第5章 電容元件與電感元件

1、第五章 電容元件與電感元件 只包含電阻元件和電源元件的電路 只包含電阻元件和電源元件的電路 電阻（resistive）電路；否則便是動態(tài)（dynamic） 電阻（resistive）電路；否則便是動態(tài)（dynamic） 電路。動態(tài)電路至少包含有一個動態(tài)元件。 電路。動態(tài)電路至少包含有一個動態(tài)元件。 電容元件（capacitor）、電感元件（inductor）均 ）、電感元件 電容元件（capacitor）、電感元件（inductor） 屬動態(tài)元件。動態(tài)元件的VCR 涉及對u VCR， 屬動態(tài)元件。動態(tài)元件的VCR，涉及對u或i的微分或積 分。 任何一個集總電路都必須服從兩類約束。 任何一個集總

2、電路都必須服從兩類約束。對動態(tài)電 路來說，還需了解動態(tài)元件的VCR VCR。 路來說，還需了解動態(tài)元件的VCR。 §5-1 電容元件的VCR及其特性 電容元件的VCR及其特性 §5-2 電感元件的VCR及其特性 電感元件的VCR VCR及其特性 1 §51 電容元件的 電容元件的VCR 實際電容器是由兩個極板中間隔以介質(zhì)構(gòu)成的。 實際電容器是由兩個極板中間隔以介質(zhì)構(gòu)成的。 是一個能積聚電荷、建立電場、儲存電場能的元件。 是一個能積聚電荷、建立電場、儲存電場能的元件。 定義：如果一個二端元件在任一時刻， 定義：如果一個二端元件在任一時刻，其電荷與 電壓之間的關(guān)系由

3、q-u 平面上一條曲線所 確定，則稱此二端元件為電容元件。 確定，則稱此二端元件為電容元件。 2 符號和特性曲線： 符號和特性曲線： C q - 斜率為C 斜率為 q(t) + i(t) u u 線性時不變電容的特性 線性電容 特性曲線是通過坐標(biāo)原點一條直 否則為非線性電容。 線，否則為非線性電容。 特性曲線不隨時間變化， 時不變電容 特性曲線不隨時間變化，否則 為時變電容元件。 為時變電容元件。 線性時不變電容。 今后我們只討論線性時不變電容 今后我們只討論線性時不變電容。 3 §51 電容元件的 電容元件的VCR 線性時不變電容元件的數(shù)學(xué)表達式： 線性時不變電容元件的數(shù)學(xué)表達式：

4、 q(t)= Cu(t) 系數(shù)C 為常量(直線的斜率) 稱為電容 電容， 系數(shù) 為常量(直線的斜率)，稱為電容，表征 積聚電荷的能力。單位是法 ,用 表示 表示。 積聚電荷的能力。單位是法拉,用F表示。 電容元件的電壓電流關(guān)系( 電容元件的電壓電流關(guān)系(VCR): ) dq d(Cu) du i = =C 微分形式： 微分形式： (t) = dt dt dt 1 t 積分形式： 積分形式： (t) = i()d u C 4 §51 電容元件的 電容元件的VCR 的電容， 如圖（ ）， ），求 的波形 的波形？ 例1 1F的電容，其u(t)如圖（a），求i(t)的波形？ 的電容 如圖

5、i/A u/V 圖(a) 圖(b) 無法顯示圖像。計算機可能沒有足夠的內(nèi)存以打開 該圖像，也可能是該圖像已損壞。請重新啟動計算機，然后重新打開該文件。如果仍然顯示紅色 “x”，則可能需要刪除該圖像，然后重新將其插入。 1 2 0 0.5 t/S 0 0.5 t/S 本例表明： 本例表明： 波形不同。特別是當(dāng)u為直流電壓時 為直流電壓時i 。 （a）u、i 波形不同。特別是當(dāng) 為直流電壓時 =0。 波形不同，除正弦波等少數(shù)例外，為動態(tài)元件一般規(guī)律。 波形不同，除正弦波等少數(shù)例外，為動態(tài)元件一般規(guī)律。 盡管電流是不連續(xù)的，但電容電壓卻是連續(xù)的 （b）盡管電流是不連續(xù)的，但電容電壓卻是連續(xù)的 電容電

6、壓的連續(xù)性質(zhì)（ 電容電壓的連續(xù)性質(zhì)（continuity property） 。 5 ） §51 電容元件的 電容元件的VCR 1. 電容是動態(tài)元件 電容的電流取決于電壓的變化率。 電容的電流取決于電壓的變化率。 假如電壓保持不變，為直流U， 假如電壓保持不變，為直流 ，則電容元件相當(dāng)于開 路(i =0)。 ) 2. 電容是記憶元件 1 t u(t) = i()d C 電容電壓u取決于電流 的值； 記憶” 電容電壓 取決于電流 ( -, t ) 的值；有“記憶”電 流歷史的作用。 流歷史的作用。 6 §51 電容元件的 電容元件的VCR 電路分析中常對t 時刻以后的電容電壓

