淺談高中數學常見的幾種解題技巧.

1、目 錄一：換元法.1二：配方法4三：待定系數法.5四：定義法8五:歸納法9六：參數法.12七：反證法.13高中數學常見的幾種解題的基本方法馮大磊 關鍵字：換元法 配方法 待定系數法 定義法 歸納法 參數法 反證法 摘要：介紹高中數學中幾種常見的解題方法，主要從這幾種方法的定義，做題的一般的步驟來介紹。在本文中還舉了相應的例子，更便于理解。一、換元法解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容

2、易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问剑褟碗s的計算和推證簡化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函數、數列、三角等問題中有廣泛的應用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數式幾次出現，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現。例如解不等式：4220，先變形為設2t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖捣匠痰膯栴}。三角換元，應用于去根

3、號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數式中與三角知識中有某點聯系進行換元。如求函數y的值域時，易發(fā)現x0,1，設xsin ，0,，問題變成了熟悉的求三角函數值域。為什么會想到如此設，其中主要應該是發(fā)現值域的聯系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件xyr（r>0）時，則可作三角代換xrcos、yrsin化為三角問題。均值換元，如遇到xyS形式時，設xt，yt等等。我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。如上幾例中的t>0和0,。例1. 實數x、y滿足4x5xy4y5

4、 （ 式） ，設Sxy，求的值。解：設代入式得： 4S5S·sincos5 解得 S ； -1sin21 385sin213 此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2的有界性而求，即解不等式：|1。這種方法是求函數值域時經常用到的“有界法”。例2 ABC的三個內角A、B、C滿足：AC2B，求cos的值。解：由ABC中已知AC2B，可得 ,由AC120°，設，代入已知等式得：2,解得：cos， 即：cos。另解：由AC2B，得AC120°，B60°。所以2，設m，m ，所以cosA，cosC，兩式分別相加、相減得：cosAcosC2coscoscos

5、，cosAcosC2sinsinsin，即：sin，代入sincos1整理得：3m16m120,解出m6，代入cos。 y , , x例3. 設a>0，求f(x)2a(sinxcosx)sinx·cosx2a的最大值和最小值。解：設sinxcosxt，則t-,，由(sinxcosx)12sinx·cosx得：sinx·cosx f(x)g(t)(t2a) （a>0），t-,t-時，取最小值：2a2a當2a時，t，取最大值：2a2a ；當0<2a時，t2a，取最大值： 。 f(x)的最小值為2a2a，最大值為。二.配方法配方法是對數學式子進行定向變

6、形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。配方法使用的最基本的配方依據是二項完全平方公式(ab)a2abb，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如：ab(ab)2ab(ab)2ab；aabb(ab)ab(ab)3ab(a)（b）；abcabbcca(ab)(bc)(ca)abc(abc)2(abbcca)(abc)2(abbcca)結合其它數學知識和性質，相應有另外的一些配方形式，如：1sin212sincos（sincos）；x(x

7、)2(x)2 ； 等等。例1. 已知長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24，則這個長方體的一條對角線長為_。 A. 2 B. C. 5 D. 6解：設長方體長寬高分別為x,y,z，由已知“長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24”而得：。長方體所求對角線長為：5所以選B。例2. 設方程xkx2=0的兩實根為p、q，若()+()7成立，求實數k的取值范圍。解：方程xkx2=0的兩實根為p、q，由韋達定理得：pqk，pq2 ,()+()7， 解得k或k 。又 p、q為方程xkx2=0的兩實根， k80即k2或k2綜合起來，k的取值范圍是：k 或者 k。例3. 設非零復數a、b滿足

8、aabb=0，求()() 。解：由aabb=0變形得：()()10 ，設，則10，可知為1的立方虛根，所以：，1。又由aabb=0變形得：(ab)ab ，所以 ()()()()()()2 。三、待定系數法要確定變量間的函數關系，設出某些未知系數，然后根據所給條件來確定這些未知系數的方法叫待定系數法，其理論依據是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x)g(x)的充要條件是：對于一個任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個多項式各同類項的系數對應相等。待定系數法解題的關鍵是依據已知，正確列出等式或方程。使用待定系數法，就是把具有某種確定形式的數學問題，通過引入一些待定的系數，轉化為方程組來解決，要

