淺談抽屜原理在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的運(yùn)用

1、淺談抽屜原理在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的運(yùn)用在數(shù)學(xué)問(wèn)題中有一類(lèi)與“存在性”有關(guān)的問(wèn)題，例如：“13個(gè)人中至少有兩個(gè)人出生在相同月份”；“某校400名學(xué)生中，一定存在兩名學(xué)生，他們?cè)谕惶爝^(guò)生日；“2003個(gè)人任意分成200個(gè)小組，一定存在一組，其成員數(shù)不少于11” ； “把0,1內(nèi)的全部有理數(shù)放到100個(gè)集合中，一定存在一個(gè)集合，它里面有無(wú)限多個(gè)有理數(shù)”。這類(lèi)存在性問(wèn)題 中，“存在”的含義是“至少有一個(gè)”。在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一個(gè)，也不需要確定通過(guò)什么方式把這個(gè)存在的東西找出來(lái)。這類(lèi)問(wèn)題相對(duì)來(lái)說(shuō)涉及到的運(yùn)算較少，依據(jù)的理論也不復(fù)雜，我們把這些理論稱(chēng)之為“抽屜原理”.“抽屜

2、原理”最先是由19世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家迪里赫萊 （Dirichlet）運(yùn)用于解決數(shù)學(xué)問(wèn) 題的，所以又稱(chēng)“迪里赫萊原理”，也有稱(chēng)“鴿巢原理”的。 這個(gè)原理可以簡(jiǎn)單地?cái)⑹鰹椤鞍?0個(gè)蘋(píng)果，任意分放在9個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋(píng)果”。 這個(gè)道理是非常明顯的，但應(yīng)用它卻可以解決許多有趣的問(wèn)題， 并且常常得到一些令人驚異 的結(jié)果。抽屜原理是國(guó)際國(guó)內(nèi)各級(jí)各類(lèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的重要內(nèi)容，本講就來(lái)學(xué)習(xí)它的有關(guān)知識(shí)及其應(yīng)用。、抽屜原理的基本形式定理1、如果把n+1個(gè)元素分成n個(gè)集合，那么不管怎么分，都存在一個(gè)集合，其中至 少有兩個(gè)元素。例1.已知在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形內(nèi)（包括邊界）有任意五個(gè)點(diǎn)（如

3、圖）。證明：至1少有兩個(gè)點(diǎn)之間的距離不大于（1978年廣東省數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）2分析：5個(gè)點(diǎn)的分布是任意的。如果要證明“在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形內(nèi)（包括邊界）有5個(gè)點(diǎn)，那么這5個(gè)點(diǎn)中一定有距離1不大于丄的兩點(diǎn)”，則順次連接三角形三邊中點(diǎn)，即三角形的三21條中位線(xiàn)，可以分原等邊三角形為4個(gè)全等的邊長(zhǎng)為-2的小等邊三角形，則5個(gè)點(diǎn)中必有2點(diǎn)位于同一個(gè)小等1邊三角形中（包括邊界），其距離便不大于。2以上結(jié)論要由定理“三角形內(nèi)（包括邊界）任意兩點(diǎn)間的距離不大于其最大邊長(zhǎng)”來(lái)保 證，下面我們就來(lái)證明這個(gè)定理。如圖，設(shè)BC是心ABC的最大邊，P,M是心ABC內(nèi)（包括邊界）任意兩點(diǎn)，連接PM過(guò)P分別作AB BC邊的

4、平行線(xiàn)，過(guò)M作AC邊的平行線(xiàn)，設(shè)各平行線(xiàn)交點(diǎn)為P、Q N,那么/PQNMC,/QNPMA因?yàn)锽OAB所以/AZC,則/QN/PQN而/QMPP/QNR/PQN（三角形的外角大于不相鄰的內(nèi)角），所以POPM顯然BOPQ故BOPM11由此我們可以推知，邊長(zhǎng)為的等邊三角形內(nèi)（包括邊界）兩點(diǎn)間的距離不大于22說(shuō)明：（1）這里是用等分三角形的方法來(lái)構(gòu)造“抽屜”。類(lèi)似地，還可以利用等分線(xiàn)段、等分正方形的方法來(lái)構(gòu)造“抽屜”。例如“任取n+1個(gè)正數(shù)a,滿(mǎn)足0vaiWl1（i=1,2,n+1），試證明：這n+1個(gè)數(shù)中必存在兩個(gè)數(shù)，其差的絕對(duì)值小于。又如：n“在邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)任意放置五個(gè)點(diǎn)，求證：其中必有兩點(diǎn)

