簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃典型例題

1、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃典型例題例1畫出不等式組表示的平面區(qū)域分析：采用“圖解法”確定不等式組每一不等式所表示的平面區(qū)域，然后求其公共部分解：把，代入中得 不等式表示直線下方的區(qū)域（包括邊界），即位于原點(diǎn)的一側(cè)，同理可畫出其他兩部分，不等式組所表示的區(qū)域如圖所示說明：“圖解法”是判別二元一次不等式所表示的區(qū)域行之有效的一種方法例2 畫出表示的區(qū)域，并求所有的正整數(shù)解分析：原不等式等價(jià)于而求正整數(shù)解則意味著，有限制條件，即求解：依照二元一次不等式表示的平面區(qū)域，知表示的區(qū)域如下圖：對(duì)于的正整數(shù)解，先畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示容易求得，在其區(qū)域內(nèi)的整數(shù)解為、說明：這類題可以將平面直角坐標(biāo)系用網(wǎng)絡(luò)

2、線畫出來，然后在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)找出符合題設(shè)要求的整數(shù)點(diǎn)來例3 求不等式組所表示的平面區(qū)域的面積分析：本題的關(guān)鍵是能夠?qū)⒉坏仁浇M所表示的平面區(qū)域作出來，判斷其形狀進(jìn)而求出其面積而要將平面區(qū)域作出來的關(guān)鍵又是能夠?qū)Σ坏仁浇M中的兩個(gè)不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)和變形，如何變形？需對(duì)絕對(duì)值加以討論解：不等式可化為或；不等式可化為或在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出四條射線， ，則不等式組所表示的平面區(qū)域如圖 由于與、與互相垂直，所以平面區(qū)域是一個(gè)矩形根據(jù)兩條平行線之間的距離公式可得矩形的兩條邊的長(zhǎng)度分別為和所以其面積為例4若、滿足條件求的最大值和最小值分析：畫出可行域，平移直線找最優(yōu)解解：作出約束條件所表示的平面區(qū)

3、域，即可行域，如圖所示作直線，即，它表示斜率為，縱截距為的平行直線系，當(dāng)它在可行域內(nèi)滑動(dòng)時(shí)，由圖可知，直線過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值 說明：解決線性規(guī)劃問題，首先應(yīng)明確可行域，再將線性目標(biāo)函數(shù)作平移取得最值例5 用不等式表示以，為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部的平面區(qū)域分析：首先要將三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)所確定的直線方程寫出來，然后結(jié)合圖形考慮三角形內(nèi)部區(qū)域應(yīng)怎樣表示。解：直線的斜率為：，其方程為可求得直線的方程為直線的方程為的內(nèi)部在不等式所表示平面區(qū)域內(nèi)，同時(shí)在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，同時(shí)又在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)（如圖）所以已知三角形內(nèi)部的平面區(qū)域可由不等式組表示說明：用不等式組可以用來平面

4、內(nèi)的一定區(qū)域，注意三角形區(qū)域內(nèi)部不包括邊界線例6 已知，求的最大、最小值分析：令，目標(biāo)函數(shù)是非線性的而可看做區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題解：由得可行域(如圖所示)為，而到，的距離分別為和所以的最大、最小值分別是50和說明：題目中的目標(biāo)函數(shù)是非線性的解決的方法類似于線性規(guī)劃問題可做出圖，利用圖進(jìn)行直觀的分析例7 設(shè)式中的變量、滿足下列條件求的最大值分析：先作出不等式組所表示的可行域，需要注意的是這里的，故只是可行域內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)，然后作出與直線平等的直線再進(jìn)行觀察解：作出直線和直線，得可行域如圖所示解方程組得交點(diǎn)又作直線，平等移動(dòng)過點(diǎn)時(shí)，取最大值，然而點(diǎn)不是整數(shù)點(diǎn)，故對(duì)應(yīng)的

5、值不是最優(yōu)解，此時(shí)過點(diǎn)的直線為，應(yīng)考慮可行域中距離直線最近的整點(diǎn)，即，有，應(yīng)注意不是找距點(diǎn)最近的整點(diǎn)，如點(diǎn)為可行域中距最近的整點(diǎn)，但，它小于，故的最大值為34說明：解決這類題的關(guān)鍵是在可行域內(nèi)找準(zhǔn)整點(diǎn)若將線性目標(biāo)函數(shù)改為非線性目標(biāo)函數(shù)呢？例8 設(shè)，式中的變量、滿足試求的最大值、最小值分析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，本題的關(guān)鍵是目標(biāo)函數(shù)應(yīng)理解為可行域中的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方解：作出直線，得到如圖所示的可行域由得由得由得由圖可知：當(dāng)為點(diǎn)時(shí)，取最小值為2；當(dāng)為點(diǎn)時(shí)，取最大值29說明：若將該題中的目標(biāo)函數(shù)改為，如何來求的最大值、最小值呢？請(qǐng)自己探求（將目標(biāo)函數(shù)理解為點(diǎn)與點(diǎn)邊線的斜率）例9 設(shè)，

