,從來沒有訪問同一個格點(diǎn)兩次)

5、,從原點(diǎn)開始,需要積極的水平方向的第一步,只是限于非負(fù)網(wǎng)格點(diǎn)。這樣的路徑的數(shù)量,2,步驟1、2、5、12日,30日,73年,183年,456年,1151年(OEISA046170).同樣,考慮一個自已避免走在原點(diǎn)開始,需要積極的水平方向的第一步,并不局限于非負(fù)網(wǎng)格點(diǎn),但僅限于采取了措施下的第一步。這樣的路徑的數(shù)量,2,步驟1、2、5、13日,36歲,98年,272年,740年,2034年(OEISA046171).自已避免車走是走一個網(wǎng)格,從,結(jié)束,只由水平和垂直的步驟。下表給出了前幾個數(shù)字這樣走的小和。的值,2,2、12、184、8512、1262816(OEISA007764).23456

6、2234124838184年516125年976年8512年632414年5382年79384年1262816有許多已知的公式計算對小。例如,(1)有一個遞歸關(guān)系為,由 , , ,(2)為,以及生成函數(shù)(3)(阿伯特1978年漢森,芬奇1978)。一個相關(guān)的序列是形狀的數(shù)量可以由彎曲線的長度在飛機(jī)上,彎曲0或和線可能在直角交叉本身而不是經(jīng)過本身。形狀的導(dǎo)線長度的數(shù)量1,2,是1、2、4、10、24日,66年,176年,493年(OEISA001997).考慮一個自已避免走在一個二維方格網(wǎng)從一個角落到另一個,沒有兩個連續(xù)的步驟是在同一個方向。這樣的路徑的數(shù)量,2,是

7、1、2、2、4、10,36歲,188年,(OEISA034165,計算路徑的數(shù)量點(diǎn)“點(diǎn)陣”1),這些路徑的最大長度是0,2,4,10,12,26歲,36歲,(OEISA034166).隨機(jī)漫步三維在一個三維的晶格,隨機(jī)漫步不到統(tǒng)一的概率達(dá)到任何時候(包括起點(diǎn))步驟的數(shù)量趨于無窮。再次到達(dá)起點(diǎn)的概率是0.3405373296 .這是一個聚(隨機(jī)漫步的常數(shù).隨機(jī)漫步二維在一個飛機(jī),考慮一筆二維向量與隨機(jī)取向。使用相量符號,讓各自的階段向量是隨機(jī)。假設(shè)單位措施(即在任意方向。的角均勻分布在而不是一個晶格),正如上文所述。這個職位在復(fù)平面后然后給出的步驟(1)已絕對的廣場(2)(3)(4)因此,(5)

8、每個單元步驟同樣可能在任何方向(和)。位移是隨機(jī)變量與相同的意味著零,他們的差異也是一個隨機(jī)變量。在這個分布平均,等可能積極的和負(fù)值產(chǎn)生一個預(yù)期值為0,所以(6)后的均方根距離因此單元步驟(7)所以的步長,這就變成了(8)為了旅行的距離 ,(9)因此所需的步驟。令人驚訝的是,已經(jīng)證明在一個二維的晶格,隨機(jī)漫步統(tǒng)一的概率達(dá)到任何時候(包括起點(diǎn))數(shù)量的步驟方法.隨機(jī)游走,維讓步驟相同的長度沿行。讓是向右邁出一步的概率,向左一步的概率,采取正確的步驟的數(shù)量,步驟的數(shù)目。的數(shù)量 , , ,是相關(guān)的(1)和(2)現(xiàn)在檢查的概率步驟的向右。有的方式向右,步驟向左,是

9、一個二項式系數(shù)。采取特定的命令序列的概率和步驟。因此,(3)在哪里是一個的階乘。但這只是一個二項分布,所以的意思是許多步驟正確的是(4)和左邊是意味著數(shù)量的步驟(5)類似地,方差是由(6)和均方根偏差是(7)現(xiàn)在考慮距離的分布旅行一個給定數(shù)量的步驟之后,(8)而不是步驟的數(shù)量在一個給定的方向。以上情節(jié)展示為和三個值 ,分別。顯然,權(quán)重的步驟向一個方向或另一影響總體趨勢,但仍有大量的隨機(jī)散射,強(qiáng)調(diào)下面的情節(jié),顯示所有與三個隨機(jī)漫步 .令人驚訝的是,最可能的數(shù)量的變化跡象散步是0,其次是1、2等。對于一個隨機(jī)游走的概率給定距離的旅行后在下表中給出的步驟。步驟0123450110

