高一數(shù)學(xué)圓地方程經(jīng)典例題

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案典型例題一例 1 圓 ( x 3)2( y3)29上到直線 3x 4 y 11 0 的距離為1的點(diǎn)有幾個(gè)？分析： 借助圖形直觀求解或先求出直線l1 、 l2 的方程，從代數(shù)計(jì)算中尋找解答解法一： 圓 (x3)2( y3)29 的圓心為 O1(3 , 3) ，半徑 r3 設(shè)圓心 O1 到直線 3x4 y113343110 的距離為 d ，則 d32422 3 如圖，在圓心 O1 同側(cè)，與直線 3x 4 y11 0 平行且距離為 1的直線 l1 與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)符合題意又 r d 3 2 1與直線 3x4 y110 平行的圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意符合題意的點(diǎn)共

2、有3 個(gè)解法二： 符合題意的點(diǎn)是平行于直線3x4 y110 ，且與之距離為1 的直線和圓的交點(diǎn)設(shè)所求直線為 3x4ym0 ，則 dm11321，42m 115，即m6，或m16，也即l1：3x 4y6 0 ，或 l 2：3x 4 y 16 0 設(shè)圓 O1：(x3)2( y3)29 的圓心到直線 l1 、 l 2 的距離為 d1 、 d2 ，則文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案d13343633431632423 ， d232421與 O1 相切，與圓O1有一個(gè)公共點(diǎn)； l2 與圓 O1 相交，與圓 O1 有兩個(gè)公共點(diǎn)即符合題l1意的點(diǎn)共3 個(gè)說(shuō)明： 對(duì)于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：設(shè)圓心 O1 到直線3x

3、4 y33431111 0 的距離為 d ，則 d32422 3圓O1 到 3x4 y110距離為 1的點(diǎn)有兩個(gè)顯然，上述誤解中的d是圓心到直線3x4 y11 0 的距離， dr ，只能說(shuō)明此直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，而不能說(shuō)明圓上有兩點(diǎn)到此直線的距離為1 到一條直線的距離等于定值的點(diǎn)，在與此直線距離為這個(gè)定值的兩條平行直線上，因此題中所求的點(diǎn)就是這兩條平行直線與圓的公共點(diǎn)求直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系來(lái)判斷，即根據(jù)圓心與直線的距離和半徑的大小比較來(lái)判斷典型例題三例3求過(guò)兩點(diǎn)A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圓心在直線y0 上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)P(2 , 4) 與圓的

4、關(guān)系分析： 欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點(diǎn)P 與圓的位置關(guān)系，只須看點(diǎn)P 與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑，則點(diǎn)在圓外；若距離等于半徑，則點(diǎn)在圓上；若距離小于半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi)解法一：（待定系數(shù)法）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( xa) 2( yb)2r 2 圓心在 y0上，故 b0 文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案圓的方程為 (xa)2y2r 2 又該圓過(guò) A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 兩點(diǎn)(1a) 216r 2a)24r 2(3解之得： a1， r 220 所以所求圓的方程為 (x1) 2y220 解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）因?yàn)閳A過(guò) A(1 ,4) 、 B

5、(3, 2) 兩點(diǎn)，所以圓心C 必在線段 AB 的垂直平分線l 上，又因?yàn)閗AB421，故 l 的斜率為1 ，又 AB 的中點(diǎn)為 (2 , 3) ，故 AB 的垂直平分線 l 的方程為：13y 3x 2即 xy10 又知圓心在直線y0 上，故圓心坐標(biāo)為 C (1, 0)半徑 rAC(11) 24220 故所求圓的方程為( x1)2y 220 又點(diǎn) P(2 , 4) 到圓心 C( 1 , 0) 的距離為dPC(21) 24225r 點(diǎn) P 在圓外說(shuō)明： 本題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個(gè)關(guān)鍵的量，然后根據(jù)圓心與定點(diǎn)之間的距離和半徑的大小關(guān)系來(lái)判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若將

