年204年考研數(shù)學(xué)一歷年真題匯總

1、2021年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每題4分，共32分，以下每題給出的四個選項中，只有一項符合.)題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)(1)當(dāng) x 0 時,f x(A) a 1,b(C)a 1,b(2)如圖，正方形sin ax與 g xx2 ln 1bx等價無窮小，那么Dk k 1,2,3,4(A)(B)(C)(D)I4(3)設(shè)函數(shù)那么函數(shù)F x1616,lk(B)a1,bx,y |x1,y 1y cosxdxdy ,那么Dkxx在區(qū)間 1,3上的圖形為f(x)x(D)x設(shè)有兩個數(shù)列an , bn，假設(shè)lim an 0 ,那么n(B)(A) 當(dāng)bn收

2、斂時，anbn收斂.n 1n 1(B) 當(dāng)bn發(fā)散時,anbn發(fā)散.n 1n 1(C)當(dāng) bn收斂時，a2b： 收斂.n 1n 1(D)當(dāng)bn發(fā)散時，ajb；發(fā)散.n 1n 1311設(shè)a, 02, a3是3維向量空間R的一組基，那么由基a, 02, a3到基23%a?, aa3, a3a的過渡矩陣為120(B)023103111222111(D)444111666B的伴隨矩陣假設(shè)A2,B3，那么分塊矩111246111(C)2461112461 0 1(A) 2 200 33葉O陣BA的伴隨矩陣為OO*3BO*2B(A)*(B)*2AO3AOO*3AO*2A(C)*(D)*2BO3BO(6)設(shè)

3、A, B均為2階矩陣，A ,B分別為x 1(7) 設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F x 0.3 x 0.7，其中x為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，那么EX(A)0(B)0.3(C) 0.7(D)1(8) 設(shè)隨機變量 X與Y相互獨立，且X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N 0,1 ,Y的概率分布為1P Y 0 P Y 1,記FZ z為隨機變量Z XY的分布函數(shù)，那么函數(shù)FZ z的間斷2點個數(shù)為(A)0(B)1二、填空題(9-14小題海小題4分,共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.)2(9) 設(shè)函數(shù)f u,v具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，z f x,xy，那么 一z .x y(10) 假設(shè)二階常系數(shù)線性齊次微分方程y ay by 0的通

4、解為y G C?x ex,那么非齊次方程y ay by x滿足條件y 02, y 00的解為y .(11) 曲線L : y x2 0 x 2 ，貝H L xds .(12) 設(shè)x,y, z x2 y2 z2 1 ，那么z2dxdydz .(13) 假設(shè)3維列向量a，B滿足aTB 2，其中aT為a的轉(zhuǎn)置，那么矩陣B a的非零特征值為.2(14) 設(shè)X1，X2丄，Xm為來自二項分布總體 B n，p的簡單隨機樣本，X和S分別為樣本均值和樣本方差假設(shè)X kS2為np2的無偏估計量，那么k .三、解答題(15 -23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(

5、15) (此題總分值9分)求二元函數(shù)f (x，y)x2 2 y2y lny的極值(16) (此題總分值9分)設(shè)an為曲線y xn與y xn 1 n 1,2,.所圍成區(qū)域的面積，記San，S2a2n 1，求 3 與 S2的值n 1n 1(17) (此題總分值11分)x2 y2橢球面S是橢圓1繞x軸旋轉(zhuǎn)而成，圓錐面S2是過點4,0且與橢圓432 2x y1相切的直線繞x軸旋轉(zhuǎn)而成43(1)求3及S2的方程(2)求S|與S2之間的立體體積(18) (此題總分值11分)證明拉格朗日中值定理：假設(shè)函數(shù)f x在a,b上連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo) 那么存在 a,b使得 f b f a f b a證明：假設(shè)函數(shù)f

