淺談高中數(shù)學(xué)常見的幾種解題技巧.

1、目 錄一：換元法.1二：配方法4三：待定系數(shù)法.5四：定義法8五:歸納法9六：參數(shù)法.12七：反證法.13高中數(shù)學(xué)常見的幾種解題的基本方法馮大磊 關(guān)鍵字：換元法 配方法 待定系數(shù)法 定義法 歸納法 參數(shù)法 反證法 摘要：介紹高中數(shù)學(xué)中幾種常見的解題方法，主要從這幾種方法的定義，做題的一般的步驟來(lái)介紹。在本文中還舉了相應(yīng)的例子，更便于理解。一、換元法解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容

2、易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4220，先變形為設(shè)2t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問(wèn)題。三角換元，應(yīng)用于去根

3、號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)x0,1，設(shè)xsin ，0,，問(wèn)題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件xyr（r>0）時(shí)，則可作三角代換xrcos、yrsin化為三角問(wèn)題。均值換元，如遇到xyS形式時(shí)，設(shè)xt，yt等等。我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的t>0和0,。例1. 實(shí)數(shù)x、y滿足4x5xy4y5

4、 （ 式） ，設(shè)Sxy，求的值。解：設(shè)代入式得： 4S5S·sincos5 解得 S ； -1sin21 385sin213 此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2的有界性而求，即解不等式：|1。這種方法是求函數(shù)值域時(shí)經(jīng)常用到的“有界法”。例2 ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足：AC2B，求cos的值。解：由ABC中已知AC2B，可得 ,由AC120°，設(shè)，代入已知等式得：2,解得：cos， 即：cos。另解：由AC2B，得AC120°，B60°。所以2，設(shè)m，m ，所以cosA，cosC，兩式分別相加、相減得：cosAcosC2coscoscos

5、，cosAcosC2sinsinsin，即：sin，代入sincos1整理得：3m16m120,解出m6，代入cos。 y , , x例3. 設(shè)a>0，求f(x)2a(sinxcosx)sinx·cosx2a的最大值和最小值。解：設(shè)sinxcosxt，則t-,，由(sinxcosx)12sinx·cosx得：sinx·cosx f(x)g(t)(t2a) （a>0），t-,t-時(shí)，取最小值：2a2a當(dāng)2a時(shí)，t，取最大值：2a2a ；當(dāng)0<2a時(shí)，t2a，取最大值： 。 f(x)的最小值為2a2a，最大值為。二.配方法配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行定向變

6、形（配成“完全平方”）的技巧，通過(guò)配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡(jiǎn)。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測(cè)，并且合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時(shí)也將其稱為“湊配法”。配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式(ab)a2abb，將這個(gè)公式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：ab(ab)2ab(ab)2ab；aabb(ab)ab(ab)3ab(a)（b）；abcabbcca(ab)(bc)(ca)abc(abc)2(abbcca)(abc)2(abbcca)結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：1sin212sincos（sincos）；x(x

7、)2(x)2 ； 等等。例1. 已知長(zhǎng)方體的全面積為11，其12條棱的長(zhǎng)度之和為24，則這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)為_。 A. 2 B. C. 5 D. 6解：設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為x,y,z，由已知“長(zhǎng)方體的全面積為11，其12條棱的長(zhǎng)度之和為24”而得：。長(zhǎng)方體所求對(duì)角線長(zhǎng)為：5所以選B。例2. 設(shè)方程xkx2=0的兩實(shí)根為p、q，若()+()7成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。解：方程xkx2=0的兩實(shí)根為p、q，由韋達(dá)定理得：pqk，pq2 ,()+()7， 解得k或k 。又 p、q為方程xkx2=0的兩實(shí)根， k80即k2或k2綜合起來(lái)，k的取值范圍是：k 或者 k。例3. 設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足

8、aabb=0，求()() 。解：由aabb=0變形得：()()10 ，設(shè)，則10，可知為1的立方虛根，所以：，1。又由aabb=0變形得：(ab)ab ，所以 ()()()()()()2 。三、待定系數(shù)法要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來(lái)確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項(xiàng)式恒等，也就是利用了多項(xiàng)式f(x)g(x)的充要條件是：對(duì)于一個(gè)任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個(gè)多項(xiàng)式各同類項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來(lái)解決，要

9、判斷一個(gè)問(wèn)題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問(wèn)題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：第一步，確定所求問(wèn)題含有待定系數(shù)的解析式；第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問(wèn)題得到解決。如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析： 利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等列方程； 由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程； 利用定義本身的屬性列方程； 利用幾何條件