5、，這兩點(diǎn)之間的距離不大于（2）例1中，如果把條件（包括邊界）去掉，則結(jié)論可以修改為：至少有兩個(gè)點(diǎn)之間1的距離小于丄，大家可以自己證明，并比較證明的差別。2（3）用同樣的方法可證明以下結(jié)論：i）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形中有n2+1個(gè)點(diǎn)，這n2+1個(gè)點(diǎn)中一定有距離不大于 -的兩點(diǎn)。n1ii）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形內(nèi)有n2+1個(gè)點(diǎn)，這n2+1個(gè)點(diǎn)中一定有距離小于的兩點(diǎn)。（4）將（3）中兩個(gè)命題中的等邊三角形換成正方形，相應(yīng)的結(jié)論中的命題仍然成立。（5）我們還可以考慮相反的問(wèn)題：一般地，至少需要多少個(gè)點(diǎn)，才能夠使得邊長(zhǎng)為1的正三角形內(nèi)（包括邊界）有兩點(diǎn)其距離不超過(guò)例2.從1-100的自然數(shù)中，任意取出5

6、1個(gè)數(shù)，證明其中一定有兩個(gè)數(shù)，它們中的一個(gè)是 另一個(gè)的整數(shù)倍。分析：本題似乎茫無(wú)頭緒， 從何入手？其關(guān)鍵何在？其實(shí)就在“兩個(gè)數(shù)”，其中一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍。我們要構(gòu)造“抽屜”，使得每個(gè)抽屜里任取兩個(gè)數(shù), 整數(shù)倍，這只有把公比是正整數(shù)的整個(gè)等比數(shù)列都放進(jìn)去同一個(gè)抽屜才行, 自然數(shù)分類(lèi)的基本知識(shí)：任何一個(gè)正整數(shù)都可以表示成一個(gè)奇數(shù)與-換成一2,n n都有一個(gè)是另一個(gè)的這里用得到一個(gè)2的方幕的積，即若1=1X2,2=1X2mN+,KN+,nN,則m=（2k-1）2n,并且這種表示方式是唯一的，如3=3X2證明：因?yàn)槿魏我粋€(gè)正整數(shù)都能表示成一個(gè)奇數(shù)乘2的方冪，并且這種表示方法是唯一25)49，49X2

7、；26)51；（50）99。這樣，1-100的正整數(shù)就無(wú)重復(fù)，無(wú)遺漏地放進(jìn)這50個(gè)抽屜內(nèi)了。從這100個(gè)數(shù)中任 取51個(gè)數(shù)，也即從這50個(gè)抽屜內(nèi)任取51個(gè)數(shù)，根據(jù)抽屜原則，其中必定至少有兩個(gè)數(shù)屬 于同一個(gè)抽屜，即屬于（1）-（25）號(hào)中的某一個(gè)抽屜，顯然，在這25個(gè)抽屜中的任何同 一個(gè)抽屜內(nèi)的兩個(gè)數(shù)中，一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍。說(shuō)明：（1）從上面的證明中可以看出，本題能夠推廣到一般情形：從1-2n的自然數(shù)中，任意取出n+1個(gè)數(shù)，則其中必有兩個(gè)數(shù)，它們中的一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍。 想一想，為什么？ 因?yàn)?-2n中共含1,3，2n-1這n個(gè)奇數(shù)，因此可以制造n個(gè)抽屜，而n+1n,由抽 屜原則，結(jié)論就是必

