分離變數(shù)法精選.

1、齊次方程的求解定解問題的求解思路¥_分離變數(shù)法原則：化未知為已知方法：分析和綜合步驟：分偏為常，分別求解，合成定解典型問題的求解分析過程例題其它問題的求解邊界條件的變化泛定方程的變化分離變數(shù)法齊次方程的求解輸運(yùn)方程齊次穩(wěn)定場(chǎng)問題的求解定解問題非齊次問題的求解 多變量推廣 本章小結(jié)Uta2Uxx, 0 x Lu| 0 0, u | ,0x 0x Lu |t 0(X)典型問題的求解未知函數(shù)分離u(x,t)X(x)T(t)泛定方程分離T 'X a2TX"T ' X a2TX " a2TX a2TXT '/(a2? ) X"/ X邊界條件

2、分離T(t)X(0) T(t)X(L) 0X (0) X(L) 0分離結(jié)果X" 2X 0X(0) X(L) 0T' a2 2T 0典型問題的求解分離結(jié)果的求解X":X(0)2X 0X(L)0T' a2 2T空間方程解出X(x)C cosxD sin xX(0)C 0X(L)D sinL0非零解條件sin L0Lkk /L,k非零解Xk(x)sinkx,k k /L時(shí)間方程解出Tk(t)Ak exp(2 2 ka t)0Nu t 0(x)u ta2uxxu T(t)X(x)X(0)u|x L 0LX(L) 0分離變量流程圖T7(a2T)X"/XT&#

3、39; a2w2T 02 2T Aexp( a w t)u(x,t)X"WXX sin x,k"Luk Tk(t)Xk(x):TkXk例題ut a2uxx 0, 0 xu|x 0 0, u |x0u | 0 sin x(A B cosx)分離結(jié)果的合成uk (x ,t) Xk (x)Tk(t)Ak exp( a2 jt)sin kX再合成半通解uk /k(x, t)k lAke a kt sin初始條件要求(x)Ak sin kX系數(shù)的確定2 LAk(x)sin kXdxL 0過程小結(jié)分離變量一一分別求解一一合成半通解一一由初始條件確定系數(shù)J I波動(dòng)方程定解問題Utta2u

4、xx 0, 0 X Lu lx 0 0, u |x l 0u It 0(x), q |t 0(x)卜分離變量U(x,t) X(x)T(t)T'a2 2t 0, X"2X 0X(0) X( ) 0分別求解X k sin(kx),TkAk exp( k2a2t), k N合成半通解uAkexp( k2a2t) sin kxk 1代入初始條件 sin x(A Bcosx) A sin kxAsin x ； B sin2x A sin x Rsin 2x A sin 3x£未知函數(shù)分離u(x,t) X(x)T (t)泛定方程分離T"/(a2T) X"/X

5、邊界條件分離X(0) X(L) 0Ux |x 00, ux|x L 0u|t o(x)本征運(yùn)動(dòng)半通解Xsin(wx), w k /L ,k 1,2, w2Tk Ak cosiWk at) Bk si n(Wkat)u kJk(t)Xk(x)初始條件要求(x)AkXk(x), (x)aWkBkXk(x)典型問題的求解例題典型問題的求解*未知函數(shù)分離u(x, t) X(x)T(t)泛定方程分離T'/(a 2T) X"/XX '(0)X'(L)0本征運(yùn)動(dòng)Xk cos(wkx), Wkk /L, k 0,1,2,L ,2 wTk A<exp( wk?a2t)半通

6、解uTo小忙*")邊界條件分離初始條件(x) AAk Xk (x)u” a 2u 0, 0 xttxxu| 00, u| 00u|t 00, uJt 0 sinx(A Bcosx)卜分離變量u(x, t) X(x)T (t)T" a2 2T 0,2X" X 0X(0) X( )0例題2Uta Uxx 0, 0 xuxlx 0 0, ux lx02u |t 0 A cos x分別求解Xksin(kx),Tk Ak cos(kat) BkSin(kat), k N合成半通解u kcos(kat) Bk sin(kat) sin kx0Ak sin kx代入初始條件si

7、n x (A B cos x ) kaB k sin kx1Asin x B sin 2 x aB 1 sin x 2aB 2 sin 2x 3aB 3 sin 3x11B11 A, B24；B, Bk 20, Ak 0u(x,t) X(x)T(t)思考題分離變量T' a2 午 0,X"2X 0X'(0)X'( ) 0思考題1:如何求解下面的波動(dòng)問題分別求解合成半通解Xk cos(k, Tk A< exp( k2a2t), k NX01,T0 AuAk exp( k2a 2t) cos kxk 0utt a u xx 0, 0 x Lu x |x 0 0