10、列方程。比如在求圓錐曲線的方程時(shí)，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設(shè)所求方程的形式，其中含有待定的系數(shù)；再把幾何條件轉(zhuǎn)化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。例1. 已知函數(shù)y的最大值為7，最小值為1，求此函數(shù)式。解： 函數(shù)式變形為：(ym)x4x(yn)0，xR,由已知得ym0 (4)4(ym)(yn)0即：y(mn)y(mn12)0 不等式的解集為(-1,7)，則1、7是方程y(mn)y(mn12)0的兩根，代入兩根得： 解得：或 y或者y此題也可由解集(-1,7)而設(shè)(y1)(y7)0,即

11、y6y70，然后與不等式比較系數(shù)而得：，解出m、n而求得函數(shù)式y(tǒng)。例2. 設(shè)橢圓中心在(2,-1)，它的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸較近的端點(diǎn)距離是，求橢圓的方程。 y B x A F O F A B解：設(shè)橢圓長(zhǎng)軸2a、短軸2b、焦距2c，則|BF|a 解得： 所求橢圓方程是：1也可有垂直關(guān)系推證出等腰RtBBF后，由其性質(zhì)推證出等腰RtBOF，再進(jìn)行如下列式： ，更容易求出a、b的值。例3. 是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1·22·3n(n1)(anbnc)對(duì)一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論。解：假設(shè)存在a、b、c使得等式成立，令：n1，得4(abc

12、)；n2，得22(4a2bc)；n3，得709a3bc。整理得：,解得，于是對(duì)n1、2、3，等式1·22·3n(n1)(3n11n10)成立，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意自然數(shù)n，該等式都成立：假設(shè)對(duì)nk時(shí)等式成立，即1·22·3k(k1)(3k11k10)；當(dāng)nk1時(shí)，1·22·3k(k1)(k1)(k2)(3k11k10) (k1)(k2)(k2)（3k5）(k1)(k2)（3k5k12k24）3(k1)11(k1)10，也就是說(shuō)，等式對(duì)nk1也成立。綜上所述，當(dāng)a8、b11、c10時(shí)，題設(shè)的等式對(duì)一切自然數(shù)n都成立。四、定義法所謂

13、定義法，就是直接用數(shù)學(xué)定義解題。數(shù)學(xué)中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是由定義和公理推演出來(lái)。定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，它通過(guò)指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬性來(lái)明確概念。定義是千百次實(shí)踐后的必然結(jié)果，它科學(xué)地反映和揭示了客觀世界的事物的本質(zhì)特點(diǎn)。簡(jiǎn)單地說(shuō)，定義是基本概念對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法，本講讓我們回到定義中去。例1. 已知z1， 設(shè)wz34，求w的三角形式； 如果1，求實(shí)數(shù)a、b的值。解：由z1，有wz34(1)3423(1)41，w的三角形式是（cossin）；由z1，有(a2)(ab)。由題設(shè)條件知：(a2)(ab)1；根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得：，解得。例2

14、. 已知f(x)xcx，f(2)14，f(4)252，求ylogf(x)的定義域，判定在(,1)上的單調(diào)性。解： 解得： f(x)xx 解f(x)>0得：0<x<1設(shè)<x<x<1， 則f(x)f(x)x+x-（-x+x）=(x-x)1-(x+x)( x+x), x+x>， x+x> (x+x)( x+x)×1 f(x)f(x)>0即f(x)在(,1)上是減函數(shù) <1 ylogf(x) 在(,1)上是增函數(shù)。y M F A x例3. 求過(guò)定點(diǎn)M(1,2)，以x軸為準(zhǔn)線，離心率為的橢圓的下頂點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)A(x,y)、F(

15、x,m)，由M(1,2)，則橢圓上定點(diǎn)M到準(zhǔn)線距離為2，下頂點(diǎn)A到準(zhǔn)線距離為y。根據(jù)橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的定義，得到： ，消m得：（x1）1，所以橢圓下頂點(diǎn)的軌跡方程為（x1）1。五、數(shù)學(xué)歸納法歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對(duì)象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對(duì)象后歸納得出結(jié)論來(lái)。數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一

16、步是證明命題在n1(或n)時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在nk時(shí)命題成立，再證明nk1時(shí)命題也成立，這是無(wú)限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無(wú)限。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對(duì)任何自然數(shù)（或nn且nN）結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是nk1時(shí)命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識(shí)，注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)完成解題。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問(wèn)題：與自

17、然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問(wèn)題、幾何問(wèn)題、整除性問(wèn)題等等。例1. 已知數(shù)列，得，。S為其前n項(xiàng)和，求S、S、S、S，推測(cè)S公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。 解：計(jì)算得S，S，S，S ， 猜測(cè)S (nN)。當(dāng)n1時(shí)，等式顯然成立；假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立，即：S，當(dāng)nk1時(shí)，SS,由此可知，當(dāng)nk1時(shí)等式也成立。綜上所述，等式對(duì)任何nN都成立。例2. 設(shè)a (nN),證明：n(n1)<a< (n1) 。解： 當(dāng)n1時(shí)，a，n(n+1)， (n+1)2 ， n1時(shí)不等式成立。假設(shè)當(dāng)nk時(shí)不等式成立，即：k(k1)<a< (k1) ，當(dāng)nk1時(shí)，k(k1)<