8、然的了。給n以具體值，就可以構(gòu)造出不同的題目。例2中的n取值是50,還可以編制相反的題目,如：“從前30個(gè)自然數(shù)中最少要 （不看這些數(shù)而以任意方式地）取出幾個(gè)數(shù)，才能保證取出的數(shù)中能找到兩個(gè)數(shù)，其中較大的數(shù)是較小的數(shù)的倍數(shù)？”（2）如下兩個(gè)問(wèn)題的結(jié)論都是否定的（n均為正整數(shù)）想一想,為什么？1從2,3,4,，2n+1中任取n+1個(gè)數(shù)，是否必有兩個(gè)數(shù)，它們中的一個(gè)是另一個(gè)的 整數(shù)倍？2從1,2,3,，2n+1中任取n+1個(gè)數(shù)，是否必有兩個(gè)數(shù)，它們中的一個(gè)是另一個(gè)的 整數(shù)倍？你能舉出反例,證明上述兩個(gè)問(wèn)題的結(jié)論都是否定的嗎？（3）如果將（2）中兩個(gè)問(wèn)題中任取的n+1個(gè)數(shù)增加1個(gè)，都改成任取n+2個(gè)

9、數(shù)，則它們的結(jié)論是肯定的還是否定的？你能判斷證明嗎？例3.從前25個(gè)自然數(shù)中任意取出7個(gè)數(shù)，證明：取出的數(shù)中一定有兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè) 數(shù)中大數(shù)不超過(guò)小數(shù)的1.5倍。的，所以我們可把1-100的正整數(shù)分成如下1）1,1X2,1X221X23,1X242）3,3X2,3X2233X23,3X243）5,5X2,5X225X23,5X244）7,7X2,7X2237X23；5）9,9X2,9X2239X23；6）11,11X2,11X2232,11X23；50個(gè)抽屜（因?yàn)?-100中共有50個(gè)奇數(shù)）：1X 25,1X 26;證明：把前25個(gè)自然數(shù)分成下面6組：1;2,3;4,5,6;7,8,9,10;1

10、1,12,13,14,15,16;17,18,19,20,21,22,23,因?yàn)閺那?5個(gè)自然數(shù)中任意取出7個(gè)數(shù)，所以至少有兩個(gè)數(shù)取自上面第組到第組 中的某同一組，這兩個(gè)數(shù)中大數(shù)就不超過(guò)小數(shù)的1.5倍。說(shuō)明：（1）本題可以改變敘述如下：在前25個(gè)自然數(shù)中任意取出7個(gè)數(shù)，求證其中存在兩個(gè)數(shù)，它們相互的比值在-,-內(nèi)。h,2j顯然，必須找出一種能把前25個(gè)自然數(shù)分成6（7-仁6）個(gè)集合的方法，不過(guò)分類(lèi)時(shí)有一個(gè)限制條件：同一集合中任兩個(gè)數(shù)的比值在2,3內(nèi)，故同一集合中元素的數(shù)值差不得IL3 2過(guò)大。這樣，我們可以用如上一種特殊的分類(lèi)法：遞推分類(lèi)法：從1開(kāi)始，顯然1只能單獨(dú)作為1個(gè)集合1;否則不滿(mǎn)足限

11、制條件。能與2同屬于一個(gè)集合的數(shù)只有3,于是2,3為一集合。如此依次遞推下去，使若干個(gè)連續(xù)的自然數(shù)屬于同一集合，其中最大的數(shù)不超過(guò)最小的3數(shù)的3倍，就可以得到滿(mǎn)足條件的六個(gè)集合。2（2）如果我們按照（1）中的遞推方法依次造“抽屜”，則第7個(gè)抽屜為26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39;第8個(gè)抽屜為：40,41,42,，60;第9個(gè)抽屜為：61,62,63,，90,91;22那么我們可以將例3改造為如下一系列題目：(1)從前16個(gè)自然數(shù)中任取6個(gè)自然數(shù)；(2)從前39個(gè)自然數(shù)中任取8個(gè)自然數(shù)；(3)從前60個(gè)自然數(shù)中任取9個(gè)自然數(shù)；(4)從前91個(gè)自然