9、判斷一個問題是否用待定系數法求解，主要是看所求解的數學問題是否具有某種確定的數學表達式，如果具有，就可以用待定系數法求解。例如分解因式、拆分分式、數列求和、求函數式、求復數、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數學表達形式，所以都可以用待定系數法求解。使用待定系數法，它解題的基本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數的解析式；第二步，根據恒等的條件，列出一組含待定系數的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數，從而使問題得到解決。如何列出一組含待定系數的方程，主要從以下幾方面著手分析： 利用對應系數相等列方程； 由恒等的概念用數值代入法列方程； 利用定義本身的屬性列方程； 利用幾何條件

10、列方程。比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數法求方程：首先設所求方程的形式，其中含有待定的系數；再把幾何條件轉化為含所求方程未知系數的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數，并把求出的系數代入已經明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。例1. 已知函數y的最大值為7，最小值為1，求此函數式。解： 函數式變形為：(ym)x4x(yn)0，xR,由已知得ym0 (4)4(ym)(yn)0即：y(mn)y(mn12)0 不等式的解集為(-1,7)，則1、7是方程y(mn)y(mn12)0的兩根，代入兩根得： 解得：或 y或者y此題也可由解集(-1,7)而設(y1)(y7)0,即

11、y6y70，然后與不等式比較系數而得：，解出m、n而求得函數式y(tǒng)。例2. 設橢圓中心在(2,-1)，它的一個焦點與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點與長軸較近的端點距離是，求橢圓的方程。 y B x A F O F A B解：設橢圓長軸2a、短軸2b、焦距2c，則|BF|a 解得： 所求橢圓方程是：1也可有垂直關系推證出等腰RtBBF后，由其性質推證出等腰RtBOF，再進行如下列式： ，更容易求出a、b的值。例3. 是否存在常數a、b、c，使得等式1·22·3n(n1)(anbnc)對一切自然數n都成立？并證明你的結論。解：假設存在a、b、c使得等式成立，令：n1，得4(abc

12、)；n2，得22(4a2bc)；n3，得709a3bc。整理得：,解得，于是對n1、2、3，等式1·22·3n(n1)(3n11n10)成立，下面用數學歸納法證明對任意自然數n，該等式都成立：假設對nk時等式成立，即1·22·3k(k1)(3k11k10)；當nk1時，1·22·3k(k1)(k1)(k2)(3k11k10) (k1)(k2)(k2)（3k5）(k1)(k2)（3k5k12k24）3(k1)11(k1)10，也就是說，等式對nk1也成立。綜上所述，當a8、b11、c10時，題設的等式對一切自然數n都成立。四、定義法所謂

13、定義法，就是直接用數學定義解題。數學中的定理、公式、性質和法則等，都是由定義和公理推演出來。定義是揭示概念內涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的本質屬性來明確概念。定義是千百次實踐后的必然結果，它科學地反映和揭示了客觀世界的事物的本質特點。簡單地說，定義是基本概念對數學實體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法，本講讓我們回到定義中去。例1. 已知z1， 設wz34，求w的三角形式； 如果1，求實數a、b的值。解：由z1，有wz34(1)3423(1)41，w的三角形式是（cossin）；由z1，有(a2)(ab)。由題設條件知：(a2)(ab)1；根據復數相等的定義，得：，解得。例2

14、. 已知f(x)xcx，f(2)14，f(4)252，求ylogf(x)的定義域，判定在(,1)上的單調性。解： 解得： f(x)xx 解f(x)>0得：0<x<1設<x<x<1， 則f(x)f(x)x+x-（-x+x）=(x-x)1-(x+x)( x+x), x+x>， x+x> (x+x)( x+x)×1 f(x)f(x)>0即f(x)在(,1)上是減函數 <1 ylogf(x) 在(,1)上是增函數。y M F A x例3. 求過定點M(1,2)，以x軸為準線，離心率為的橢圓的下頂點的軌跡方程。解：設A(x,y)、F(

15、x,m)，由M(1,2)，則橢圓上定點M到準線距離為2，下頂點A到準線距離為y。根據橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的定義，得到： ，消m得：（x1）1，所以橢圓下頂點的軌跡方程為（x1）1。五、數學歸納法歸納是一種有特殊事例導出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據一類事物中的部分對象具有的共同性質，推斷該類事物全體都具有的性質，這種推理方法，在數學推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結論來。數學歸納法是用來證明某些與自然數有關的數學命題的一種推理方法，在解數學題中有著廣泛的應用。它是一個遞推的數學論證方法，論證的第一

16、步是證明命題在n1(或n)時成立，這是遞推的基礎；第二步是假設在nk時命題成立，再證明nk1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數（或nn且nN）結論都正確”。由這兩步可以看出，數學歸納法是由遞推實現歸納的，屬于完全歸納。運用數學歸納法證明問題時，關鍵是nk1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現目標完成解題。運用數學歸納法，可以證明下列問題：與自