6、點(diǎn)換成直線又該如何來(lái)判定直線與圓的位置關(guān)系呢？典型例題四例 4圓 x2y 22x4 y30 上到直線 xy10 的距離為2 的點(diǎn)共有（）文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案（A）1 個(gè)（B）2 個(gè)（C）3 個(gè)（D）4 個(gè)分析：把 x2y22x4 y30 化為x1 2y2 28 ，圓心為1， 2 ，半徑為r2 2 ，圓心到直線的距離為2 ，所以在圓上共有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于2 ，所以選C典型例題五例 5過(guò)點(diǎn) P3， 4 作直線 l ，當(dāng)斜率為何值時(shí)， 直線 l 與圓 C：x1 2y2 24 有公共點(diǎn)，如圖所示分析： 觀察動(dòng)畫演示，分析思路y解： 設(shè)直線 l 的方程為y4k x3O即xEkxy3k4 0根據(jù) dr

7、有Pk23k41k 22整理得3k 24k0解得40k3文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案典型例題六例 6已知圓 O： x2y24 ，求過(guò)點(diǎn) P2，4與圓 O 相切的切線解： 點(diǎn) P 2，4 不在圓 O 上，切線 PT 的直線方程可設(shè)為 yk x24根據(jù) dr2k421k 2解得3k4所以3x24y4即3x4 y100因?yàn)檫^(guò)圓外一點(diǎn)作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見(jiàn)另一條直線的斜率不存在易求另一條切線為 x2 說(shuō)明： 上述解題過(guò)程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補(bǔ)回漏掉的解本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0 解決（也要注意漏解）還可以運(yùn)用x0 xy0 yr 2 ，求出切點(diǎn)坐標(biāo)x0 、 y0

8、 的值來(lái)解決，此時(shí)沒(méi)有漏解典型例題七例 7自點(diǎn) A3，3 發(fā)出的光線l 射到 x 軸上，被 x 軸反射，反射光線所在的直線與圓C ： x2y24x4y70 相切（1 ）求光線 l 和反射光線所在的直線方程文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案（ 2 ）光線自 A 到切點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路y程分析、略解：觀察動(dòng)畫演示，分A析思路根據(jù)對(duì)稱關(guān)系， 首先求出點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn) A 的坐標(biāo)為3， 3 ，其次設(shè)過(guò) A 的圓 C 的切線方程為GOByk x33根據(jù) dr ，即求出圓C 的切線A的斜率為k43或 k圖 334進(jìn)一步求出反射光線所在的直線的方程為4 x3y30 或 3x4 y30最后根據(jù)入射光與反射光關(guān)于x 軸對(duì)稱，求出入射光所在

9、直線方程為4x3y30 或 3x4 y30222光路的距離為A M ，可由勾股定理求得A MA CCM說(shuō)明： 本題亦可把圓對(duì)稱到x 軸下方，再求解MCNx7 典型例題八例 8如圖所示，已知圓 O： x2y24 與 y 軸的正方向交于A 點(diǎn)，點(diǎn) B 在直線 y2 上運(yùn)動(dòng)，過(guò)B 做圓 O 的切線，切點(diǎn)為C ，求ABC 垂心 H 的軌跡文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案分析：按常規(guī)求軌跡的方法，設(shè) H ( x , y) ，找 x , y 的關(guān)系非常難 由于 H 點(diǎn)隨 B ， C 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，可考慮H ， B ， C 三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系解：設(shè) H (x , y) ， C (x , y ) ，連結(jié) AH ， CH ，則

10、 AHBC，CH所以O(shè)C/AH ，CHAB ， BC 是切線 OCBC ，/OA， OA OC ，所以四邊形 AOCH 是菱形所以 CHOA 2，得yy 2,xx.又 C ( x , y ) 滿足 x 2y 24 ，所以 x2( y 2) 24( x0) 即是所求軌跡方程說(shuō)明：題目巧妙運(yùn)用了三角形垂心的性質(zhì)及菱形的相關(guān)知識(shí)采取代入法求軌跡方程做題時(shí)應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì)，求軌跡時(shí)應(yīng)注意分析與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)，如相關(guān)聯(lián)點(diǎn)軌跡方程已知，可考慮代入法典型例題九例 9求半徑為4，與圓 x2y 24x2 y40 相切，且和直線y0 相切的圓的方程文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案分析： 根據(jù)問(wèn)題的特征，宜用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求