12、數(shù)中任取10個(gè)自然數(shù)；都可以得到同一個(gè)結(jié)論：其中存在2個(gè)數(shù)，它們相互的比值在-,-內(nèi)。収2上述第(4)個(gè)命題，就是前蘇聯(lián)基輔第49屆數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題。如果我們改變區(qū)間|9,衛(wèi)Ip q一(pq)端點(diǎn)的值，則又可以構(gòu)造出一系列的新題目來(lái)。例4.已給一個(gè)由10個(gè)互不相等的兩位十進(jìn)制正整數(shù)組成的集合。求證：這個(gè)集合必 有兩個(gè)無(wú)公共元素的子集合，使子集合中各數(shù)之和相等。(第14屆1M0試題)分析與解答：一個(gè)有著10個(gè)元素的集合共有210=1024個(gè)不同的子集，包括空集和全集 在內(nèi)?？占c全集顯然不是考慮的對(duì)象，所以剩下1024-2=1022個(gè)非空真子集。再來(lái)看各個(gè)真子集中一切數(shù)字之和。用N來(lái)記這個(gè)和數(shù)，很明

13、顯：10WNK91+92+93+94+95+96+97+98+99=855這表明N至多只有855-9=846種不同的情況。由于非空真子集的個(gè)數(shù)是1022,1022846,所以一定存在兩個(gè)子集A與B,使得A中各數(shù)之和=B中各數(shù)之和。若AAB=$，則命題得證，若AAB=O$ ,即A與B有公共元素，這時(shí)只要剔除A與B中的一切公有元素，得出兩個(gè)不相交的子集A與B,很顯然，A中各元素之和=B1中各元素 之和，因此A與B就是符合題目要求的子集。思考：本例能否推廣為如下命題：已給一個(gè)由m個(gè)互不相等的n位十進(jìn)制正整數(shù)組成的集合。求證：這個(gè)集合必有兩個(gè)無(wú)公共元素的子集合，各子集合中各數(shù)之和相等。例5.在坐標(biāo)平面

14、上任取五個(gè)整點(diǎn)(該點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都取整數(shù))，證明：其中一定存在 兩個(gè)整點(diǎn)，它們的連線(xiàn)中點(diǎn)仍是整點(diǎn)。分析：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，坐標(biāo)平面兩點(diǎn) 為，, x2, y2的中點(diǎn)坐標(biāo)i 生， 血。12 2丿欲使X1一X2M一y2都是整數(shù)，必須而且只須X1與X2,y1與y2的奇偶性相同。坐標(biāo)平面上 的任意整點(diǎn)按照橫縱兩個(gè)坐標(biāo)的奇偶性考慮有且只有如下四種：（奇數(shù)、奇數(shù)），（偶數(shù)， 偶數(shù)），（奇數(shù)，偶數(shù)），（偶數(shù)，奇數(shù)）以此構(gòu)造四個(gè)“抽屜”，則在坐標(biāo)平面上任取五 個(gè)整點(diǎn)，那么至少有兩個(gè)整點(diǎn)，屬于同一個(gè)“抽屜”因此它們連線(xiàn)的中點(diǎn)就必是整點(diǎn)。說(shuō)明：我們可以把整點(diǎn)的概念推廣：如果（X1,X2,Xn）是n維（元）有序數(shù)組，且X

15、1,X2,Xn中的每一個(gè)數(shù)都是整數(shù)，則稱(chēng)（X1,X2,Xn）是一個(gè)n維整點(diǎn)。如果對(duì)所有的n維整點(diǎn)按每 一個(gè)Xi的奇偶性來(lái)分類(lèi)，由于每一個(gè)位置上有奇、偶兩種可能性，因此共可分為2X2X-X2=2n個(gè)類(lèi)。這是對(duì)n維整點(diǎn)的一種分類(lèi)方法。當(dāng)n=3時(shí)，23=8，此時(shí)可以構(gòu)造命題：“任意給定空間中九個(gè)整點(diǎn)，求證它們之中必有兩點(diǎn)存在，使連接這兩點(diǎn)的直線(xiàn)段的內(nèi)部含有整點(diǎn)”。這就是1971年的美國(guó)普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽題。在n=2的情形，也可以構(gòu)造如下的命題：“平面上任意給定5個(gè)整點(diǎn)”，對(duì)“它們連線(xiàn)段中點(diǎn)為整點(diǎn)”的4個(gè)命題中，為真命題的是：（A）最少可為0個(gè)，最多只能是5個(gè)；（B）最少可為0個(gè)，最多可取10個(gè)（C）最少