17、然數n有關的恒等式、代數不等式、三角不等式、數列問題、幾何問題、整除性問題等等。例1. 已知數列，得，。S為其前n項和，求S、S、S、S，推測S公式，并用數學歸納法證明。 解：計算得S，S，S，S ， 猜測S (nN)。當n1時，等式顯然成立；假設當nk時等式成立，即：S，當nk1時，SS,由此可知，當nk1時等式也成立。綜上所述，等式對任何nN都成立。例2. 設a (nN),證明：n(n1)<a< (n1) 。解： 當n1時，a，n(n+1)， (n+1)2 ， n1時不等式成立。假設當nk時不等式成立，即：k(k1)<a< (k1) ，當nk1時，k(k1)<

18、a<(k1),k(k1)>k(k1)(k1)(k1)(k3)>(k1)(k2)，(k1)(k1)<(k1)(k)(k2)，所以(k1)(k2) <a<(k2)，即nk1時不等式也成立。綜上所述，對所有的nN，不等式n(n1)<a<(n1)恒成立。例3. 設數列a的前n項和為S，若對于所有的自然數n，都有S，證明a是等差數列。 解：設aad，猜測aa(n1)d當n1時，aa， 當n1時猜測正確。當n2時，a(21)dada， 當n2時猜測正確。假設當nk（k2）時，猜測正確，即：aa(k1)d ，當nk1時，aSS，將aa(k1)d代入上式， 得到

19、2a(k1)(aa)2kak(k1)d，整理得(k1)a(k1)ak(k1)d，因為k2,所以aakd，即nk1時猜測正確。綜上所述，對所有的自然數n，都有aa(n1)d，從而a是等差數列。另解： 可證a a a a對于任意n2都成立：當n2時，aSS；同理有aSS；從而aan(aa)，整理得a a a a，從而a是等差數列。一般地，在數列問題中含有a與S時，我們可以考慮運用aSS的關系，并注意只對n2時關系成立，象已知數列的S求a一類型題應用此關系最多。六、參數法參數法是指在解題過程中，通過適當引入一些與題目研究的數學對象發(fā)生聯系的新變量（參數），以此作為媒介，再進行分析和綜合，從而解決問題

20、。直線與二次曲線的參數方程都是用參數法解題的例證。換元法也是引入參數的典型例子。辨證唯物論肯定了事物之間的聯系是無窮的，聯系的方式是豐富多采的，科學的任務就是要揭示事物之間的內在聯系，從而發(fā)現事物的變化規(guī)律。參數的作用就是刻畫事物的變化狀態(tài)，揭示變化因素之間的內在聯系。參數體現了近代數學中運動與變化的思想，其觀點已經滲透到中學數學的各個分支。運用參數法解題已經比較普遍。參數法解題的關鍵是恰到好處地引進參數，溝通已知和未知之間的內在聯系，利用參數提供的信息，順利地解答問題。例1. 實數a、b、c滿足abc1，求abc的最小值。解：由abc1，設at，bt，ct，其中ttt0， abc（t）（t）

21、(t)(ttt)tttttt所以abc的最小值是。例2. 橢圓1上有兩點P、Q，O為原點。連OP、OQ，若k·k ，求證：|OP|OQ|等于定值； .求線段PQ中點M的軌跡方程。解：由1，設，P(4cos,2sin)，Q(4cos,2sin),則k·k，整理得到：cos cossin sin0,即cos（）0。 |OP|OQ|16cos4sin16cos4sin812(coscos)206（cos2cos2)2012cos（）cos（）20，即|OP|OQ|等于定值20。由中點坐標公式得到線段PQ的中點M的坐標為，所以有()y22(cos cossin sin)2,即所求線

22、段PQ的中點M的軌跡方程為1。七、反證法與前面所講的方法不同，反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而導出矛盾推理而得。法國數學家阿達瑪(Hadamard)對反證法的實質作過概括：“若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾”。具體地講，反證法就是從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。反證法所依據的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩

23、個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結論”必為假。再根據“排中律”，結論與“否定的結論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據的，反證法是可信的。反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定推理否定”。即從否定結論開始，經過正確無誤的推理導致邏輯矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應用反證法證明的主要三步是：否定結論 推導出矛盾 結論成立。實施的具體步驟是：第一步，反設：作出與求證結論相反的假設；第二步，歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；第三步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。在應用反證法證題時，一定要用到“反設”進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的