勻速圓周運(yùn)動(dòng)學(xué)案正式版

1、勻速圓周運(yùn)動(dòng)學(xué)案（一）描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量1. 線速度v（1）方向：質(zhì)點(diǎn)在圓弧某點(diǎn)的線速度方向沿圓弧在該點(diǎn)的切線方向。（2）大?。簐 =s/t。（ s是t時(shí)間內(nèi)通過(guò)的弧長(zhǎng)）【說(shuō)明】線速度就是物體做圓周運(yùn)動(dòng)的即時(shí)速度，描述質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)的快慢。2. 角速度-（1）大小:.=-rad/s，是連接質(zhì)點(diǎn)和圓心的半徑在t時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度。（2 ）角速度描述質(zhì)點(diǎn)繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢。3. 周期T,頻率f做圓周運(yùn)動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)一周所用的時(shí)間叫做周期。做圓周運(yùn)動(dòng)的物體單位時(shí)間內(nèi)繞圓心轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)，叫做頻率，也叫轉(zhuǎn)速。實(shí)際生活中所說(shuō)的轉(zhuǎn)數(shù)是指做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)，用n表示。4. v 、，、T、f 的關(guān)系

2、v還與半徑r有關(guān)。就是勻速圓周運(yùn)動(dòng)?！菊f(shuō)明】T、f、三個(gè)量中任一個(gè)確定，其余兩個(gè)也隨之確定，但5. 向心加速度（1）物理意義：描述線速度方向改變的快慢。2（2）大?。篴 = = r 2r（3）方向：總是指向圓心，與線速度方向垂直，方向時(shí)刻發(fā)生變化（二）勻速圓周運(yùn)動(dòng)1. 定義：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體， 若在相等的時(shí)間里通過(guò)的圓弧長(zhǎng)度相等,2. 運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：線速度大小不變，周期不變，角速度不變，向心加速度大小不變，但方向時(shí)刻改變，故勻速圓周運(yùn)動(dòng)是變加速運(yùn)動(dòng)。（三）圓周運(yùn)動(dòng)的向心力1. 向心力v224兀22 2（1） 大?。?F =ma =m mr，=mv =mrmr4二 frT2（2）作用效果：產(chǎn)生向心

3、加速度，以不斷改變物體的速度方向來(lái)維持物體的圓周運(yùn)動(dòng)。（3）向心力來(lái)源：向心力是根據(jù)效果命名的力，它可以由一個(gè)力提供，也可以由幾個(gè)力的合力提供，它實(shí)際上就是物體沿半徑方向受到的合外力。2. 圓周運(yùn)動(dòng)的向心力特點(diǎn)（1 ）勻速圓周運(yùn)動(dòng)：合外力就等于向心力，產(chǎn)生向心加速度，改變速度的方向: F合F向 ma 向。（2）變速圓周運(yùn)動(dòng)：合外力并不（始終）指向圓心。沿半徑方向（或沿法線方向）的合外力等于向心力，產(chǎn)生向心加速度，改變速度的方向，F(xiàn)法=F向工ma向，沿切線方向的合外力，產(chǎn)生切向加速度，改變速度的大小，F(xiàn)切工ma切?！镜湫屠}】1.勻速圓周運(yùn)動(dòng)的解題方法處理圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，首先確定研究對(duì)象

4、運(yùn)動(dòng)的軌道平面和圓心的位置，以便 確定向心力的方向； 然后分析向心力的來(lái)源； 最后利用牛頓第二定律列出 方程，其中，向心力的確定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。例1.如圖所示，在半徑為 R的轉(zhuǎn)盤的邊緣固定有一豎直桿，在桿的上 端點(diǎn)用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線懸掛一小球，當(dāng)轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定后， 細(xì)繩與豎直方向的 夾角為）則小球轉(zhuǎn)動(dòng)周期為多大？解析：小球隨圓盤一起旋轉(zhuǎn)，所以小球與圓盤的角速度相同，小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力 垂直指向桿，向心力由重力和繩子拉力的合力提供。小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：r = R L sin v 重力G和繩拉力F的合力提供向心力，4笄2由牛頓第二定律得：Fsi nr - mrT2豎直方向：F co

5、s v - mg =0聯(lián)立解得：T=2二iLsinr ,V gta n0答案：T =2二 g tan Q2.豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)分析在一定束縛條件下豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是典型的變速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)于物體在豎直平面 內(nèi)做變速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，中學(xué)物理中只研究物體通過(guò)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的 情況，并且經(jīng)常出現(xiàn)臨界問(wèn)題。（1 ）如圖所示，用繩子拴住或緊貼圓弧內(nèi)側(cè)軌道的小球，在豎直平面 內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)最高點(diǎn)的情況 臨界條件：小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)繩子的拉力（或軌道的彈力）剛好等于 零，小球的重力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。2V臨界即 mg =mr上式中的v臨界是小球通過(guò)最高點(diǎn)的最小速度，通常叫做臨界速度， 能過(guò)最高點(diǎn)的條件