11、解解：則題意，設(shè)所求圓的方程為圓C：(x a)2( y b)2r 2 圓 C 與直線 y0相切，且半徑為4 ，則圓心 C 的坐標(biāo)為 C1 (a , 4) 或 C2 (a ,4) 又已知圓 x2y 24x2 y40 的圓心 A 的坐標(biāo)為 ( 2 ,1) ，半徑為 3若兩圓相切，則CA437或 CA431(1) 當(dāng) C1 (a , 4) 時(shí)， (a2) 2(41) 272 ，或 (a 2)2(41)212 (無(wú)解 ) ，故可得a2 210所求圓方程為 (x 2 2 10 )2( y4) 242 ，或 ( x2 210)2( y4) 242 (2) 當(dāng) C2 (a ,4) 時(shí)， ( a2) 2( 4

12、1) 272，或 (a2) 2(41)212(無(wú)解 )，故a226所求圓的方程為 ( x226) 2( y4)242 ，或 (x226 ) 2( y4)242 說(shuō)明： 對(duì)本題，易發(fā)生以下誤解：由題意，所求圓與直線y 0相切且半徑為4 ，則圓心坐標(biāo)為C ( a ,4) ，且方程形如(xa)2( y 4) 242又圓 x2y 24x 2 y40 ，即 ( x2) 2( y1)232，其圓心為 A(2 ,1) ，半徑為 3 若兩圓相切，則CA43 故 ( a 2) 2(4 1)272 ，解之得a 2 2 10 所 以 欲 求 圓 的 方 程 為 (x 2 2 10 )2( y 4)242，或(x2

13、2 10)2( y 4) 242 上述誤解只考慮了圓心在直線y0 上方的情形，而疏漏了圓心在直線y0 下方的情形另外，誤解中沒(méi)有考慮兩圓內(nèi)切的情況也是不全面的典型例題十例 10已知圓 x2y2x6 ym0 與直線 x2 y30相交于 P 、Q 兩點(diǎn)， O 為原文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案點(diǎn)，且 OPOQ ，求實(shí)數(shù) m 的值分 析 ： 設(shè) P 、 Q 兩 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 為 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ， 則 由 kOP kOQ1，可得x1x2y1 y20 ，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解或因?yàn)橥ㄟ^(guò)原點(diǎn)的直線的斜率為y ，由直線 l 與圓的方程構(gòu)造以y 為未知數(shù)的一元二次方程，

14、由根與系數(shù)關(guān)系得出kOP kOQ 的xx值，從而使問(wèn)題得以解決解法一： 設(shè)點(diǎn) P 、 Q 的坐標(biāo)為 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 一方面，由 OPOQ ，得kky1y21，也即： x xy yOP1，即20OQx1x21 21另一方面， (x1, y1) 、 ( x2, y2 ) 是方程組x 2 y 3 0的實(shí)數(shù)解，即 x1 、 x2x 2y2x6 ym0是方程 5x210 x4m270的兩個(gè)根x1x22 ， x1 x24m275 又 P 、 Q 在直線 x2 y30上，y1 y21 (3x1 ) 1 (3x2 )1 93(x1x2 )x1x2 224將代入，得 y1 y