6、 x在x 0處連續(xù),在0,內(nèi)可導(dǎo)f 0存在，且f0 A.(19)(此題總分值10分)計算曲面積分xdydz ydzdx zdxdyOx23,其中z2是曲面2x22 22y z 4 的外側(cè)(20)(此題總分值11(1)求滿足A 2&.A &&的所有向量&,&(2)對(1)中的任意向量(21) (此題總分值11 分)設(shè)二次型fX1,X2,X3ax： ax；a 1 x3 2為花2X2X3 .(1)求二次型f的矩陣的所有特征值；(2)假設(shè)二次型f的標(biāo)準(zhǔn)形為y y，求a的值.(22) (此題總分值11分)袋中有1個紅色球,2個黑色球與 3個白球，現(xiàn)有回放地從袋中取

7、兩次，每次取一球，以X,Y,Z分別表示兩次取球所取得的紅球、黑球與白球的個數(shù)(1)求 p X 1 Z 0(2)求二維隨機變量X,Y概率分布.(23)(此題總分值11分)設(shè)總體X的概率密度為f(x)2xxe ,x0,其他0 ,其中參數(shù) (0)未知,X1，X2,Xn是來自總體X的簡單隨機樣本(1)求參數(shù)的矩估計量.(2)求參數(shù)的最大似然估計量2021年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每題4分，共32分，以下每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)極限limx2x(x a)(x b)(A)1(C) ea(B)e(D)eb

8、a設(shè)函數(shù)z z(x, y)由方程F (,-)x x0確定,其中F為可微函數(shù),且 F20,那么(B)z(C) x(A) x(D) z設(shè)m, n為正整數(shù)，那么反常積分nxdx的收斂性(B)僅與n取值有關(guān)(D)與m,n取值都無關(guān)(A)僅與m取值有關(guān)(C)與m, n取值都有關(guān)n nn xim2 rx i 1 j 1 (n i)(n j )1x(A) dx廠 dy00 (1 x)(1 y )1 x(B) 0叭廠冇dy1 1(C) 0dx 0廠莎Fdy1 1(D) 0dx0石dy設(shè)A為m n型矩陣,b為nm型矩陣,假設(shè)AB E,那么(A)秩(A)m,秩(B)(B)秩(A)m,秩(B) n(C)秩(A)n,

9、秩(B)(D)秩(A)n,秩(B) n設(shè)A為4階對稱矩陣且A20,假設(shè)A的秩為3,那么A相似于(A)(C)(B)(7)設(shè)隨機變量(A)01 1(C)； e2X的分布函數(shù)F (x)0121(D)1,那么 PX1=(B)1(D)1 e 1(8)設(shè)f/x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度,f2(X)為1,3上均勻分布的概率密度，f(x)af1 (x)|bf2(x)(a 0,b 0)x 0為概率密度，那么a, b應(yīng)滿足(A) 2a 3b 4(B) 3a 2b 4(C)a b 1(D) a b 2(9)設(shè) x e t,ytoln(12(10) 0 丘 co/xdy =(11)曲線L的方程為y 1 xx 1,1,

10、起點是(1,0),終點是(1,0),那么曲線積分xydx x2dy =(12 )設(shè)( x, y,z) |x2y2z 1,那么的形心的豎坐標(biāo) z=(13)設(shè)a (1,2, 1,0)T,a(1,1,0,2)丁, a(2,1,1, / ,假設(shè)由a1, a2, a形成的向量空間的維數(shù)是2,那么 =(14)設(shè)隨機變量 X概率分布為PX k C(k 0,1,2,L ),那么EX2=k!三、解答題(15 -23小題,共94分請將解答寫在答題紙指定的位置上解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15) (此題總分值10分)求微分方程y 3y 2y 2xex的通解.(16) (此題總分值10分)x 2t2求

11、函數(shù)f(x)1 (x t)e dt的單調(diào)區(qū)間與極值(17) (此題總分值10分)1 1(1)比擬 0 In t l n(1 t)ndt 與 0tn I ntdt(n 1,2 ,L )的大小，說明理由1記 Un In t In(1t)ndt(n 1,2,L ),求極限 lim un.0x(18) (此題總分值10分)求幕級數(shù)4 x2n的收斂域及和函數(shù)n 1 2n 1設(shè)P為橢球面S:x2 y2 z2(19) (此題總分值10分)yz 1上的動點,假設(shè)S在點P的切平面與xoy面垂直,求P點的軌跡C,并計算曲面積分IC上方的局部(20)(此題總分值11分)(x 73)|y 2z,4 y2 z2 4yz