6、；，用圖表示出點(diǎn)的范圍分析：題目中的，與，是線性關(guān)系可借助于，的范圍確定的范圍解：由得由，得做出不等式所示平面區(qū)域如圖所示說明：題目的條件隱蔽，應(yīng)考慮到已有的，的取值范圍借助于三元一次方程組分別求出，從而求出，所滿足的不等式組找出的范圍例10某糖果廠生產(chǎn)、兩種糖果，種糖果每箱獲利潤40元，種糖果每箱獲利潤50元，其生產(chǎn)過程分為混合、烹調(diào)、包裝三道工序，下表為每箱糖果生產(chǎn)過程中所需平均時(shí)間（單位：分鐘）混合烹調(diào)包裝153241每種糖果的生產(chǎn)過程中，混合的設(shè)備至多能用12機(jī)器小時(shí)，烹調(diào)的設(shè)備至多只能用機(jī)器30機(jī)器小時(shí)，包裝的設(shè)備只能用機(jī)器15機(jī)器小時(shí)，試用每種糖果各生產(chǎn)多少箱可獲得最大利潤分析：找

7、約束條件，建立目標(biāo)函數(shù)解：設(shè)生產(chǎn)種糖果箱，種糖果箱，可獲得利潤元，則此問題的數(shù)學(xué)模式在約束條件下，求目標(biāo)函數(shù)的最大值，作出可行域，其邊界 由得，它表示斜率為，截距為的平行直線系，越大，越大，從而可知過點(diǎn)時(shí)截距最大，取得了最大值解方程組 即生產(chǎn)種糖果120箱，生產(chǎn)種糖果300箱，可得最大利潤19800元說明：由于生產(chǎn)種糖果120箱，生產(chǎn)種糖果300箱，就使得兩種糖果共計(jì)使用的混合時(shí)間為1202×300720（分），烹調(diào)時(shí)間5×1204×3001800（分），包裝時(shí)間3×120300660（分），這說明該計(jì)劃已完全利用了混合設(shè)備與烹調(diào)設(shè)備的可用時(shí)間，但對(duì)包裝

8、設(shè)備卻有240分鐘的包裝時(shí)間未加利用，這種“過?！眴栴}構(gòu)成了該問題的“松馳”部分，有待于改進(jìn)研究例11甲、乙、丙三種食物的維生素、含量及成本如下表：甲乙丙維生素（單位/千克）600700400維生素（單位/千克）800400500成本（元/千克）1194某食物營養(yǎng)研究所想用千克甲種食物，千克乙種食物，千克丙種食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56000單位維生素和63000單位維生素（1）用、表示混合物成本（2）確定、的值，使成本最低分析：找到線性約束條件及目標(biāo)函數(shù)，用平行線移動(dòng)法求最優(yōu)解解：（1）依題意：、滿足 成本（元）（2）依題意 作出不等式組所對(duì)應(yīng)的可行域，如圖所示聯(lián)立作

9、直線則易知該直線截距越小，越小，所以該直線過時(shí)，直線在軸截距最小，從而最小，此時(shí)7×505×20400850元 千克，千克時(shí)成本最低例12 某工廠有甲、乙兩種產(chǎn)品，按計(jì)劃每天各生產(chǎn)不少于15，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1需煤9，電力4，勞力3個(gè)（按工作日計(jì)算）；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1需煤4，電力5，勞力10個(gè)；甲產(chǎn)品每噸價(jià)7萬元，乙產(chǎn)品每噸價(jià)12萬元；但每天用煤最不得超過300噸，電力不得超過200，勞力只有300個(gè)問每天各生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品多少，才能既保定完成生產(chǎn)任務(wù)，又能為國家創(chuàng)造最多的財(cái)富分析：先設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為和，建立約束條件和目標(biāo)函數(shù)后，再利用圖形直觀解題解：設(shè)每天

10、生產(chǎn)甲產(chǎn)品，乙產(chǎn)品，總產(chǎn)值，依題意約束條件為：目標(biāo)函數(shù)為約束條件表示的可行域是五條直線所圍成區(qū)域的內(nèi)部的點(diǎn)加上它的邊線上的點(diǎn)(如圖陰影部分)現(xiàn)在就要在可行域上找出使取最大值的點(diǎn)作直線，隨著取值的變化，得到一束平行直線，其縱截距為，可以看出，當(dāng)直線的縱截距越大，值也越大從圖中可以看出，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的縱截距最大，所以也取最大值解方程組得故當(dāng)，時(shí)，(萬元)答：第天生產(chǎn)甲產(chǎn)品20，乙產(chǎn)品24，這樣既保證完成任務(wù)，又能為國家創(chuàng)造最多的財(cái)富428萬元 說明：解決簡(jiǎn)單線性規(guī)劃應(yīng)用題的關(guān)鍵是：(1)找出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)；(2)準(zhǔn)確畫出可行域；(3)利用的幾何意義，求出最優(yōu)解如本例中，是目標(biāo)函數(shù)的