8、 , u x | x L0u |t 0( x), u t |t 0( x)代入初始條件Acos2 x k 0 Ak coskx2 A 1 A cos2 x Ao A1 cos x A2 cos 2x A cos 3x思考題2 :如何求解下面的熱傳導(dǎo)問題2ut a uxx 0,0 x Lu |x 00, ux |x L 0u t 0(x)A 2 A, A?2 A, Ai Ak 2 0穩(wěn)定場(chǎng)問題拉普拉斯方程 矩形區(qū)域問題 簡(jiǎn)單情況 一般情況圓形區(qū)域問題 典型問題分析 例題在對(duì)應(yīng)的波動(dòng)問題的半通解中，取a = i，t = y， L =，可以得到本題的半通解u k iA* exp(ky) Bk exp

9、( ky)sin kx代入初始條件sin x(A Bcosx)Ak Bk sin kx0a* exp kbBk exp kb sin kx求系數(shù)A、B拉普拉斯方程矩形區(qū)域拉普拉斯方程UxxUyy矩形區(qū)域0,0 x Li, 0 y L2定解問題UxxUyy 0, 0 xL, 0 yL2思考題u|x 0 f(y)，u|x s g(y)Uly 0 0, uly L20uxx uyy 0,0 x L1,0 y L2U|x00, u|x L10比較ulx 0 0, u lx Li0u|y 0(X)，u|y L2(X)U|y0(x), U|y L2(X)uxx uyy 0,0 xLi, 0y L 2再思考

10、u |x 0 f (y), u |x a g(y)u|y 0(x), u |y b ( X):知函數(shù)分離變量 u(x,y) X(x)Y(y)泛定方程分離X" /X Y"/YX邊界條件分 離分離解X(0) X(Li)0XkYsin( kx), *A cosh( ky)k /L1 ,k 1,2, BkSinh( k y)合成半通解k1Yk(y)Xk(x)JI拉普拉斯方程圓形區(qū)域 定解問題11cu u u 0,au| a f()Y邊界條件要求(X)A sin k x,(X)Ak cosh( k L2) Bk sinh( kL2) sin kx典型問題的求解例題UxxUyy0, 0

11、U|xU|y00, U|x0 sin x(ABcosx), u |y b 0未知函數(shù)分離變量一u(x,y)X(x)Y(y)泛定方程分離X"/XY"/YX邊界條件分X(0)X()0離.L .分離解X * sin(* x),k , kY A exp(ky)B*exp( 1合成半通解uk1Yk(y)X*(x)Y邊界條件要求sin x AB cos xA0Ak exp( kb)Bk exp( kb)sin kxBk sin kx,1,2,Lky)幻燈片28幻燈片29u(,)未知函數(shù)分離變量泛定方程分離自然邊界條件R()(2R"(2R"R'R')/

12、RR ""/分離結(jié)果(02 )(2R" R' R 0),R(0)有界”2 02R R2R 02 )(),R(0)有界對(duì)分離結(jié)果的求解角度方程求解()AcosBsi n利用自然周期條件T 2/廠2/ mm角度方程的解m ()Am cosmBmSin m徑向方程的解dRdRd dx - dxdlnx Ind2Rd dR2 dRdR菽d dd2Rm2R 0 Remx mQ mdx2mxmme2)()R(0)有界，(燈片30幻燈片31幻燈片32幻燈片33幻燈片34幻燈片35幻燈片3637幻燈片38幻燈片39Wt燈片40幻燈片41幻燈片42幻燈片43幻燈片4Ak)x

13、/ L2：(齊次問題的求解w |x 00, w |x L 0w |t 0x,0w(x,t) X(x)T(t) |X"X(0)Xk(x)Tk(t)X(L) 0T'a2Ak sin : x)x/ L sin n xdxL-疊加兩解w x,t*sin .7,2 2n a2LAkexp(2t)n2a2 2k心亠匕u x,t v x, t w x,t非齊次問題的求解例題utta%”0, O x Lu|x 0, u|x LUlt 0 0, Ut t 0 02/Lnsin xL幻燈片45幻燈片46例題utta2uxxA cos t, 0 x LUxx 00, UxL L 0u |t 0 0