12、dS,其中是橢球面S位于曲線1 1a設(shè)A010 ,b1 ,線性方程組 Ax b存在兩個不同的解111(1)求，a.(2)求方程組，(21)(此題總分值A(chǔ)x b的通解.11分)設(shè)二次型f (x1,x2,x3) xTAx在正交變換x Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為y； y2,且Q的第三 列為(¥，o，#)T.(1) 求 A.(2) 證明A E為正定矩陣，其中E為3階單位矩陣.(22) (此題總分值11分)設(shè) 二 維 隨 機 變 量 (XY) 的 概 率 密 度 為 f(x,y) Ae 2x 2xy y , x , y ,求常數(shù)及A條件概率密度fY|x (y |x).(23) (此題總分值11分)設(shè)總體

13、X的概率分布為X123P122其中 (0,1)未知，以Ni來表示來自總體 X的簡單隨機樣本(樣本容量為n)中等于i的個數(shù)3(i 1,2,3),試求常數(shù)a,a2,a3,使TaM為 的無偏估計量,并求T的方差.i 12021年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每題4分，共32分，以下每題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)2341、曲線 yx(x 1)(x2) (x3) (x4)的拐點是()A( 1，0)B (2，0)C( 3，0)D( 4，0)2、設(shè)數(shù)列 an單調(diào)減少，且lim an0。 Snn域為()ai無界，那么幕級數(shù)an

14、(x 1)n的收斂i 1n 1D (0 2A ( 11B 11) C 02)3、設(shè)函數(shù)f (x)具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)， 且f(x) 0 . f (0)0。那么函數(shù)z In f(x)f(y)在點(0,0)處取得極小值的一個充分條件是()A f(0)1 f (0)0Bf(0)1 f (0)0c f(0)1 f (0)0Df(0)1 f (0)04、設(shè)14 In sin xdx J04 In cot xdx0K4 In cosxdx，貝U I0J K的大小關(guān)系疋()A I JKBIKJCJI KD KJ I5、設(shè)A為3階矩陣，把A的第二列加到第一列得到矩陣B，再交換B的第二行與第3行得10 0100到

15、單位陣E,記R11 0 ,P2001，貝U A=()00 1010AP1P2BP1P2CP2P1DP21P16、設(shè)A(1 234)是4階矩陣，*A為A的伴隨矩陣。假設(shè)(1,0,1,0)T 是 Ax0的一個根底解系,那么A*x0的根底解系可為()A13B12C1 23D2347、設(shè)F1 (x)F2 (x)為兩個分布函數(shù)，且連續(xù)函數(shù)fjx)f2(x)為相應(yīng)的概率密度，那么必為概率密度的是()Af1(x) f2(x)B 2 f2(x)F-i (x)Cf,x)F2(x)D f,x)F2(x)+f2(x)R(x)&設(shè)隨機變量X,Y相互獨立，且EX,EY都存在，記Umax X ,Y V min X

16、 ,Y，那么EUV ()A EU EV B EX EY C EU EYD EX EV二、填空題：914小題，每題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定的位置上。x9、曲線y ° tan tdt (0 x )的弧長為10、微分方程ycosx滿足條件y(0)0的解為11、設(shè)函數(shù)F(x, y)xy吧dt，那么t12、設(shè)L是柱面方程x21與平面y的交線，從z軸正向往z軸負(fù)向看去為逆時針方向，那么曲線積分:Lxzdxxdy2Zz213、假設(shè)二次曲面的方程x23y22z 2axy 2xz 2yz 4 ，經(jīng)正交變換化為2y114、設(shè)二維隨機變量(X,Y)N(,2 2 2,0)，那么 E(XY )三