6、： V _v臨界 不能過(guò)最高點(diǎn)的條件：v : v臨界（實(shí)際上球還沒(méi)有到最高點(diǎn)就脫離了軌道）°（2 ）如圖所示，用桿或圓形管道束縛住的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)最高點(diǎn)的情況 臨界條件：由于硬桿和管壁的支撐作用，小球恰能達(dá)到最高 點(diǎn)的臨界速度v臨界工0 ° 如圖（a）所示的小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，輕桿對(duì)小球的彈力的情況：當(dāng)v =0時(shí)，輕桿對(duì)小球有豎直向上的支持力FN ,其大小等于小球的重力，即Fn =mg °當(dāng)0 :v ：、rg時(shí)，桿對(duì)小球的支持力的方向豎直向上，大小隨速度的增大而減小，其取 值值范圍是：mg Fn 0當(dāng) v = . rg 時(shí)，F(xiàn)N = 0 °當(dāng)v

7、 . rg時(shí)，桿對(duì)小球有指向圓心的拉力，其大小隨速度的增大而增大 如圖（b）所示的小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，光滑硬管對(duì)小球的彈力情況：v 臨界=rg °當(dāng)v =0時(shí)，管的內(nèi)壁下側(cè)對(duì)小球有豎直向上的支持力Fn，其大小等于小球的重力，即Fn =mg。當(dāng)0 :v ： jg時(shí)，管的內(nèi)壁下側(cè)對(duì)小球有豎直向上的支持力Fn，大小隨速度的增大而減小，其取值范圍是：mg . Fn . 0。當(dāng) v = .,rg 時(shí)，F(xiàn)n =0。當(dāng)v . . rg時(shí)，管的內(nèi)壁上側(cè)對(duì)小球有豎直向下指向圓心的壓力，其大小隨速度的增大而 增大。說(shuō)明：圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問(wèn)題的分析與求解方法，不只是豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)中存在 臨界問(wèn)題，其他許

8、多問(wèn)題中也有臨界問(wèn)題，對(duì)這類問(wèn)題的求解一般都是先假設(shè)某量達(dá)到最大、 最小的臨界情況，從而建立方程求解。例2.如圖所示，輕桿長(zhǎng)1m,其兩端各連接質(zhì)量為 1kg的小球，桿可繞距 B端0.2m處的軸 O在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，輕桿由水平從靜止轉(zhuǎn)至豎直方向，A球在低點(diǎn)時(shí)的速度為 4m/s，g取10m /s2，求：（1）A小球此時(shí)對(duì)桿的作用力大小及方向。（2）B小球此時(shí)對(duì)桿的作用力大小及方向。力,解析：在最低點(diǎn)時(shí)桿對(duì)球一定是拉力，在最高點(diǎn)桿對(duì)球可能是拉 也可能是支持力，由具體情況決定：（1）在最低點(diǎn)時(shí) A球受力分析如圖甲所示，由牛頓第二定律得:代入數(shù)據(jù)解得：F=30N由牛頓第三定律可知球?qū)U的拉力F

9、9; =30N,方向向下。（2） 同一根桿上轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相等，設(shè)OB' =r=0.2m。 土組R r對(duì)B受力分析如圖乙所示，由牛頓第二定律得：2mvBmg -Fb r聯(lián)立代入數(shù)據(jù)解得：FB =5N ,由牛頓第三定律可知 B球?qū)U的壓力Fb：=5N，方向向下。 答案：（1） 30N,方向向下（2） 5N方向向下細(xì)例3.如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤上，沿半徑方向放置兩個(gè)用 線相連的質(zhì)量均為m的小物體 A、B，它們到轉(zhuǎn)軸的距離分別為當(dāng)細(xì)線上開(kāi)始出現(xiàn)張力時(shí)，圓盤的角速度 -.0。當(dāng)A開(kāi)始滑動(dòng)時(shí)，圓盤的角速度 。當(dāng)A即將滑動(dòng)時(shí)，燒斷細(xì)線，A B運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何？（ g取10m/s2）最初圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)角