18、a<(k1),k(k1)>k(k1)(k1)(k1)(k3)>(k1)(k2)，(k1)(k1)<(k1)(k)(k2)，所以(k1)(k2) <a<(k2)，即nk1時(shí)不等式也成立。綜上所述，對(duì)所有的nN，不等式n(n1)<a<(n1)恒成立。例3. 設(shè)數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S，若對(duì)于所有的自然數(shù)n，都有S，證明a是等差數(shù)列。 解：設(shè)aad，猜測(cè)aa(n1)d當(dāng)n1時(shí)，aa， 當(dāng)n1時(shí)猜測(cè)正確。當(dāng)n2時(shí)，a(21)dada， 當(dāng)n2時(shí)猜測(cè)正確。假設(shè)當(dāng)nk（k2）時(shí)，猜測(cè)正確，即：aa(k1)d ，當(dāng)nk1時(shí)，aSS，將aa(k1)d代入上式， 得到

19、2a(k1)(aa)2kak(k1)d，整理得(k1)a(k1)ak(k1)d，因?yàn)閗2,所以aakd，即nk1時(shí)猜測(cè)正確。綜上所述，對(duì)所有的自然數(shù)n，都有aa(n1)d，從而a是等差數(shù)列。另解： 可證a a a a對(duì)于任意n2都成立：當(dāng)n2時(shí)，aSS；同理有aSS；從而aan(aa)，整理得a a a a，從而a是等差數(shù)列。一般地，在數(shù)列問(wèn)題中含有a與S時(shí)，我們可以考慮運(yùn)用aSS的關(guān)系，并注意只對(duì)n2時(shí)關(guān)系成立，象已知數(shù)列的S求a一類型題應(yīng)用此關(guān)系最多。六、參數(shù)法參數(shù)法是指在解題過(guò)程中，通過(guò)適當(dāng)引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對(duì)象發(fā)生聯(lián)系的新變量（參數(shù)），以此作為媒介，再進(jìn)行分析和綜合，從而解決問(wèn)題

20、。直線與二次曲線的參數(shù)方程都是用參數(shù)法解題的例證。換元法也是引入?yún)?shù)的典型例子。辨證唯物論肯定了事物之間的聯(lián)系是無(wú)窮的，聯(lián)系的方式是豐富多采的，科學(xué)的任務(wù)就是要揭示事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律。參數(shù)的作用就是刻畫事物的變化狀態(tài)，揭示變化因素之間的內(nèi)在聯(lián)系。參數(shù)體現(xiàn)了近代數(shù)學(xué)中運(yùn)動(dòng)與變化的思想，其觀點(diǎn)已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)分支。運(yùn)用參數(shù)法解題已經(jīng)比較普遍。參數(shù)法解題的關(guān)鍵是恰到好處地引進(jìn)參數(shù)，溝通已知和未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用參數(shù)提供的信息，順利地解答問(wèn)題。例1. 實(shí)數(shù)a、b、c滿足abc1，求abc的最小值。解：由abc1，設(shè)at，bt，ct，其中ttt0， abc（t）（t）

21、(t)(ttt)tttttt所以abc的最小值是。例2. 橢圓1上有兩點(diǎn)P、Q，O為原點(diǎn)。連OP、OQ，若k·k ，求證：|OP|OQ|等于定值； .求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程。解：由1，設(shè)，P(4cos,2sin)，Q(4cos,2sin),則k·k，整理得到：cos cossin sin0,即cos（）0。 |OP|OQ|16cos4sin16cos4sin812(coscos)206（cos2cos2)2012cos（）cos（）20，即|OP|OQ|等于定值20。由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，所以有()y22(cos cossin sin)2,即所求線

22、段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程為1。七、反證法與前面所講的方法不同，反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問(wèn)題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得。法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(Hadamard)對(duì)反證法的實(shí)質(zhì)作過(guò)概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾”。具體地講，反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對(duì)命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過(guò)程中，兩

23、個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都為真，至少有一個(gè)是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都假，簡(jiǎn)單地說(shuō)“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過(guò)程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時(shí)為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假。再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對(duì)立的互相否定的判斷不能同時(shí)為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。反證法的證題模式可以簡(jiǎn)要的概括我為“否定推理否定”。即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過(guò)正確無(wú)誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論 推導(dǎo)出矛盾 結(jié)論成立。實(shí)施的具體步驟是：第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過(guò)一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步，結(jié)論：說(shuō)明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。在應(yīng)用反證法證題時(shí)，一定要用到“反設(shè)”進(jìn)行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時(shí)，如果欲證明的命題的