17、、解答題：1523小題，共94分請將解答寫在答題紙指定的位置上，解容許寫出文字說 明，證明過程或演算步驟。15、(此題總分值10分)1求極限肌(叮產(chǎn)16、(此題總分值9分)設(shè)函數(shù)zf (xy, yg (x)，其中f具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g (x)可導(dǎo)且在x 1處取得極值 g(1)1 .求2乙|x 1x y y 117、(此題總分值10分) 求方程k arctanx x18、(此題總分值10分)0的不同實根的個數(shù)，其中 k為參數(shù)。證明：對任意的正整數(shù)n，都有n 1ln(1 -)丄成立;n n1設(shè)an 1 一 219、(此題總分值11分)函數(shù)f (x, y)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),ln n (n

18、1,2)，證明數(shù)列an收斂.且 f(1,y)f(x,1)0, f (x, y)dxdy a，其D中D (x, y) |0 x 1,0 y 1計算二重積分xyfxy(x, y)dxdyD20、(此題總分值11 分)設(shè)向量組1(1,0,1)T， 2 (0,1,1)T，(1,3,5)T不能由向量組1(1,1,1)T，2(1,2,3)T，3(3,4, a)T線性表示;1求a的值;2將 1,2 ,3 用 1,2 ,3線性表示；21、此題總分值11分111 1A為3階實對稱矩陣，A的秩為2，且 A 000 0-111 1求1 A的特征值與特征向量2矩陣A22、此題總分值11分 設(shè)隨機變量X與Y的概率分布分

19、別為X01P1/32 3Y-101P131131'3且 P X2 Y21求1二維隨機變量X，Y的概率分布;2Z XY的概率分布3X與Y的相關(guān)系數(shù) XY23、此題總分值11分設(shè)X1,X2 Xn是來自正態(tài)總體 N 0, 2的簡單隨機樣本，其中0， 2 0未知.X,S2為樣本均值和樣本方差求1求參數(shù)2的最大似然估計22計算E2和D 22021年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試卷、選擇題：18小題，每題4分，共32分，以下每題給出的四個選項中，只有一項2x x(1 )曲線y篤漸近線的條數(shù)為()x 1(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(2) 設(shè)函數(shù) f(x) (ex 1)(e2x 2)L

20、 (enx n)，其中 n 為正整數(shù)，那么 f'(0)n 1(A) ( 1) (n 1)!(B) ( 1)n(n 1)!(C) ( 1)n 1 n!(D) ( 1)nn!(3) 如果f (x, y)在0,0處連續(xù)，那么以下命題正確的選項是()(A)假設(shè)極限lim -f(x,y)存在，那么f (x,y)在(0,0)處可微:0|x| |y|(B)右極限y存在，那么f(x,y)在(0,0)處可微y(C)假設(shè)f (x, y)在(0,0)處可微，那么極限lim f (x,y)存在 :0|x| |y|(D)假設(shè)存在x yf (x,y)在(0,0)處可微，那么極限limx 0y 0k x2(4)設(shè)

21、|kee(A) l1< |2 v|3.sinxdx(k=1,2,3),那么有 D(B) I2< |2V |3.(C)I1< 13 <11,(D) I1< I2< I3.001 1(5 )設(shè) 10 , 21,31 , 41其中C1,C2,C3,C4為任意常數(shù)，那么以下向C1C203C4量組線性相關(guān)的是()(A)1 ,2,3(B)1,2, 41,2,3，(6) 設(shè)A為3階矩陣，P為3階可逆矩陣，且P 1AP1Q 12, 2, 3 那么Q AQ ()1(A)212(C)121(B)122(D)21(7) 設(shè)隨機變量x與y相互獨立，且分別服從參數(shù)為1與參數(shù)為4的指數(shù)

22、分布，那么p X()(A)15(b)3(Of(D)45(9)假設(shè)函數(shù)f (x)滿足方程f (x)f'(x)2f(x)0 及 f (x) f (x) 2ef(x)=°2x-2x(10)x2dx(11)gradxy(2,1,1)(12)x, y, z x yz 1,x0, y 0, z 0 ,那么y2ds(13)設(shè)X為三維單位向量,E為三階單位矩陣，那么矩陣xxT的秩為(14)設(shè)代B,C是隨機事件,A,C互不相容，P(AB)1 12，p(c)了那么(8) 將長度為1m的木棒隨機地截成兩段，那么兩段長度的相關(guān)系數(shù)為1 1(A) 1 (B) 2(C)2 (D)24分，請將答案寫在答題