16、為1個(gè)，最多為5個(gè)；（D）最少為1個(gè)，最多為10個(gè) 答案（D）例6.在任意給出的100個(gè)整數(shù)中，都可以找出若干個(gè)數(shù)來(lái)（可以是一個(gè)數(shù)），它們的和可被100整除。分析：本題也似乎是茫無(wú)頭緒，無(wú)從下手，其關(guān)鍵何在？仔細(xì)審題，它們的“和”能“被100整除”應(yīng)是做文章的地方。如果把這100個(gè)數(shù)排成一個(gè)數(shù)列，用Sm記其前m項(xiàng)的和，貝y其可構(gòu)造S1,S2,S100共100個(gè)”和數(shù)。討論這些“和數(shù)”被100除所得的余數(shù)。注意到S,S2,-S100共有100個(gè)數(shù)，一個(gè)數(shù)被100除所得的余數(shù)有0,1,2,99共100種可能性。 “蘋(píng)果”數(shù)與“抽屜”數(shù)一樣多，如何排除“故障”？證明：設(shè)已知的整數(shù)為a1,a2,-a1

17、00考察數(shù)列a1,a2,-a100的前n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列S,S2,S100。如果S,S2,S100中有某個(gè)數(shù)可被100整除，則命題得證。否則，即S, S，S100均 不能被100整除，這樣，它們被100除后余數(shù)必是1,2,，99中的元素。由抽屜原理I知，S,S,S100中必有兩個(gè)數(shù)，它們被100除后具有相同的余數(shù)。不妨設(shè)這兩個(gè)數(shù)為Si,S（iVj）,則1001（Sj-Si）,即卩1001a ai2I。命題得證。說(shuō)明：有時(shí)候直接對(duì)所給對(duì)象作某種劃分，是很難構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)某閷系摹＿@時(shí)候，我們 需要對(duì)所給對(duì)象先作一些變換，然后對(duì)變換得到的對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)，就可以構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)某閷稀?本題直接對(duì)an進(jìn)行分類(lèi)是很

18、難奏效的。 但由an構(gòu)造出Sn后，再對(duì)Sn進(jìn)行分類(lèi)就容易得多。另外，對(duì)Sn按模100的剩余類(lèi)劃分時(shí)，只能分成100個(gè)集合，而Sn只有100項(xiàng)，似 乎不能應(yīng)用抽屜原則。 但注意到余數(shù)為0的類(lèi)恰使結(jié)論成立， 于是通過(guò)分別情況討論后， 就 可去掉余數(shù)為0的類(lèi)，從而轉(zhuǎn)化為100個(gè)數(shù)分配在剩下的99個(gè)類(lèi)中。最后，本例的結(jié)論及證明可以推廣到一般情形（而且有加強(qiáng)的環(huán)節(jié)）：在任意給定的n個(gè)整數(shù)中，都可以找出若干個(gè)數(shù)來(lái)（可以是一個(gè)數(shù)），它們的和可被n整除， 而且，在任意給定的排定順序的n個(gè)整數(shù)中，都可以找出若干個(gè)連續(xù)的項(xiàng)（可以是一 項(xiàng)），它們的和可被n整除。將以上一般結(jié)論中的n賦以相應(yīng)的年份的值如1999,20

19、00,2001，就可以編出相應(yīng) 年份的試題來(lái)。如果再賦以特殊背景，則可以編出非常有趣的數(shù)學(xué)智力題來(lái)，如下題：有100只猴子在吃花生,每只猴子至少吃了1?；ㄉ?多者不限。 請(qǐng)你證明： 一定有若干只猴子（可以是一只）,它們所吃的花生的粒數(shù)總和恰好是100的倍數(shù)。二、單色三角形問(wèn)題前面數(shù)例我們看到, 抽屜原理應(yīng)用的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)刂圃斐閷? 分割圖形, 利用自然數(shù) 分類(lèi)的不同方法如按剩余類(lèi)制造抽屜或按奇數(shù)乘以2的方冪制造抽屜, 利用奇偶性等等, 都 是制造“抽屜”的方法。 大家看到, 抽屜原理的道理極其簡(jiǎn)單,但恰當(dāng)?shù)鼐牡貞?yīng)用它,不 僅可以解決國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的問(wèn)題, 而且可以解決國(guó)際中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽,