15、2m125將、代入，解得m3 ，代入方程，檢驗(yàn)0 成立，m3解法二： 由直線方程可得3x2 y ，代入圓的方程x2y2x6 ym0 ，有x2y21 ( x2 y)( x6y)m (x2 y)20 ，39整理，得 (12m)x24(m3) xy(4m27 ) y20 由于 x0，故可得( 4m27)( y )24(m3)y12 m 0xx文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案kOP ， kOQ 是上述方程兩根故kOP kOQ1得12m1，解得 m3 4m27經(jīng)檢驗(yàn)可知 m3 為所求說(shuō)明： 求解本題時(shí)，應(yīng)避免去求P 、 Q 兩點(diǎn)的坐標(biāo)的具體數(shù)值除此之外，還應(yīng)對(duì)求出的 m 值進(jìn)行必要的檢驗(yàn)，這是因?yàn)樵谇蠼膺^(guò)程中并沒(méi)有確保

16、有交點(diǎn)P 、 Q 存在y解法一顯示了一種解這類題的通法，解法二的關(guān)鍵在于依據(jù)直線方程構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于x的二次齊次方程，雖有規(guī)律可循，但需一定的變形技巧，同時(shí)也可看出，這種方法給人以一種淋漓酣暢，一氣呵成之感典型例題十一例 11求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A( 0 , 5) ，且與直線x2 y0 和 2xy0 都相切的圓的方程分析： 欲確定圓的方程需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過(guò)定點(diǎn)A ，故只需確定圓心坐標(biāo)又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上解： 圓和直線 x2 y0與 2xy0 相切，圓心 C 在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線x2 y0和 2xy0 的距離相等x 2 yx2 y55兩直線

17、交角的平分線方程是x3y0 或 3x y 0 又圓過(guò)點(diǎn) A( 0 , 5)，圓心 C 只能在直線3xy0 上設(shè)圓心 C (t , 3t)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案C 到直線 2xy0的距離等于 AC ，2t 3tt 2(3t5) 25化簡(jiǎn)整理得 t 26t50 解得： t1或 t5圓心是 (1 , 3) ，半徑為 5或圓心是 (5 , 15)，半徑為 55 所求圓的方程為 ( x1)2( y 3)25 或 ( x5) 2( y15)2125 說(shuō)明： 本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是過(guò)定點(diǎn)且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法典型例題十二例 12

18、設(shè)圓滿足： (1) 截 y 軸所得弦長(zhǎng)為2；(2)被 x 軸分成兩段弧，其弧長(zhǎng)的比為3 :1，在滿足條件 (1)(2) 的所有圓中，求圓心到直線l ： x2y 0 的距離最小的圓的方程分析： 要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程滿足兩個(gè)條件的圓有無(wú)數(shù)個(gè)，其圓心的集合可看作動(dòng)點(diǎn)的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點(diǎn)到直線的距離公式，通過(guò)求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定圓的半徑，求出圓的方程解法一： 設(shè)圓心為 P(a , b) ，半徑為 r 則 P 到 x 軸、 y 軸的距離分別為b 和 a 由題設(shè)知：圓截x 軸所得劣弧所對(duì)的圓心角為90 ，故圓截

19、 x 軸所得弦長(zhǎng)為2r r 22b2又圓截 y 軸所得弦長(zhǎng)為2 221 ra文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案又 P( a , b) 到直線 x2 y0的距離為da2b52a25d2ba 24b 24aba24b22(a 2b2 )2b2a21當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“ = ”號(hào)，此時(shí) dmin55這時(shí)有ab2b2a 21a1a1或b1b1又 r 22b22故所求圓的方程為( x 1) 2( y 1) 22 或 (x 1) 2( y 1) 22解法二： 同解法一，得da2b5a2b5d 24b24 5bd5d2a將 a 22b21代入上式得：2b245bd5d 210 上述方程有實(shí)根，故8(5d 21)0 ，文檔實(shí)

20、用標(biāo)準(zhǔn)文案5d5將 d51 代入方程得 b5又 2b2a21a1 由 a2b1知 a 、 b 同號(hào)故所求圓的方程為( x 1) 2( y 1) 22 或 (x 1) 2( y 1) 22 說(shuō)明： 本題是求點(diǎn)到直線距離最小時(shí)的圓的方程，若變換為求面積最小呢？典型例題十三例 13兩圓 C1： x2y2D1 xE1 yF10 與 C2： x 2y2D 2 xE2 yF20 相交于 A 、 B 兩點(diǎn)，求它們的公共弦AB 所在直線的方程分析： 首先求 A 、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線AB 的方程，但是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過(guò)程太繁為了避免求交點(diǎn)，可以采用“設(shè)而不求”的技巧解：設(shè)兩圓 C1 、 C 2