23、紙指定位置上二、填空題：9 14小題，每題4分，共P(ABC )15)(此題總分值10分)1 x2 x證明：x Incos x 11 x2)16)(此題總分值10分)證明過程或演算步驟1 x 12 2x y的極值。求 f x, y xe2(?(本趣總分值 分)此 4并丄十4旳+ 3求幕級數(shù)y 1護的收皺域及和遂黴z2丹十1門的體融總分值分)& = f(f)冀其中圈數(shù)_/具育連續(xù)導(dǎo)敎，且/(0>0,I y = cos/2曲線L:廣丸火嶺)，假設(shè)曲線£的切線與工軸的交點到切點.距離值恒為求國數(shù)八。的表達式，并求此咄毀L與工紬無邊界的國域的面積.(此題總分值 分)丄是第一象限

24、中從點go)沿虱周k +y: = 2x到點ag再沿圓周k +y2 =4到點(DQ)的曲昭 計算曲線枳分=3工厶4(存-x-ly)dy(20)(此題満分(2 )線性方程組Axb有無窮多解,a，并求Ax b的通解。(21)(此題總分值10分)三階矩陣A11 , AT為矩陣A的轉(zhuǎn)置，r(ATA) 2 ,a1 G 0()01£70B-I0 0 10G 001k°分且二次型fxT AT Ax 。(1)計算行列式鮎1 求a2求二次型對應(yīng)的二次型矩陣，并將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，寫出正交變換過程。22此題總分值10分隨機變量 X,Y以及XY的分布律如下表所示,X012P1/21/31/6Y01

25、2P1/31/31/3XY0124P7121/301/12求：1P X 2Y ；(2)cov X Y,Y 與 xy23此題總分值11分設(shè)隨機變量X與丫相互獨立且分別服從正態(tài)分布N , 2與N ,2 2，其中 是未知參數(shù)且0,設(shè)Z X Y,1求z的概率密度f z, 2 ；2的最大似然估計量 設(shè)Z,Z2丄Zn為來自總體Z的簡單隨機樣本，求3證明一2為2的無偏估計量。2021碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一真題及解析x1.極限lim -x 0arcta n xkxc，其中k， c為常數(shù)，且c0,那么1A. k 2,cB.k 2,c1C. k3,c1 D. k3,c12233答案D解析：用洛必達法那么limx

26、 0x arctan xkx1 lim -x 01 x2THkx2 2x 11 xlim lim cx 0 kx (1 x ) k x 0 x因此 k 1 2,1 c ,即 k 3,c -k322曲面x cos(xy) yz x 0在點(0,1, 1)處的切平面方程為()A. x y z 2B.xyzOC.x2yz 3 D. x y z 0答案(A)解析：法向量 n (Fx,Fy,Fz) (2x ysin(xy) 1, xsin(xy) z,y),n |<0,1, n (1, 1,1)切平面的方程是：1(x 0) 1(y 1) 1(z 1) 0，即x y z 2。3.設(shè) f(x)x12，

27、bn210 f (x)sin n xdx(n1,2,L )，令 S(x)0 sin n x ,那么()' *n 1 n3113A .B.c.D.-4444答案(C)解析：根據(jù)題意,將函數(shù)在1,1展開成傅里葉級數(shù)(只含有正弦，不含余弦)，因此將函數(shù)進行奇延拓:1|x 1|,x (0,1)f(x)2，它的傅里葉級數(shù)為s(x)，它是以2為周期的，那么當(dāng)x ( 1,1)且f(x)|x 1,x ( 1,0)在x處連續(xù)時，s(x)f (x)。s(94)111s( -)s(;)f(;)4441。42 24.設(shè) L1 : x y1，L2 : x22y2 22，L3：x 2y2 22，L4：2xy2為四