20、例如IM0中的難題。例7（第6屆國(guó)際中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克試題）17名科學(xué)家中每?jī)擅茖W(xué)家都和其他科 學(xué)家通信,在他們通信時(shí),只討論三個(gè)題目,而且任意兩名科學(xué)家通信時(shí)只討論一個(gè)題目, 證明：其中至少有三名科學(xué)家,他們相互通信時(shí)討論的是同一個(gè)題目。證明：視17個(gè)科學(xué)家為17個(gè)點(diǎn),每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間連一條線(xiàn)表示這兩個(gè)科學(xué)家在討論同一 個(gè)問(wèn)題,若討論第一個(gè)問(wèn)題則在相應(yīng)兩點(diǎn)連紅線(xiàn), 若討論第2個(gè)問(wèn)題則在相應(yīng)兩點(diǎn)連條黃線(xiàn), 若討論第3個(gè)問(wèn)題則在相應(yīng)兩點(diǎn)連條藍(lán)線(xiàn)。 三名科學(xué)家研究同一個(gè)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為找到一個(gè)三 邊同顏色的三角形。 （本例同第十二講染色問(wèn)題例4）考慮科學(xué)家A,他要與另外的16位科學(xué)家每人通信討論一個(gè)問(wèn)題

21、，相應(yīng)于從A出發(fā)引出16條線(xiàn)段， 將它們?nèi)境?種顏色， 而16=3X5+1,因而必有6=5+1條同色， 不妨記為AB,AB,AB3,AB4,AB,AB6同紅色，若Bi（i=1,2，6）之間有紅線(xiàn)，則出現(xiàn)紅色三角線(xiàn)， 命題已成立；否則B1，B2，B3，B4，B5，B6之間的連線(xiàn)只染有黃藍(lán)兩色。考慮從Bi引出的5條線(xiàn)，B1B2,B1B3, BB4,B1B5,B1B6,用兩種顏色染色， 因?yàn)?=2X2+1,故必有3=2+1條線(xiàn)段同色，假設(shè)為黃色，并記它們?yōu)锽iR,BB3, BB。這時(shí)若B2,Ba,B4之間有黃線(xiàn)，則有黃色三角形，命題也成立，若B2，Ba，B4,之間無(wú)黃線(xiàn)，則AB2，Ba，B4,必為藍(lán)

22、色三角形，命題仍然成立。說(shuō)明：(1)本題源于一個(gè)古典問(wèn)題-世界上任意6個(gè)人中必有3人互相認(rèn)識(shí)，或互相 不認(rèn)識(shí)。(美國(guó)普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)。(2)將互相認(rèn)識(shí)用紅色表示，將互相不認(rèn)識(shí)用藍(lán)色表示，(1)將化為一個(gè)染色問(wèn)題，成為一個(gè)圖論問(wèn)題：空間六個(gè)點(diǎn)，任何三點(diǎn)不共線(xiàn)，四點(diǎn)不共面，每?jī)牲c(diǎn)之間連線(xiàn)都涂上紅色或藍(lán)色。求證：存在三點(diǎn)，它們所成的三角形三邊同色。(3)問(wèn)題(2)可以往兩個(gè)方向推廣：其一是顏色的種數(shù)，其二是點(diǎn)數(shù)。本例便是方向一的進(jìn)展，其證明已知上述。如果繼續(xù)沿此方向前進(jìn)，可有下題：在66個(gè)科學(xué)家中，每個(gè)科學(xué)家都和其他科學(xué)家通信，在他們的通信中僅僅討論四個(gè)題目,而任何兩個(gè)科學(xué)家之間僅僅討論一個(gè)題目。