21、的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為( x0 , y0 ) ，則有：x02y02D1x0E1 y0F10x0 2y02D2 x0E2 y0F20得： (D1D 2 ) x0( E1E2 ) y0F1F20 A 、 B 的坐標(biāo)滿足方程(D1D2 ) x(E1E2 ) yF1 F2 0方程 ( D1 D 2 )x( E1E2 ) yF1F20 是過(guò) A 、 B 兩點(diǎn)的直線方程又過(guò) A 、 B 兩點(diǎn)的直線是唯一的兩圓 C1 、 C 2 的公共弦AB 所在直線的方程為(D1D2 ) x( E1E2 ) yF1F20 說(shuō)明： 上述解法中，巧妙地避開(kāi)了求A 、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案沒(méi)有去

22、求它，而是利用曲線與方程的概念達(dá)到了目標(biāo)從解題的角度上說(shuō)，這是一種“設(shè)而不求”的技巧，從知識(shí)內(nèi)容的角度上說(shuō)，還體現(xiàn)了對(duì)曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對(duì)直線方程是一次方程的本質(zhì)認(rèn)識(shí)它的應(yīng)用很廣泛典型例題十四例 14已知對(duì)于圓x2y1 21上任意一點(diǎn)P x， y ，不等式 xym0 恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍解：運(yùn)用圓的參數(shù)方程，設(shè)P 的坐標(biāo)為cos ，1 sin，0，2即 x cos ， y 1 sin ，xym0 恒成立mxy 恒成立即 mcos 1 sin 恒成立只需 m 大于等于cos1sin的最大值令 ucos1sincos sin12 sin14u 的最大值為21m21說(shuō)明： 在上

23、述解法中我們運(yùn)用了圓上點(diǎn)的參數(shù)設(shè)法采用這種設(shè)法的優(yōu)點(diǎn)在于，一方面可以減少參數(shù)的個(gè)數(shù)，另一方面可以靈活地運(yùn)用三角公式從代數(shù)的觀點(diǎn)看，這種設(shè)法的實(shí)質(zhì)就是三角代換另外本題也可以不用圓的參數(shù)方程求解，本題的實(shí)質(zhì)就是求最值問(wèn)題，方法較多但以上述解法較簡(jiǎn)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案典型例題十五例 15x2 cos ,為參數(shù) )上的點(diǎn)到點(diǎn) A(3 ,4) 距離的最大 (小 )值試求圓y2 sin(分析： 利用兩點(diǎn)間距離公式求解或數(shù)形結(jié)合求解解法一： 設(shè) P 是圓x2 cos,P(2cos, 2sin ) 所以y2 sin上任一點(diǎn)，則PA(32cos) 2(4 2 sin)225412cos16sin2920sin()

24、(arctan 3) 4因?yàn)镽 ，所以R ，因此當(dāng) sin()1時(shí)， PA 最大值29207 當(dāng) sin()1 時(shí)， PA 最小值29203x2 cos ,2y 24解法二： 將圓y2 sin代入普通方程得 x如圖所示可得，P1 A 、 P2 A 分別是圓上的點(diǎn)到A(3 , 4)的距離的最小值和最大值易知：P1A 3， P2A7 說(shuō)明：xar cos ,(1) 在圓的參數(shù)方程b( 為參數(shù) )中， A(a , b) 為圓心， r (r 0) 為半徑，yr sin參數(shù)的幾何意義是：圓的半徑從x 軸正向繞圓心按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到P 所得圓心角的大文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案小若原點(diǎn)為圓心，常常用(r cos, r