10、200300040000500000在這個表中,后續(xù)行被發(fā)現(xiàn)通過添加一半每個細(xì)胞在一個給定的行下面對角的兩個細(xì)胞。事實上,它是簡單的帕斯卡三角形墊與零干預(yù)和每一行的1/2乘以一個額外的因素。的系數(shù)在這個三角形的(9)(Papoulis 1984,p . 1984)。的時刻(10)這種分布的距離然后由簽署(11)(12)(13)(14)因此,的意思是是,偏態(tài)是,峰度多余的是(15)后的期望價值絕對距離因此給出的步驟(16)(17)這個和可以單獨(dú)考慮象征性的情況下完成甚至和奇怪的。首先,考慮甚至這。然后(18)(19)(20)(21)但這和可以評估分析(22)寫作堵回去,簡化了(23)在哪里是雙!

11、.現(xiàn)在考慮奇怪的,所以。然后(24)(25)(26)(27)(28)但這和可以評估分析(29)寫作堵回去,簡化了(30)(31)(32)這兩個甚至和奇怪的解決方案可以寫的作為(33)或顯式的作為(34)(35)的頭幾個值為,1,因此0,1,1,3/2,3/2,15/8,15/8,35/16,35/16,(OEISA086116和A060818普雷沃斯特1933;阿布拉莫維茨和Stegun 1972年,休斯1995),每一對給出的條款生成函數(shù)(36)這些數(shù)字也會出現(xiàn)heads-minus-tails分布.現(xiàn)在,檢查的漸近性態(tài)。的漸近展開函數(shù)比例是(37)(Graham et al . 1994年

12、),所以插入的表達(dá)式給出了漸近級數(shù)(38)頂部跡象在哪里了甚至和底部的跡象奇怪的。因此,對于大 ,(39)也是格林鮑姆(1960)所示,Mosteller et al。(1961年,p . 14),和康尼錫et al。(1999)。托斯(2000)已經(jīng)證明,沒有超過三個訪問最多的網(wǎng)站在一個簡單的對稱隨機(jī)漫步在一維單元步驟。參見:隨機(jī)漫步一個隨機(jī)過程組成的固定長度的序列的離散步驟。隨機(jī)熱擾動在液體中負(fù)責(zé)一個隨機(jī)游走的現(xiàn)象稱為布朗運(yùn)動,和氣體分子的碰撞是一個隨機(jī)游動擴(kuò)散負(fù)責(zé)。隨機(jī)漫步有趣的數(shù)學(xué)特性,根據(jù)維度的不同,有很大的行走發(fā)生以及是否僅限于晶格。參見:量子隨機(jī)微積分讓 ,一

13、維布朗運(yùn)動。集成與尊重定義了Ito(1951)。一個基本理論是隨機(jī)的結(jié)果形式的積分方程(1)可以解釋為隨機(jī)微分方程的形式(2)差異在哪里處理Ito的公式的使用(3)(4)哈德遜和從事(1984)獲得了?？丝臻g布朗運(yùn)動的代表泊松過程。玻色子?？丝臻g在是希爾伯特空間完成指數(shù)向量的線性范圍下內(nèi)積(5)在哪里和和是復(fù)共軛的 .湮滅,產(chǎn)生和保護(hù)符 ,和分別是定義在指數(shù)向量的如下所示,(6)(7)(8)基本的量子隨機(jī)差異 ,定義如下,(9)(10)(11)哈德森和從事(1984)定義隨機(jī)整合對噪聲的差異定義3和獲得了Ito乘法表Hudson-Parthasarathy量子隨機(jī)

