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1、生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例一、選擇題1將8分解為兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和,使其立方之和為最小,則分法為()A2和6B4和4C3和5 D以上都不對(duì)答案B解析設(shè)一個(gè)數(shù)為x,則另一個(gè)數(shù)為8x,則yx3(8x)3,0x8,y3x23(8x)2,令y0,即3x23(8x)20,解得x4.當(dāng)0x<4時(shí),y<0;當(dāng)4<x8時(shí),y>0,所以x4時(shí),y最小2某箱子的容積與底面邊長(zhǎng)的關(guān)系為V(x)x2(0<x<60),則當(dāng)箱子的容積最大時(shí),箱子底面邊長(zhǎng)為()A30 B40C50 D以上都不正確答案B3用邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒時(shí),在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形,然后
2、把四邊折起,就能焊成鐵盒所做的鐵盒容積最大時(shí),在四角截去的正方形的邊長(zhǎng)為()A6 B8C10 D12答案B解析設(shè)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm,鐵盒的容積為Vcm3,由題意,得Vx(482x)2(0<x<24),V12(24x)(8x)令V0,則在(0,24)內(nèi)有x8,故當(dāng)x8時(shí),V有最大值4內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為()AR B2RC.R D.R答案C解析設(shè)圓錐高為h,底面半徑為r,則R2(Rh)2r2,r22Rhh2,Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3,VRhh2,令V0得hR,當(dāng)0<h<R時(shí),V>0;當(dāng)R<h<2R時(shí),V<0.因
3、此當(dāng)hR時(shí),圓錐體積最大,故應(yīng)選C.5要做一個(gè)圓錐形的漏斗,其母線長(zhǎng)為20cm,要使其體積為最大,則高為()A.cm B.cmC.cm D.cm答案D6圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí),為了使所用材料最省,它的高與底半徑應(yīng)為()Ah2R BhRChR Dh答案A7以長(zhǎng)為10的線段AB為直徑畫半圓,則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為()A10 B15C25 D50答案C解析如圖,設(shè)NOB,則矩形面積S5sin·2·5cos50sin·cos25sin2,故Smax25.8設(shè)圓柱的體積為V,那么其表面積最小時(shí),底面半徑為()A. B.C. D2答案D解析設(shè)底面圓半徑為x,高為h
4、,則Vr2h,h.S表2S底S側(cè)2r22r·h2r22r·2r2.S表4r,V,又當(dāng)x(0,)時(shí),S表<0;當(dāng)x(,V)時(shí),S表>0,當(dāng)r時(shí),表面積最小9福建煉油廠某分廠將原油精煉為汽油,需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱,如果第x小時(shí)時(shí),原油溫度(單位:)為f(x)x3x28(0x5),那么,原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是()A8 B.C1 D8答案C解析瞬時(shí)變化率即為f(x)x22x為二次函數(shù),且f(x)(x1)21,又x0,5,故x1時(shí),f(x)min1.10若一球的半徑為r,作內(nèi)接于球的圓柱,則其圓柱側(cè)面積最大為()A2r2 Br2C4r2 D.r2答案A解析設(shè)內(nèi)接
5、圓柱的底面半徑為r1,高為t,則S2r1t2r124r1.S4.令(r2rr)0得r1r.此時(shí)S4·r·4·r·r2r2.二、填空題11把長(zhǎng)為60cm的鐵絲圍成矩形,長(zhǎng)為_(kāi),寬為_(kāi)時(shí),矩形的面積最大答案15cm15cm解析設(shè)長(zhǎng)為xcm,則寬為(30x)cm,此時(shí)Sx·(30x)30xx2,S302x0,所以x15cm,寬為15cm時(shí),矩形的面積最大12將長(zhǎng)為l的鐵絲剪成2段,各圍成長(zhǎng)與寬之比為21及32的矩形,則面積之和的最小值為_(kāi)答案l2解析設(shè)前者寬為x,面積之和為y,則y2x·x(l6x)·(l6x)x2lxl2,yxl
6、,令y0得,xl,yminl2.13做一個(gè)容積為256的方底無(wú)蓋水箱,它的高為_(kāi)時(shí)最省料答案4解析設(shè)底面邊長(zhǎng)為x,則高為h,其表面積為Sx24××xx2,S2x,令S0,則x8,則當(dāng)高h(yuǎn)4時(shí)S取得最小值14做一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形水桶,若要使其體積是27,且用料最小,則圓柱的底面半徑為_(kāi)答案3解析設(shè)圓柱的底面半徑為R,母線長(zhǎng)為L(zhǎng),則VR2L27,L,要使用料最省,只需使圓柱形表面積最小,S表R22RLR22,S(R)2R0,令S0得R3,當(dāng)R3時(shí),S表最小三、解答題15某公司規(guī)定:對(duì)于小于或等于150件的訂購(gòu)合同,每件售價(jià)為200元,對(duì)于多于150件的訂購(gòu)合同,每超過(guò)一件,則每件
7、的售價(jià)比原來(lái)減少1元,試問(wèn)訂購(gòu)多少件的合同將會(huì)使公司的收益最大?解析設(shè)x表示銷售的件數(shù),R表示公司的收益,則R等于每件的售價(jià)x×銷售件數(shù),當(dāng)x>150時(shí),則R200(x150)x350xx2為公司收益,先求R(x)3502x,令R(x)0,得x175時(shí),R有最大值最大收益為R350×175(175)230625,而當(dāng)一份合同訂購(gòu)的件數(shù)超過(guò)175時(shí),則公司的收益開(kāi)始減小16如圖,水渠橫斷面為等腰梯形,水的橫斷面面積為S,水面的高為h,問(wèn)側(cè)面與地面成多大角度時(shí),才能使橫斷面被水浸濕的長(zhǎng)度最???解析設(shè)浸濕的長(zhǎng)度為l,ABCDx,則lBC2xxcos2x(2cos)·
8、;x(2cos)·,lh·h·.令l0,即h·0,解得cos.60°.l只有一個(gè)極值,它是最小值將60°代入l(2cos)·,解得lminh.當(dāng)側(cè)面與地面成60°角時(shí),才能使橫斷面被水浸濕的長(zhǎng)度最小17某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本(固定投入)為2500元,已知每生產(chǎn)x件這樣的產(chǎn)品需要再增加可變成本C(x)200xx3(元),若生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能以每件500元售出,要使利潤(rùn)最大,該廠應(yīng)生產(chǎn)多少件這種產(chǎn)品?最大利潤(rùn)是多少?解析設(shè)該廠生產(chǎn)x件這種產(chǎn)品利潤(rùn)為L(zhǎng)(x)則L(x)500x2500C(x)500x2500300xx32500(xN)令L(x)300x20,得x60(件)又當(dāng)0x<60時(shí),L(x)>0x>60時(shí),L(x)<0所以x60是L(x)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn)所以當(dāng)x60時(shí),L(x)9500元18用長(zhǎng)為18m的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架,要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為21,問(wèn)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí),其體積最大?最大體積是多少?解析設(shè)長(zhǎng)方體的寬為xm,則長(zhǎng)為2xm,高為h4.53x(m),故長(zhǎng)方體的體積為V(x)2x2(4.53x)9x26x
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