10、速度較小，A、B隨圓盤做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力較小，可由A B與rA 20cm , rB =30cm , A B與盤面間最大靜摩擦力均為重力的 倍，試求：（1）（2）（3） 解析：盤面間靜摩擦力提供。由于 巨-rA，由公式F=m2r可知，B所需向心力較大；當(dāng) B與盤面 間靜摩擦力達(dá)到最大值時(shí)（此時(shí)A與盤面間靜摩擦力還沒(méi)有達(dá)到最大），若繼續(xù)增大轉(zhuǎn)速，則B將做離心運(yùn)動(dòng)，而拉緊細(xì)線，使細(xì)線上出現(xiàn)張力，轉(zhuǎn)速越大，細(xì)線上張力越大，使得A與盤面間靜摩擦力增大，當(dāng) A與盤面間靜摩擦力也達(dá)到最大時(shí)，A將開(kāi)始滑動(dòng)。（1 ）對(duì) B： kmg = m 0 rB代入數(shù)據(jù)得：-,0 =3.65rad/s。（2）分析A開(kāi)始滑

11、動(dòng)時(shí)A、B受力情況如圖所示，根據(jù)牛頓第二定律有:對(duì) A： Ffm -Ft =m . % 對(duì) B： Ffm - Ft =m.2rB 其中Ffm =kmg聯(lián)立解得：=4rad/s。（3）燒斷細(xì)線，F(xiàn)t消失，A與盤面間靜摩擦力足以提供向心力而使A繼續(xù)隨圓盤做圓周運(yùn)動(dòng)，而B(niǎo)由于Ffm不足以提供向心力而做離心運(yùn)動(dòng)。答案：（1）3.65rad/s（2）4rad/s（3）A繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)，B做離心運(yùn)動(dòng)。一點(diǎn)通：（1）單獨(dú)一個(gè)物體隨轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其向心力完全由靜摩擦力提供；當(dāng)物體剛好 不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，靜摩擦力達(dá)到最大值。（2）本題中A B間若沒(méi)有細(xì)繩連接，則當(dāng)轉(zhuǎn)速增大到B可開(kāi)始滑動(dòng)時(shí)，A并不滑動(dòng)，這時(shí)A、B間

12、距離增大，故若 A B間有繩連接，當(dāng) B即將滑動(dòng)（Ff達(dá)到Ffm ）時(shí)繩才有張力， 且之后直到A即將滑動(dòng)前，B所受的摩擦力都為最大靜摩擦力。例4.在質(zhì)量為M的電動(dòng)機(jī)上，裝有質(zhì)量為 m的偏心輪，偏心輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為-，當(dāng)偏心輪重心在轉(zhuǎn)軸正上方時(shí)，電動(dòng)機(jī)對(duì)地面的壓力剛好為零；則偏心輪重心離轉(zhuǎn)軸的距離多大？ 在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，電動(dòng)機(jī)對(duì)地面的最大壓力多大？解析：設(shè)偏心輪的重心距轉(zhuǎn)軸 r,偏心輪等效為用一長(zhǎng)為r的細(xì)桿固定質(zhì)量為 m （輪的質(zhì)量）的質(zhì)點(diǎn)，繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示，輪的 重心在正上方時(shí)，電動(dòng)機(jī)對(duì)地面的壓力剛好為零，則此時(shí)偏心輪對(duì)電 動(dòng)機(jī)向上的作用力大小等于電動(dòng)機(jī)的重力，即：F =Mg 根據(jù)牛頓第三定

13、律，此時(shí)軸對(duì)偏心輪的作用力向下，大小為F=Mg，其向心力為：F mg = m r 由得偏心輪重心到轉(zhuǎn)軸的距離為：r = M m g / m 2 當(dāng)偏心輪的重心轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，電動(dòng)機(jī)對(duì)地面的壓力最大。對(duì)偏心輪有：F -mg=m.2r對(duì)電動(dòng)機(jī)，設(shè)它所受支持力為 Fn，則FF Mg由、解得 FN =2 M m g。 由牛頓第三定律得，電動(dòng)機(jī)對(duì)地面的最大壓力為2 M m g。答案：偏心輪重心到轉(zhuǎn)軸距離為m mg；在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，電動(dòng)機(jī)對(duì)地面的最大壓力為mco2 M m g一點(diǎn)通：本題中電動(dòng)機(jī)和偏心輪組成為一個(gè)系統(tǒng)，電動(dòng)機(jī)對(duì)地面剛好無(wú)壓力，是偏心輪 運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，因而把它們隔離開(kāi)來(lái)進(jìn)行研究思路比較清晰：先以電