7、感興趣： 電路分析中常對 0 時刻以后的電容電壓感興趣： 1 t u(t) = i()d C 1 t0 1 t = i()d + i()d C C t0 1 t = u(t0 ) + i()d C t0 t0 時刻電容的初始電壓 + t0 后電流作用的結(jié)果 7 §51 電容元件的 電容元件的VCR 上式可寫為 u(t) = u(0) + u1 (t) t 0 時電容的等效電路為： 設(shè)u(0)=U0 ,t0時電容的等效電路為： 時電容的等效電路為 a i(t) a i(t) u(t) + + - c u(0)=U0 uc(t) b + 1 u (t) 1 b - U0 - + - u

8、(0)=0 8 例2 波形如圖所示， 已知電容C=4F，對所有t、i(t)波形如圖所示， ，對所有 波形如圖所示 已知電容 電容電壓u(t)與i(t)參考方向關(guān)聯(lián)。 參考方向關(guān)聯(lián)。 電容電壓 與 參考方向關(guān)聯(lián) 試求：(1) u(0)； (2) u(t)、t0； (3) u(1)和u ( 0.5)； (4) 作出t0時該電容的等效電路。 解 （1）根據(jù)已知條件，t0時 根據(jù)已知條件， 0 0時 僅在1t0 0時 ( )=2A。 僅在1 0時，i(t)=2A。 1 0 2 u(0) = 2dt = = 0.5V 4 1 4 u(0)記憶了 以前所有電流的充電作用。 記憶了t=0以前所有電流的充電作

9、用 記憶了 以前所有電流的充電作用。 9 例題 (續(xù)) 5-8 （2） t 0時 ） 時 1 u (t ) = u (0 ) + 4 t 0 3dt = (0 . 5 + 0 . 75 t ) V t0時，不能忽略初始電壓 時 不能忽略初始電壓u(0)， ， 它反映了t0電流對 電流對t 時 （ ）的影響。 它反映了 電流對 0時u（t）的影響。 （3） t = 1s 屬 t 0 , 故得 ） u (1) = (0 . 5 + 0 .75 × 1) V = 1 . 25 V t = 0 . 5 s 屬 t 0 , 故得 1 0 .5 u ( 0 . 5 ) = 1 2 dt = 0

10、. 25 V 4 10 例題 (續(xù)) 5-9 （4） t 0時的等效電路 ） 時 i1(t) i(t)在t0時的部分；t0的部分已不必再考慮。 時的部分； 的部分已不必再考慮 的部分已不必再考慮。 在 時的部分 11 §51 電容元件的 電容元件的VCR 3. 電容是慣性元件 i 有限時，電壓變化率 du 必然有限；電壓只能連續(xù) 有限時， 必然有限； 變化而不能跳變。這一性質(zhì)又稱為電容的連續(xù)性。 變化而不能跳變。這一性質(zhì)又稱為電容的連續(xù)性。 即 uC (t - ) = uC (t + ) dt 4. 電容是儲能元件 電容是儲能 儲能元件 p 可正可負(fù)： 可正可負(fù)： 電壓電流參考方向關(guān)

11、聯(lián)時， 電壓電流參考方向關(guān)聯(lián)時，電容吸收功率 電容吸收功率， du 當(dāng) p > 0 時，電容吸收功率，儲存電場能量 p(t) = u(t)i(t) = u(t)C 電容提供功率， dt 當(dāng) p < 0 時，電容提供功率，釋放存儲的電場能 12 §51 電容元件的 電容元件的VCR 任意時刻t 得到的總能量為 WC (t) = p()d = u()i()d u(t ) du 1 2 = C u() d = C udu = Cu (t) u2 () u() d 2 1 W (t) = C u2 (t) C 2 某時刻電容的儲能只取決于該時刻電容的電壓值， 某時刻電容的儲能只取

12、決于該時刻電容的電壓值， 與電流值無關(guān)。電壓的絕對值增大時，儲能增加； 與電流值無關(guān)。電壓的絕對值增大時，儲能增加； 減小時，儲能減少。 減小時，儲能減少。 t t t 13 §51 電容元件的 電容元件的VCR 不可能為負(fù)值， 當(dāng)C > 0 時，W ( t )不可能為負(fù)值，這說明電 容是一種儲能元件，無源元件。 容是一種儲能元件，無源元件。 上式可以理解為什么電容電壓不能輕易躍變 因為電壓的躍變要伴隨儲能的躍變， ，因為電壓的躍變要伴隨儲能的躍變，在電流有 界的情況下， 界的情況下，是不可能造成電場能發(fā)生躍變和電 容電壓發(fā)生躍變的。 容電壓發(fā)生躍變的 14 §52