28、條逆時針方向的平面曲線,記|i?(yLi3y63x)dx (2x y)dy(i1,2,3,4)，那么 max 匚，*, JA. I1B. I2c.I3DI4答案(D)2解析：由格林公式，Ii (1 x2 y )dxdyDi222 yD1 D4，在 D4 內(nèi) 1 x 亍 0，因此 h I 4D2L)dxdy2(1 x2D42 2冬)dxdy(1 x2 工)dxdy2D2 D422在 D4 外 1 x222 0，所以 i214I3(1x2D3x Qr cos y2y r siny-)dxdy(12 22r cos1 22r sin )rdrd222 .13 ,1 2.2 ,1 322cosdr d

29、rsin dr dr002 001!111!1224 4 22!2422!2 42x rcos2 /y -"Zrsin4(12x)dxdy(12 2 r cosD32r0,12r 0,10,2r2sin2 )rdrd/2211/2 . 2,122 4cos dsin d042 041188_ 24ln s21 - 41 - 42rd3r- od4-23-4-4I3 I45設(shè)A,B,C均為n階矩陣，假設(shè)A矩陣C的行向量組與矩陣B矩陣C的列向量組與矩陣C矩陣C的行向量組與矩陣D矩陣C的列向量組與矩陣AB=C,且B可逆，那么A的行向量組等價A的列向量組等價B的行向量組等價B的列向量組等價1

30、a120 06.矩陣aba與0b 0相似的充分必要條件為)1a100 0A. a0,b2B.a0,b為任意常數(shù)C. a2,b0D.a2,b為任意常數(shù)2 27.設(shè) Xi, X2,X3 是隨機變量，且 Xi : N(0,1) , X2 : N(0,2 ) , X3 : N(5,3 ),PiP 2Xi2 (i 1,2,3)，那么()A.P|P2F3B.F2P|P3C.P3F2P2D P|F3P28設(shè)隨機變量X : t(n) ,Y : F(1,n)，給定a(0 a 0.5)，常數(shù)c滿足P X c a，貝U P Y c2()(9)設(shè)函數(shù) y=f(x)由方程 y-x=ex(1-y)確定，那么 lim n

31、f (丄)1 =。n 0 n(10)y1 =e3x -ce2x, y2=ex -ce2x, y3= -<e2x是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個解，那么該方程的通解y=(11 )設(shè)x si nty tsint(t為參數(shù)),cost那么dXy(12)In x(1 x)2dx(13 )設(shè)A=(aj)是3階非零矩陣，A為A的行列式，Aij為aj的代數(shù)余子式 假設(shè)aj+Aj=0(i ,j=1,2,3 ),貝A |=。(14) 設(shè)隨機變量 Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，a為常數(shù)且大于零，那么 PYC a+1|Y > a= 三解答題：(15) (此題總分值10分)計算 1 f(x)dx，其中

32、f(x) = x 也Rdt0.x1 t解：使用分部積分法和換元積分法1f(x)0 xdx12 0f(x)d x 2 . xf (x) |04ln(14ln 2x).x|0 4 0 xdln(1 x)1 t2182dt 4ln 2 8 (101 t201ln(1 x)2dx0.x xdx 4ln 2 41 x4ln2 8(t4 0ln(1 x)d x1arctant) |04ln 2 82(16) (此題10分)設(shè)數(shù)列 an滿足條件：a0 3,a1=1jan 2n(n1)an=0(n 2).S (x)是幕級數(shù)anxn的和函數(shù).n 0(1)證明：Sn(x) S(x) 0；(2 )求S(x)的表達式

33、.(I)證明：由題意得n 1s xn a“xn 1丄n 2/cns x n n 1 anxn 1 n 2 an 2xn 2n 0Q ann 1 n 2 a“+2 n 0,1,2, Ls x s x10,從而(II)解：s x s x0為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其特征方程為3,s所以s x e2ex(17)(此題總分值10 分)求函數(shù)f (x, y)(yC1eC2ex，ai1，得C1 C2C1C2Ci1,C2 2y的極值.解答：先求駐點，令1fx (x2 y §x3)ex y fy (1 y 3x3)ex y30，解得0為了判斷這兩個駐點是否為極值點,y x3)ex'3&g