25、 sin) 來(lái)表示半徑為r 的圓上的任一點(diǎn)(2) 圓的參數(shù)方程也是解決某些代數(shù)問(wèn)題的一個(gè)重要工具典型例題十六例 16已知圓的方程為x2y2r 2 ，圓內(nèi)有定點(diǎn)P( a , b) ，圓周上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A 、 B ，使 PAPB ，求矩形 APBQ 的頂點(diǎn) Q 的軌跡方程分析： 利用幾何法求解，或利用轉(zhuǎn)移法求解，或利用參數(shù)法求解解法一：如圖，在矩形 APBQ 中，連結(jié) AB ，PQ 交于 M ，顯然 OMAB ， ABPQ ，在直角三角形AOM 中，若設(shè) Q( x , y) ，則 M ( xa , yb) 22222由 OMAMOA ，即( x a )2( y b )21 ( x a) 2( y b

26、)2 r 2 ，224也即 x2y22r 2(a2b2 ) ，這便是 Q 的軌跡方程解法二： 設(shè) Q(x , y) 、 A(x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ，則 x12y12r 2 ， x22y22r 2 22又 PQAB ，即( x a) 2( y b) 2(x1x2 )2( y1y2 )22r 22(x1x2y1 y2 ) 又 AB 與 PQ 的中點(diǎn)重合，故 xax1 x2 ， yby1y2 ，即( x a)2( y b) 22r 22( x1x2y1 y2 ) ，有 x2y22r 2(a2b2 ) 文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案這就是所求的軌跡方程解法三： 設(shè) A(r cos , r

27、 sin) 、 B(r cos , r sin) 、 Q ( x , y) ，由于 APBQ 為矩形，故 AB 與 PQ 的中點(diǎn)重合，即有xar cosr cos，ybr sinr sin，又由 PA PB有r sinbr sinbr cosa r cos1a聯(lián)立、消去、，即可得 Q 點(diǎn)的軌跡方程為 x2y22r 2(a 2b2 ) 說(shuō)明： 本題的條件較多且較隱含，解題時(shí)，思路應(yīng)清晰，且應(yīng)充分利用圖形的幾何性質(zhì)，否則，將使解題陷入困境之中本題給出三種解法其中的解法一是幾何方法，它充分利用了圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系而解法二與解法三，從本質(zhì)上是一樣的，都可以稱為參數(shù)方法解法二涉及到了x1 、 x2 、

28、 y1 、y2 四個(gè)參數(shù)，故需列出五個(gè)方程；而解法三中，由于借助了圓x2y2r 2 的參數(shù)方程，只涉及到兩個(gè)參數(shù)、，故只需列出三個(gè)方程便可上述三種解法的共同之處是，利用了圖形的幾何特征，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法求解典型例題十七例 17 設(shè)點(diǎn) P(x , y) 是圓 x2y21是任一點(diǎn)，求 uy2的取值范圍x1分析一： 利用圓上任一點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)代替x 、 y ，轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題來(lái)解決解法一： 設(shè)圓 x2y21上任一點(diǎn) P(cos, sin )則有 x cos ， ysin0,2 )文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案sin2，u cosusin2ucos1sin(u2)u cos即u 21 sin()u2 （ tanu

29、 ）)(u2)sin(u 21又 sin()1u21u 21解之得： u34y2分析二： u的幾何意義是過(guò)圓x2y21上一動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)( 1 , 2) 的連線的斜率，x1利用此直線與圓x2y21 有公共點(diǎn)，可確定出u 的取值范圍解法二：由 uy2得： y2u( x1)，此直線與圓 x2y 21有公共點(diǎn)， 故點(diǎn) (0 , 0)x1到直線的距離 d1u21u 21解得： u3 4另外，直線 y2u( x1)與圓 x2y21的公共點(diǎn)還可以這樣來(lái)處理：由y2u( x1)消去y后得：(u 21)x2u 2ux(u2u0，x2y21(24)4 3)此方程有實(shí)根，故(2u2u)24(u21)(u 2u3)0，44解之得： u34說(shuō)明：這里將圓上的點(diǎn)用它的