數學必修2人教A：2.1.2空間直線與直線之間的位置關系

1、第二課時 空間中直線與直線之間的位置關系（一）教學目標1知識與技能（1）了解空間中兩條直線的位置關系；（2）理解異面直線的概念、畫法，培養(yǎng)學生的空間想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）異面直線所成角的定義、范圍及應用。2過程與方法讓學生在學習過程中不斷歸納整理所學知識.3情感、態(tài)度與價值讓學生感受到掌握空間兩直線關系的必要性，提高學生的學習興趣.（二）教學重點、難點重點：1、異面直線的概念； 2、公理4及等角定理.難點：異面直線所成角的計算.（三）教學方法師生的共同討論與講授法相結合；教學過程教學內容師生互動設計意圖新課導入問題：在同一平面內，兩條直線有幾種位置關

2、系？空間的兩條直線還有沒有其他位置關系？師投影問題，學生討論回答生1：在同一平面內，兩條直線的位置關系有：平行與相交.生2：空間的兩條直線除平行與相交外還有其他位置關系，如教室里的電燈線與墻角線師（肯定）：這種位置關系我們把它稱為異面直線，這節(jié)課我們要討論的是空間中直線與直線的位置關系.以舊導新培養(yǎng)學生知識的系統性和學生學習的積極性.探索新知相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點1空間的兩條直線位置關系：共面直線異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點.師：根據剛才的分析，空間的兩條直線的位置關系有以下三種：相交直線有且僅有一個公共點平行直線在同一平面內，

3、沒有公共點.異面直線不同在任何一個平面內，沒有公共點.隨堂練習：如圖所示P50-16是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有 對.答案：4對，分別是HG與EF，AB與CD，AB與EF，AB與HG.現在大家思考一下這三種位置關系可不可以進行分類生：按兩條直線是否共面可以將三種位置關系分成兩類：一類是平行直線和相交直線，它們是共面直線.一類是異面直線，它們不同在任何一個平面內.師（肯定）所以異面直線的特征可說成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一個平面內”是否可改為“不在一個平面內呢”學生討論發(fā)現不能去掉“任何”師：“不同在任何一個

4、平面內”可以理解為“不存在一個平面，使兩異面直線在該平面內”培養(yǎng)學生分類的能力，加深學生對空間的一條直線位置關系的理解（1）公理4，平行于同一條直線的兩條直線互相平行（2）定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補例2 如圖所示，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.證明：連接BD，因為EH是ABD的中位線，所以EHBD，且.同理FGBD，且.因為EHFG，且EH = FG，所以 四邊形EFGH為平行四邊形.師：現在請大家看一看我們的教室，找一下有無不在同一平面內的三條直線兩兩平行的.師：我們把上述規(guī)律作

5、為本章的第4個公理.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.師：現在請大家思考公理4是否可以推廣，它有什么作用.生：推廣空間平行于一條直線的所有直線都互相平行.它可以用來證明兩條直線平行.師（肯定）下面我們來看一個例子觀察圖，在長方體ABCD ABCD中，ADC與ADC，ADC 與ABC的兩邊分別對應平行，這兩組角的大小關系如何？生：從圖中可以看出，ADC = ADC，ADC + ABC=180°師：一般地，有以下定理：這個定理可以用公理4證明，是公理4的一個推廣，我們把它稱為等角定理.師打出投影片讓學生嘗試作圖，在作圖的基礎上猜想平行的直線并試圖證明.師：在圖中EH、FG有怎樣

6、的特點？它們有直接的聯系嗎？引導學生找出證明思路.培養(yǎng)學生觀察能力語言表達能力和探索創(chuàng)新的意識.通過分析和引導，培養(yǎng)學生解題能力.探索新知3異面直線所成的角（1）異面直線所成角的概念.已知兩條異面直線a、b，經過空間任一點O作直線aa，bb，我們把a與b所成的銳角(或直角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角.（2）異面直線互相垂直a、b，記作ab.例3 如圖，已知正方體ABCD ABCD.（1）哪些棱所在直線與直線BA是異面直線？（2）直線BA和CC的夾角是多少？（3）哪此棱所在的直線與直線AA垂直？解：（1）由異面直線的定義可知，棱AD、DC、CC、DD、DC、BC所在直線分別與直線BA是異面

7、直線.（2）由BBCC可知，BBA為異面直線BA與CC的夾角，BBA= 45°.（3）直線AB、BC、CD、DA、AB、BC、CD、DA分別與直線AA垂直.師講述異面直線所成的角的定義，然后學生共同對定義進行分析，得出如下結論.兩條異面直線所成角的大小，是由這兩條異面直線的相互位置決定的，與點O的位置選取無關；兩條異面直線所成的角；因為點O可以任意選取，這就給我們找出兩條異面直線所成的角帶來了方便，具體運用時，為了簡便，我們可以把點O選在兩條異面直線的某一條上；找出兩條異面直線所成的角，要作平行移動（作平行線），把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角；當兩條異面直線所成的角

8、是直線時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，異面直線a和b互相垂直，也記作ab；以后我們說兩條直線互相垂直，這兩條直線可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有異面垂直這樣兩種情形.然后師生共同分析例題加深對平面直線所成角的理解，培養(yǎng)空間想象能圖力和轉化化歸以能力.隨堂練習1填空題：（1）如圖，AA是長方體的一條棱，長方體中與AA平行的棱共有 條.（2）如果OAOA，OBOB，那么AOB和AOB .答案：（1）3條. 分別是BB，CC，DD；（2）相等或互補.2如圖，已知長方體ABCD ABCD中，AB =，AD =，AA =2.（1）BC和AC所成的角是多少度？（2）AA 和BC 所成

9、的角是多少度？學生獨立完成答案：.2（1）因為BCBC，所以BCA是異面直線AC與BC所成的角. 在RtABC中，AB=，BC=，所以BCA = 45°.（2）因為AABB，所以BBC是異面直線AA 和BB 所成的角.在RtBBC中，BC = AD =，BB= AA=2，所以BC= 4，BBC= 60°.因此，異面直線AA與BC所成的角為60°.歸納總結1空間中兩條直線的位置關系.2平行公理及等角定理.3異面直線所成的角.學生歸納，教師點評并完善培養(yǎng)學生歸納總結能力，加深學生對知識的掌握，完善學生知識結構.作業(yè)2.1 第二課時 習案學生獨立完成固化知識提升能力附加

10、例題 例1 “a、b為異面直線”是指：ab =，且ab；a面，b面，且ab =；a面，b面，且=；a面，b面；不存在面，使a面，b面成立.上述結論中，正確的是（ ）A正確 B正確C僅正確 D僅正確【解析】 等價于a和b既不相交，又不平行，故a、b是異面直線；等價于a、b不同在同一平面內，故a、b例2 如果異面直線a與b所成角為50°，P為空間一定點，則過點P與a、b所成的角都是30°的直線有且僅有 條. B【解析】如圖所示，過定點 P 作 a 、 b 的平行線 a、b，因a、b成50°角，a與bP作APB的平分線，取較小的角有APO =BPO = 25°.APAAPO，過P作直線l與a、b成30°角的直線有2條.例3 空間四邊形ABCD，已知AD =1，BD =，且ADBC，對角線BD =，AC =，求AC和BD所成的角?！窘馕觥咳B、AD、DC、BD