34、t;13 x yx )e33)ex y求二階導(dǎo)數(shù)f xxf xyf yy在點因為(2x2x2(x2(2(1,1y 3x23)處，Afxx(1, 2)5e 3,Bfxy(1,5e?,Cfyy(1,自A 0, ACB20,所以(1,23)不是極值點。類似的，在點(1,因為A 0, ACB2-)處，A322e 30，41fxx(1, 3) 3e3,B4fxy(1,-)1e 3,Cfyy(1,4所以(1,-)是極小值點，極小值為f(1,13)e(18)(此題總分值10分)設(shè)奇函數(shù)f(x)在1,1上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)=1，證明：(I)存在(0,1),使得 f ( ) 1.(n)存在 (1,1),使

35、得 f ( ) f ( )1.19. (此題總分值10分)設(shè)直線L過A( 1,0,0 ),B( 0,1,1)兩點將L繞z軸旋轉(zhuǎn)一周得到曲面， 與平面z 0, z 2所圍成的立體為Mx, y,z,對應(yīng)于L上的點M 0 x0, y0, z那么X2 2y2X。2 y°,由X。1z得:X2 y21 z 2+z2y° z即2:X2y2z2 2z 12顯然X0,y0x 11y £1 112 解：求曲面的方程; 求的形心坐標(biāo)。uuv1 AB1,1,1L:zdvz dv22 21610dvdzdxdy2z2 2z 1dz4 20 J2z2 2z 10332232c1614zdvz

36、dzdxdy2z 2zz dz820 22z2 2z 1033-7z 5重心坐標(biāo) 0,0，5設(shè) A 1 a ,B1 0，當(dāng)a,b為何值時，存在矩陣C使得AC-CA=B并求所有矩陣C。20. 此題總分值11分第20題X1 X2解：令C，那么X3 X4AC11a0X3X2X4為 ax3X1x2 ax4X2CAX1X21aX1X2ax1X3X410X3X4ax3AC CAx2 ax3ax1 x2 ax4x1 x3 x4x2 ax3那么由AC CA B得x2 ax30aXl X2 ax4 1，此為4元非齊次線性方程組，欲使c存在，此線性方程組必須X1X2X3ax3XIb1有解,于是01a0001a00

37、10111a10a101a01 a01a00A101111011101a01 a01a0b01a0b01a0b1011101a0000001a0000 b所以，當(dāng)a 1,b0時，線性方程組有解，即存在 C，使AC CA B 。所以 XC10C2C1C2 1C1C1C221. (此題總分值11分)設(shè)二次型 f (x.|,x2, x3)2(a1X|a2x2a3X3)22(bN b?X2 b3X3)，記a?，a3b1 b2 b3(1)證明二次型f對應(yīng)的矩陣為2(2)正交且均為單位向量，證明 f在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為 2y：2y2。證明:2 x!,X2,X3 a2a1, a2, a3x2(3)xta3

38、XTX3xtbXZ, X3b2b3T XbibbXiX2X3故f的矩陣A=22 Q A (2為A的對應(yīng)于又 A (2 T為A的對應(yīng)于T)1=2的特征向量T) =2 T2=1的特征向量TTr3=0故f在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為22y12y2.22. (此題總分值11 分)設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)1x ,a0,其他(1) 求Y的分布函數(shù);(2) 求概率P X Y .23. (此題總分值11分)設(shè)總體X的概率密度為f(X；)?e xx0,3令隨機變量2,x,1,1,2,2x 0,其中為未知參數(shù)且大于零， 其他X1,X2,L ,Xn為來自總體X的簡單隨機樣本。(1) 求的矩估計量；(2) 求 的最