14、微積分的兩個基本定理給出公式表達(dá)量子隨機(jī)積分的矩陣元素的普通勒貝格積分。第一個定理指出(12)在哪里 , , ,(總的來說)時間適應(yīng)過程。我們也和指數(shù)的領(lǐng)域,然后(13)第二個定理指出,如果(14)和(15)在哪里 , , , , , , ,(總的來說)與時間有關(guān)的適應(yīng)過程和也和指數(shù)的領(lǐng)域,然后(16)連接古典與量子推斷統(tǒng)計學(xué)的基本結(jié)果是過程和定義為(17)和(18)識別,通過他們的統(tǒng)計特性,如。,他們的泛函,真空特征(19)和(20)布朗運(yùn)動和泊松過程的強(qiáng)度,分別。的框架內(nèi)Hudson-Par

15、thasarathy量子隨機(jī)微積分,經(jīng)典量子力學(xué)演化方程形式(21)(22)在那里,每 ,是酉算子定義的張量積一個系統(tǒng)的希爾伯特空間和噪聲(或水庫)福克空間。在這里, , ,在,有限的空間上線性算子,統(tǒng)一的和自伴的。請注意,對方程(21)減少到一個經(jīng)典的隨機(jī)微分方程的形式(2)。在接下來我們確定長期有效的,有限的,系統(tǒng)空間操作符與他們的擴(kuò)張來 .量子隨機(jī)微分方程(海森堡方程模擬量子力學(xué)可見)滿意的量子流(23)在哪里是一個有界系統(tǒng)空間算子,是嗎(24)(25)為 .交換關(guān)系與運(yùn)營商相關(guān)流程 ,是規(guī)范(或海森堡)變換關(guān)系,即(26)這個

16、條目由聚(隨機(jī)漫步的常數(shù)讓是一個的概率隨機(jī)漫步在一個- d格回到原點(diǎn)。1921年,聚(證明(1)但(2)為。沃森(1939),麥克雷博士和惠普爾(1940),Domb(1954),格拉瑟和朱克(1977)顯示(3)(OEISA086230),(4)(5)(6)(7)(8)(9)(OEISA086231;Borwein和貝利2003年,Ch。2例20)是第三個沃森的三重積分模一個乘法常數(shù),是一個第一類完全橢圓積分,是一個雅可比的函數(shù),是函數(shù).關(guān)閉表單不知道,但Montroll(1956)表明,對嗎 ,(10)在哪里(11)(12)和是一個修改后的第一類貝塞爾函數(shù).數(shù)值的從Montrol

17、l(1956)和Flajolet(芬奇2003)以下表中給出。斯隆3A0862300.3405374A0862320.1932065A0862330.1351786A0862340.1047157A0862350.08584498A0862360.0729126參見:絕對的公平一個隨機(jī)變量序列 ,被稱為絕對公平如果嗎2和(伐木機(jī)1971,p . 1971)。參見:鞅一個隨機(jī)變量序列 ,以有限的手段,這樣的條件期望鑒于 , , , .,等于,也就是說,(伐木機(jī)1971,p . 1971)。這個術(shù)語最初是用來描述一種賭博,賭注是增加一倍或減半后損失

18、或贏,分別。鞅的概念是由于征收,由杜布廣泛開發(fā)。一個一維隨機(jī)漫步與步驟等可能在兩個方向()是一個鞅的例子。參見:Borel-Tanner分布讓組排列1、2、,讓連續(xù)時間隨機(jī)漫步結(jié)果當(dāng)隨機(jī)選擇互換率1執(zhí)行。讓是身份的距離在時間,即,返回所需的最小數(shù)量的互換。當(dāng) ,在那里(Berestycki Berestycki和Durrett 2004;2004)被稱為Borel-Tanner分布(Trott 2006,p . 2006)。Borel-Tanner分布復(fù)雜上面繪制在復(fù)平面(Trott 2006,p . 2006)。有趣的是,這個函數(shù)的值為Trott(Berestycki 2004;2004年,p . 284)。平均平方位移平均平方位移(MSD)的一組位移是由它特別是在布朗運(yùn)動和出現(xiàn)隨機(jī)漫步問題。二維隨機(jī)漫步的單位采取隨機(jī)方向,默沙東公司給出的利維飛行隨機(jī)漫步由自相似跳躍軌跡。他們所描述的萊維分布.參見:萊維分布在哪里是傅里葉變換的概率為一步一步的隨