23、證明至少有三個(gè)科學(xué)家，他們互相之間討論同一個(gè)題目。(4)回顧上面證明過(guò)程，對(duì)于17點(diǎn)染3色問(wèn)題可歸結(jié)為6點(diǎn)染2色問(wèn)題，又可歸結(jié)為3點(diǎn)染一色問(wèn)題。反過(guò)來(lái)，我們可以繼續(xù)推廣。從以上(3,1)(6,2)T(17,3)的過(guò)程，易發(fā)現(xiàn)6=(3-1)X2+2,17=(6-1)X3+2,66=(17-1)X4+2,同理可得(66-1)X5+2=327,(327-1)x6+2=1958記為1=3,2=6,o=17,r4=66,r5=327,6=1958,我們可以得到遞推關(guān)系式：rn= n(rn-1-1)+2,n=2,3,4這樣就可以構(gòu)造出327點(diǎn)染5色問(wèn)題，1958點(diǎn)染6色問(wèn)題，都必出現(xiàn)一個(gè)同色三角形。三、抽

24、屜原理的其他形式在例7的證明過(guò)程中，我們實(shí)際上用到了抽屜原理的其他形式，我們把它作為定理2。定理2:把m個(gè)元素分成n個(gè)集合(m n)(1)當(dāng)n能整除m時(shí)，至少有一個(gè)集合含有m個(gè)元素；n(2)當(dāng)n不能整除m時(shí)，則至少有一個(gè)集合含有至少m1個(gè)元素。_n定理2有時(shí)候也可敘述成：把mKn+1個(gè)元素放進(jìn)n個(gè)集合，則必有一個(gè)集合中至少放 有m+1個(gè)元素。例8.在邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)任意放入九個(gè)點(diǎn)，求證：存在三個(gè)點(diǎn)，以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)1的三角形的面積不超過(guò)（1963年北京市數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）。8分析與解答：如圖，四等分正方形，得到A,A, A,A四個(gè)矩形。在正方形內(nèi)任意放入九個(gè)點(diǎn)，則至少有一個(gè)矩形A內(nèi)存在9=3個(gè)或3

25、個(gè)以上的點(diǎn)，設(shè)_4三點(diǎn)為A、B、C,具體考察A（如圖所示），過(guò)A、B、C三點(diǎn)分別作矩形長(zhǎng)邊的平行線(xiàn)，過(guò)矩形長(zhǎng)邊的距離為1h=(0 3,nv6，求證：在這些矩形中一定存在無(wú)限多個(gè)矩形，其中任意兩個(gè)矩形必有一個(gè)被包含在另一個(gè)之中。證明： 由nv6知,n=1,2,3,4,5,只有5種情形,由定理3知,將所給的無(wú)窮多個(gè)矩形按n的取值分成5類(lèi),當(dāng)作5個(gè)抽屜,其中必有一個(gè)抽屜（一類(lèi)）里包含有無(wú)窮多個(gè)矩形。 不妨設(shè)這一類(lèi)矩形的n的取值為n。對(duì)于這一類(lèi)矩形中的任意兩個(gè)矩形而言，由于n的取值相同，因此m取值較小的一個(gè)矩形必然被包含在m取值較大的一個(gè)矩形之中。五、抽屜原理的多次使用例12有蘋(píng)果、梨、桔子若干個(gè),任意分成9堆,求證一定可以找到兩堆,其蘋(píng)果數(shù)、梨數(shù)、桔子數(shù)分別求和都是偶數(shù)。證明：因?yàn)槊恳欢牙锏拿恳环N水果數(shù)或?yàn)槠鏀?shù)或?yàn)榕紨?shù)（兩個(gè)抽屜），而9=2X4+1,故對(duì)于蘋(píng)果，9堆中必有5堆的奇偶性相同；這5堆對(duì)于梨數(shù)來(lái)說(shuō)，由于5=2X2+1,故必有3堆的奇偶性相同； 這3堆對(duì)于桔子數(shù)也必有2堆的奇偶性相同。 于是, 就找到這樣的兩堆, 它們的蘋(píng)果數(shù)、梨數(shù),桔子數(shù)的奇偶性都分別相同,從而其和數(shù)分別都是偶數(shù)。說(shuō)明 ：為了得出和是偶數(shù), 需要兩加數(shù)的奇偶性相同。 對(duì)3類(lèi)水果逐一找用了3次抽屜原理,若將過(guò)程合并簡(jiǎn)化可將蘋(píng)果數(shù)、梨數(shù)、桔子數(shù)作為的奇偶性構(gòu)造8個(gè)抽屜：奇,奇,奇