39、大似然估計量。2021年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題f «M：1I 8小|心星4分決32分下砂瞞出的四個堆頂中，只有項符臺畳目旻求的陽胳雌項M的字母填左條將定役JE上. 以下的錢有浙近綬的是()(A)j-+$inx(B) y- x2 + smx(C) yx+sin丄(D) y-x + sinixxa)有二階竽敗.gw=/(o)(ix)+/a)i 別圧區(qū)bio,i上()A)卻/(r)>g(r)(B) *r(r)>fi81. /(x)<g(r)(p> 當(dāng) r(x)a 叭 jggg(D)當(dāng)廣(刃?0時Jgg©)0) ft/M是違綏固致'那么

40、J；bj2八兀y)N(A) 3l 'g妙十f(2)如®)J>J：%如1>心討(皿31 亠g f dej；06 0* ft os Q 尸 sin8)d?> + J：d& /(尸 cos & m S)drX1(D) fdej嚴(yán)P/(rcosrsin 6)rdr + |/e/d£ fr cos 6. r an&)rdraLcos jsin x(A) 2sin x(B) 2cosx(G)27rsm x()(U) 27TCOSXQabda00$(5)行列式nQedQ()c 0 0 d(A) (ad-be)1® -(ad -

41、be)2&) a2tf3 -6ac2(D) bV3 - ad2 S (x-OjCosx- &isin(6)設(shè)色厲./是3狀向氤 那么對任飆熱k向量a嚴(yán)妣專勺“礙錢性無羌是向氛(x-acosx-sinav a>a線性無關(guān)的(A)必英卒充弁條件(B)充分非必要條件(P)克并必要條件(D) BE菲充外又車必婆條件(7) 設(shè)隨機寧件4與衣桓ZL杭立且/<F)-0.S- P(A-B)3.網(wǎng)耳$-/)()(A)0.1(B)0.2&J03(D)0.4(8) 設(shè)迤維性隨機變崑禺與兀相互獨匕 且方差均耳氐 石與也的槪寄巒度分刖為人(天)與£(心 隨機吏雖K的嵐卓密度

42、為血(/)丄L*f) + X®)隨機浚雖呂丄(石+占)，2 2 那么C )巧.D>DY2(p)g片dydy2QEX££ DYx<DY2DYDY2二 填劊Hh 9i 14小JBL毎小JI 4分求加力.請林案耳在巒紙播定位量上.(?) fflffi2r-x3(l-siny) +b(1-sm x)杞直(L,Q 1)處的切平而方II為(10) «/(x)是岡期為4的可異奇函敕.且廣(x)2(x-1). j：0, 2, W/(7)-(11) 讖分方x/+0nz-ln7)=足條件y(l)=d 的辭為y =(12>役丄是柱面 <y2l與平面嚴(yán)2

43、0的文踐.從2輔亡向従2沖負(fù)向看去為連時葉方向. 用曲荀積分血曲十ydz.(13) 設(shè)二次型/(&人山)寸-呂*2叭1：廣4工必的如5性擋致是1.那么。的取值范W 2需<14)設(shè)總肚X的槪率&度為/()= 葫其中&是皋倉參憩.盡.屁.乙為來自0,寓他總體X的陶他樣本.著cf*是8的無偏估祚那么u.三.芽酬L 1923小井94分撫答寫左劄8低掛定位置上*直寫出丈字說樂遷明算步0欣本趣總分值IQ分Q®血逢満分10分役兩救卩 /x由方總曠+砂2+/，我 0確已 求/的板值17X總分值10龍建融數(shù)/口艮有2階進絞導(dǎo)效/0-0,/0-0,求/“的最達式.08畜理總分值10分設(shè)工為朝面z* + bzsi的上側(cè).沖篦由面積井/ | (x I)'妙也 + (y- i'fdzdx + (z-1) dxdyzjrjr(1吹本遛矗分10分)設(shè)數(shù)列aj,2矗良0 3科<一0<<-. C0£qqcosbg22級致£氏牧斂.lima* - 0 收饑q3本箜満井口的說A= 0111 2 0d>床方握組心 OR-個晶礎(chǔ)解雖一譏門求廉足££內(nèi)所砰雄琢E仃1r0亠0 V1 1LD 0龍C2D本