14、動(dòng)機(jī)為研究對(duì)象，再以偏 心輪為研究對(duì)象，分別列方程，再利用牛頓第二定律把它們聯(lián)系起來(lái)即可求解；另外還要找 出最高點(diǎn)和最低點(diǎn)這兩個(gè)臨界狀態(tài)?！灸M試題】（答題時(shí)間：40分鐘）1.如圖所示，在雙人花樣滑冰運(yùn)動(dòng)中，有時(shí)會(huì)看到被男運(yùn)動(dòng)員拉著的女運(yùn)動(dòng)員離開(kāi)地面在空中做圓錐擺動(dòng)的精彩場(chǎng)面，目測(cè)體重為G的女運(yùn)動(dòng)員做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)和水平冰面的夾角約為 30，重力加速度為g,估算該女運(yùn)動(dòng)員A.受到的拉力為.3GB.受到的拉力為2GC.向心加速度為,3gD.向心加速度為2g如圖所示，半徑為r的圓形轉(zhuǎn)筒，繞其豎直中心軸00轉(zhuǎn)動(dòng)，小物塊 a靠卩，現(xiàn)要使小物塊不下落，圓筒轉(zhuǎn)2.在圓筒的內(nèi)壁上，它與圓筒間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 動(dòng)

15、的角速度-至少為A.b.,gD. g3. 如圖所示，一小物塊在開(kāi)口向上的半圓形曲面內(nèi)以某一速率開(kāi)始 下滑，曲面內(nèi)各處動(dòng)摩擦因數(shù)不同，此摩擦作用使物塊下滑時(shí)速率保持 不變，則下列說(shuō)法正確的是A. 因物塊速率保持不變，故加速度為零B. 物塊所受合外力大小不變，方向在變C. 在滑到最低點(diǎn)以前，物塊對(duì)曲面的壓力越來(lái)越大D. 在滑到最低點(diǎn)以前，物塊受到的摩擦力越來(lái)越小4. 滑板是現(xiàn)在非常流行的一種運(yùn)動(dòng)，如圖所示，一滑板運(yùn)動(dòng)員以7m/s的初速度從曲面的 A點(diǎn)下滑，運(yùn)動(dòng)到 B點(diǎn)速度仍為7m/s，若 以6m/s的初速度仍由A點(diǎn)下滑，則他運(yùn)動(dòng)到 B點(diǎn)時(shí)的速度他A.大于6m/sB.等于6m/sC.小于6m/sD.

16、條件不足，無(wú)法計(jì)算5.旋轉(zhuǎn)秋千是一組懸掛在中心大轉(zhuǎn)輪上且繩長(zhǎng)約為7m的秋千，如圖所示，當(dāng)轉(zhuǎn)輪不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，秋千沿豎直方向靜止，當(dāng)轉(zhuǎn)輪開(kāi)始旋轉(zhuǎn)時(shí)， 秋千開(kāi)始偏離豎直方向，坐在秋千里的乘客在轉(zhuǎn)椅作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)轉(zhuǎn)輪的轉(zhuǎn)速高到一定程度，秋千幾乎能夠到達(dá)水平方向。設(shè)秋千與水平方向的夾角為轉(zhuǎn)輪的轉(zhuǎn)速為-，轉(zhuǎn)椅轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為 R,則二和之間的關(guān)系為A. 2 gB. .2 C.2R=g D.R cot 國(guó)R tan 02-g = R ta n v6.如圖所示，將完全相同的兩小球A、B用長(zhǎng)L=1.0m的細(xì)繩懸于以v =10m/s向右勻速運(yùn)動(dòng)的小車頂部，兩球與小車前后壁接觸，由于某種原因，小車突然停止，此時(shí)懸線的拉

17、力之比Fb :Fa為A. 1 : 2B. 1 : 4C. 1 : 6 D. 1: 117.如圖所示，在傾角為=30的光滑斜面上，有一根長(zhǎng)為L(zhǎng) =0.8m的 細(xì)繩，一端固定在 O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為 m=0.2kg的小球，沿斜面 做圓周運(yùn)動(dòng)，試計(jì)算：(1)小球通過(guò)最高點(diǎn) A的最小速度;(2)若細(xì)繩的抗拉力為 Fmax -10N，小球在最低點(diǎn)B的最大速度是多少？8.如圖所示，光滑桿上套有質(zhì)量為 m的小球，桿繞豎直方向的 OZ軸做角 速度為的錐形轉(zhuǎn)動(dòng)，小球恰與桿保持相對(duì)靜止，若其他條件不變，當(dāng)桿 的角速度增加時(shí)，小球?qū)⑷绾芜\(yùn)動(dòng)？9.如圖所示，支架質(zhì)量M放在水平地面上，轉(zhuǎn)軸O處用長(zhǎng)I的細(xì)繩懸掛一質(zhì)量為m的小球，求:(1 )小球從水平位置釋放后，當(dāng)它運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)地面對(duì)支架的支持力多大？(2 )若小球在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)