13、電感元件的 電感元件的VCR 實際電感器是由在不同材料的芯子上繞以導(dǎo) 線構(gòu)成的線圈。是一個能建立磁場、 線構(gòu)成的線圈。是一個能建立磁場、儲存磁場 能的元件。 能的元件。 定義：如果一個二端元件在任一時刻，其磁 定義：如果一個二端元件在任一時刻， 鏈與電流之間的關(guān)系由(t) i(t) 平面上一條 曲線所確定，則稱此二端元件為電感元件。 曲線所確定，則稱此二端元件為電感元件。 15 符號和特性曲線： 符號和特性曲線： i(t) + L u (t) 斜率為L 斜率為 (t) i 線性時不變電感的特性 線性電感特性曲線是通過坐標(biāo)原點一條直線， 特性曲線是通過坐標(biāo)原點一條直線， 線性電感 特性曲線是通過

14、坐 標(biāo)原點一條直線 否則為非線性。 否則為非線性。 時不變特性曲線不隨時間變化，否則為時變電 時不變 特性曲線不隨時間變化， 特性曲線不隨時間變化 感元件。 感元件。 線性時不變電感。 今后我們只討論線性時不變電感 今后我們只討論線性時不變電感。 16 §52 電感元件的 電感元件的VCR 線性時不變電感元件的數(shù)學(xué)表達式： 線性時不變電感元件的數(shù)學(xué)表達式： (t ) = Li(t ) 為常量（直線的斜率），稱為電感 ），稱為電感， 系數(shù)L為常量（直線的斜率），稱為電感，表征產(chǎn) 生磁鏈的能力。單位是亨 ,用 表示 表示。 生磁鏈的能力。單位是亨利,用H表示。 與i 符合右手螺旋法則。

15、符合右手螺旋法則。 17 §52 電感元件的 電感元件的VCR 電感元件的電壓電流關(guān)系( 電感元件的電壓電流關(guān)系(VCR) ) 微分形式： 微分形式： 積分形式： 積分形式： d d(Li) di u(t) = = =L dt dt dt 1 t i(t) = u()d L 1. 電感是動態(tài)元件 電感的電壓與其電流對時間的變化率成正比 假如電感的電流保持不變， 。假如電感的電流保持不變，則電感的電壓為零 直流時I 恒定，電感元件相當(dāng)于短路( 。直流時 恒定，電感元件相當(dāng)于短路(u = 0)。 ) 18 §52 電感元件的 電感元件的VCR 2. 電感是慣性元件 能連續(xù)變化而

16、不能跳變。 能連續(xù)變化而不能跳變。 3. 電感是記憶元件 di u 有限時，電流變化率 有限時， 必然有限， 必然有限，電流只 dt 1 t i(t) = u()d L 的值。 取決于電壓 （ -，t ）的值。電感電流 i 有 ， 記憶”電壓歷史的作用。 “記憶”電壓歷史的作用。 19 §52 電感元件的 電感元件的VCR 電路分析中常對t 時刻以后的電感電流感興趣： 電路分析中常對 0 時刻以后的電感電流感興趣： 1 t i(t) = u()d L 1 t0 1 t = u()d + u()d L L t0 1 t = i(t0 ) + u()d L t0 t0 時刻電感的初始電流

17、 t0 后電壓作用的結(jié)果 時刻電感的初始電流+ 20 §52 電感元件的 電感元件的VCR 4. 電感是儲能元件 電感是儲能 儲能元件 電壓電流參考方向關(guān)聯(lián)時， 電壓電流參考方向關(guān)聯(lián)時，電感吸收功率 di(t) p(t) = u(t)i(t) = i(t)L dt p 可正可負(fù)： 可正可負(fù)： 電感吸收功率，儲存磁場能量； 當(dāng) p > 0 時，電感吸收功率，儲存磁場能量； 電感提供功率， 當(dāng) p < 0 時，電感提供功率，釋放存儲的磁場能量 21 §52 電感元件的 電感元件的VCR 任意時刻t 任意時刻 得到的總能量為 WL (t) = p()d = u()i( )d i (t ) di 1 2 = L i() d = L idi = Li (t) i2 () i() d 2 1 W (t ) = L i 2(t ) L 2 t t t 某時刻電感的儲能取決于該時刻電感的電 流值， 某時刻電感的儲能取決于該時刻電感的電流值， 與電壓值無關(guān)。電流的絕對值增大時，儲能增