14、, q L 0 0原問題分解u x,t v x,t w x,t2Vtta Vxx 0v|x 0, v|x L原問題分解* w a2wxx0, 0 xK w|x 00, w|x L 0w|t 0x,0 ,非齊次問題L齊次問題幻燈片47u x, t v x,t w x,t2Vtt a Vxx A cos0,2Wtta w<x0, 0x LWxL 00,wxx L0齊次問題wlt 0x,0 ,wt lt 0tx,0Vx1 x 0LVx |x非齊次問題vtta'vxxA cos tVx lx 00, vx lx L 0t幻燈片48幻燈片49齊次問題的求解2wtta 'wxx 0w

15、 It 0wxx0,0, 0 wx lx L x,0 ,wt0B0t x,0w(x,t) X(x)T(t).X 0X'(L)X"X'(0)T"a2A cos _ xXk(x)cos x,k /Lkna sinn x LLLTk(t)“，na 、Akcos(t)dQ sin(fw x,tA0B°tk 1na宀 cos(t)LnaB, sin( _ t L2A0L t)nt) cos xLB疊加兩解例題u x,t v x, tw x,t2Utt a Uxx 0, 0 x L % lx 0 0, u |x l Asin mt u lt 0(x), Ut

16、lt 0(x)幻燈片50幻燈片51幻燈片原問題分解u x,t v x,t w x,tVttr v|xWttW|xW|tWt t特解的確定2a vxx00 0, v|x L Asin mt非齊次問題a2Wxx0, 0 x L0, w|x L 02vtt a vxx齊次問題55(x) v t 0,(x) vt |t 0v |x 00, v|x L令：v (x,t) V(x)sin mtC cos(mx / a ) Dm2V a2V"V(0)0, V (L)A sin mtsin(mx / a)V(0)0V(L) 0 D A/sin(mL / a)齊次問題的求解2Wtta 1W|x 01W

17、t 0Wxx 0, 0 x0, W|x L 0(x) v| 0,WtX"X(0)(X)vt I 056W(x,t) X(x)T(t)XX(L) 0T"a2 T 052幻燈片53幻燈片54Bk L L x疊加兩解w x,tXk(x)sin x,naTk (t)Acos(-t)*nak i Ak cos(t)Bk sin(2/LnaB k sin(t)nan_t) sin 丁 xu x,t v x, t W x,t57非齊次問題的求解例題uxxuyy2, 0x a, 0 y bu |xU |y0,0,|x a58原問題分解u x,t v x,t w x,tVxxvyy2,非齊次

18、問題v|xWxxw |xW |y0 0,Wyy0 0,v|x0,w |x0v |y 0 , Wa,齊次問題v|y b59燈片60幻燈片61幻燈片62幻燈片63幻燈片64w| a U | a v | a)R()(a4 sin21 2WWW2R"0, a24a 4sin 2R' 2r 0(2 )( )R(0)有界Bm sinmamAmcos(n ) Bmsin(m )疊加兩解 U三變量問題Am cos m"(fcoamm 0Bm sinm )齊次問題典型例題一般性質(zhì) 兩次分離，兩組本征方程，兩重求和, 雙下標(biāo)。非齊次問題特解法N變量問題丁/的T' a2w2T 0

19、熱 T Aexp(at) 傳 導(dǎo) 方 程多變量推廣a2 2U2V/VWu T(t)v(x,y)X" wfx定解問題Utta2(UxxUyy)0, 0 xL1, 0 yL?u|x 0 0, u |x l, 0, u|y 0 0, u|y L, 0u|t 0(x, y), Ut |t 0(x, y)未知函數(shù)分離變量泛定方程分離二次分離變量u(x, y,t) v(x,y)T(t)T"/( a2T ) (v v ) / vw2xx yy22T " w a T 0 T A cos( wat ) B sin( wat )2Vxxv yyW Vv(x,y) X (x)Y(y)X

20、" / X Y" /Y w2X" w,2 X0, Y " w2y 0, w ,2 w； w2X(0) X(L,) Y(0) y(L2)0幻燈片65幻燈片66幻燈片67幻燈片68幻燈片69r多變量推廣空間方程求解X" w2X 0,Y" w；Y 0, X(0) X(LJ Y(0) 丫&)X sin(wx), w k / L, ,k Y sinW2y),W2 k2 /L2, k2Tki, k 201,2,12,Al,k2 COs(Wk1 ,k2 at)Bk1,k2sin(Wk1,k2at)Wk1,k2合成解k1 1 嶺 Jk,k2(t)兀i(x)YUy)利用初始條件(x,y)(x,y)Ak1,k2Xk1(x)Yk2(y)aWkBXk (x)Yk2(y)本章小結(jié)bi-基本方法齊次問題：分離變量法； 非齊次問題：特解法。常用本征方程齊次邊界條件第一類齊次邊界條