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文檔簡介
1、第5講 棄九法從第4講知道,如果一個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除,那么這個數(shù)能被9整除;如果一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和被9除余數(shù)是幾,那么這個數(shù)被9除的余數(shù)也一定是幾。利用這個性質(zhì)可以迅速地判斷一個數(shù)能否被9整除或者求出被9除的余數(shù)是幾。例如,3645732這個數(shù),各個數(shù)位上的數(shù)字之和為364573230,30被9除余3,所以3645732這個數(shù)不能被9整除,且被9除后余數(shù)為3。但是,當(dāng)一個數(shù)的數(shù)位較多時,這種計算麻煩且易錯。有沒有更簡便的方法呢?因為我們只是判斷這個式子被9除的余數(shù),所以凡是若干個數(shù)的和是9時,就把這些數(shù)劃掉,如369,459,729,把這些數(shù)劃掉后,最多只剩下一個3(
2、如下圖),所以這個數(shù)除以9的余數(shù)是3。這種將和為9或9的倍數(shù)的數(shù)字劃掉,用剩下的數(shù)字和求除以9的余數(shù)的方法,叫做棄九法。一個數(shù)被9除的余數(shù)叫做這個數(shù)的九余數(shù)。利用棄九法可以計算一個數(shù)的九余數(shù),還可以檢驗四則運算的正確性。例1 求多位數(shù)除以9的余數(shù)。分析與解:利用棄九法,將和為9的數(shù)依次劃掉。只剩下7,6,1,5四個數(shù),這時口算一下即可??谒阒?,6,5的和是9的倍數(shù),又可劃掉,只剩下1。所以這個多位數(shù)除以9余1。例2 將自然數(shù)1,2,3,依次無間隔地寫下去組成一個數(shù)如果一直寫到自然數(shù)100,那么所得的數(shù)除以9的余數(shù)是多少?分析與解:因為這個數(shù)太大,全部寫出來很麻煩,在使用棄九法時不能逐個劃掉
3、和為9或9的倍數(shù)的數(shù),所以要配合適當(dāng)?shù)姆治?。我們已?jīng)熟知123945,而45是9的倍數(shù),所以每一組1,2,3,9都可以劃掉。在199這九十九個數(shù)中,個位數(shù)有十組1,2,3,9,都可劃掉;十位數(shù)也有十組1,2,3,9,也都劃掉。這樣在這個大數(shù)中,除了0以外,只剩下最后的100中的數(shù)字1。所以這個數(shù)除以9余1。在上面的解法中,并沒有計算出這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字和,而是利用棄九法分析求解。本題還有其它簡捷的解法。因為一個數(shù)與它的各個數(shù)位上的數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同,所以題中這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和,與12100除以9的余數(shù)相同。利用高斯求和法,知此和是5050。因為5050的數(shù)字和為5050=10
4、,利用棄九法,棄去一個9余1,故5050除以9余1。因此題中的數(shù)除以9余1。例3 檢驗下面的加法算式是否正確:26384573521983674578512907225。分析與解:若干個加數(shù)的九余數(shù)相加,所得和的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谶@些加數(shù)的和的九余數(shù)。如果不等,那么這個加法算式肯定不正確。上式中,三個加數(shù)的九余數(shù)依次為8,4,6,8+4+6的九余數(shù)為0;和的九余數(shù)為1。因為01,所以這個算式不正確。例4 檢驗下面的減法算式是否正確:7832145-21679535664192。分析與解:被減數(shù)的九余數(shù)減去減數(shù)的九余數(shù)(若不夠減,可在被減數(shù)的九余數(shù)上加9,然后再減)應(yīng)當(dāng)?shù)扔诓畹木庞鄶?shù)。如果不等,那么
5、這個減法計算肯定不正確。上式中被減數(shù)的九余數(shù)是3,減數(shù)的九余數(shù)是6,由(9+3)-66知,原題等號左邊的九余數(shù)是6。等號右邊的九余數(shù)也是6。因為66,所以這個減法運算可能正確。值得注意的是,這里我們用的是“可能正確”。利用棄九法檢驗加法、減法、乘法(見例5)運算的結(jié)果是否正確時,如果等號兩邊的九余數(shù)不相等,那么這個算式肯定不正確;如果等號兩邊的九余數(shù)相等,那么還不能確定算式是否正確,因為九余數(shù)只有0,1,2,8九種情況,不同的數(shù)可能有相同的九余數(shù)。所以用棄九法檢驗運算的正確性,只是一種粗略的檢驗。例5 檢驗下面的乘法算式是否正確:468769537447156412。分析與解:兩個因數(shù)的九余數(shù)
6、相乘,所得的數(shù)的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔趦蓚€因數(shù)的乘積的九余數(shù)。如果不等,那么這個乘法計算肯定不正確。上式中,被乘數(shù)的九余數(shù)是4,乘數(shù)的九余數(shù)是6,4624,24的九余數(shù)是6。乘積的九余數(shù)是7。67,所以這個算式不正確。說明:因為除法是乘法的逆運算,被除數(shù)=除數(shù)商+余數(shù),所以當(dāng)余數(shù)為零時,利用棄九法驗算除法可化為用棄九法去驗算乘法。例如,檢驗383801253=1517的正確性,只需檢驗1517253=383801的正確性。練習(xí)51求下列各數(shù)除以9的余數(shù):(1)7468251; (2)36298745;(3)2657348; (4)6678254193。2求下列各式除以9的余數(shù):(1)6723582564; (2)97256-47823;(3)27836451; (4)3477+265841。3用棄九法檢驗下列各題計算的正確性:(1)22822250616;(2)334336112224;(3)2337242
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