11、縱截距例13 有一批鋼管，長(zhǎng)度都是4000，要截成500和600兩種毛坯，且這兩種毛坯數(shù)量比大于配套，怎樣截最合理？分析：先設(shè)出未知數(shù)，建立約束條件和目標(biāo)函數(shù)后，再按求最優(yōu)解是整數(shù)解的方法去求解：設(shè)截500的根，600的根，根據(jù)題意，得且作出可行域，如下圖中陰影部分目標(biāo)函數(shù)為，作一組平行直線，經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)且和原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的直線為過的直線，這時(shí)由，為正整數(shù)，知不是最優(yōu)解在可行域內(nèi)找整點(diǎn)，使可知點(diǎn)，均為最優(yōu)解答：每根鋼管截500的2根，600的5根，或截500的3根，600的4根或截500的4根，600的3根或截500的5根，600的2根或截500的6根，600的1根最合理說明：本題易出現(xiàn)如下

12、錯(cuò)解：設(shè)截500的根，600的根，則即其中、均為整數(shù)作出可行域，如下圖所示中陰影部分目標(biāo)函數(shù)為，作一組平行直線，經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)且和原點(diǎn)相距最遠(yuǎn)的直線為過點(diǎn)的直線先求點(diǎn)的坐標(biāo)，解得，故，即，調(diào)整為，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件，所以每根截500的2根，600的5根最合理本題解法錯(cuò)誤主要是在作一組平行直線時(shí)沒能準(zhǔn)確作出，而得到經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)且和原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的直線為過點(diǎn)的直線此錯(cuò)誤可檢驗(yàn)如下：如果直線通過點(diǎn)，它是經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)且到原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的直線，那么，即由于，為整數(shù)，所以點(diǎn)不是最優(yōu)解但在可行域內(nèi)除點(diǎn)外，不可能再有其他點(diǎn)滿足，只能在可行域內(nèi)找滿足的點(diǎn)如果還沒有整數(shù)點(diǎn)，則只能在可行域內(nèi)找滿足的整數(shù)點(diǎn)但我們知

13、道，滿足題意，這樣，就出現(xiàn)了矛盾，從而判斷解法錯(cuò)誤，即通過點(diǎn)的直線并不是通過可行域內(nèi)的點(diǎn)且和原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的直線例14 某工廠生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)產(chǎn)品1要用煤9，電力4，3個(gè)工作日；生產(chǎn)產(chǎn)品1要用煤4，電力5，10個(gè)工作日又知生產(chǎn)出產(chǎn)品1可獲利7萬元，生產(chǎn)出產(chǎn)品1可獲利12萬元，現(xiàn)在工廠只有煤360，電力200，300個(gè)工作日，在這種情況下生產(chǎn)，產(chǎn)品各多少千克能獲得最大經(jīng)濟(jì)效益分析：在題目條件比較復(fù)雜時(shí)，可將題目中的條件列表解：設(shè)這個(gè)工廠應(yīng)分別生產(chǎn)，產(chǎn)品，可獲利萬元根據(jù)上表中的條件，列出線性約束條件為目標(biāo)函數(shù)為(萬元)畫出如圖所示的可行域，做直線，做一組直線與平行，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)最大由得點(diǎn)坐標(biāo)為把

14、點(diǎn)坐標(biāo)代入的方程，得(萬元)答：應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品20，產(chǎn)品24，能獲最大利潤428萬元說明：把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題的難點(diǎn)在于找出題目中的所有線性約束條件同時(shí)本題的可行域形狀較復(fù)雜，要注意分析目標(biāo)函數(shù)的斜率和各邊界斜率的關(guān)系：從而確定在何處取得最優(yōu)解解應(yīng)用題時(shí)還應(yīng)注意設(shè)出未知量和做答這兩個(gè)必要步驟例15 某公司每天至少要運(yùn)送180貨物公司有8輛載重為6的型卡車和4輛載重為10的型卡車，型卡車每天可往返4次，型卡車可往返3次，型卡車每天花費(fèi)320元，型卡車每天花費(fèi)504元，問如何調(diào)配車輛才能使公司每天花費(fèi)最少分析：設(shè)型卡車輛，型卡車輛問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題同時(shí)應(yīng)注意到題中的，只能取整數(shù)解：設(shè)型卡車

15、輛，型卡車輛，則即目標(biāo)函數(shù)做如圖所示的可行域，做直線在可行域中打上網(wǎng)格，找出，等整數(shù)點(diǎn)做與平行，可見當(dāng)過時(shí)最小，即(元)說明：整數(shù)解的線性規(guī)劃問題如果取最小值時(shí)不是整數(shù)點(diǎn)，則考慮此點(diǎn)附近的整數(shù)點(diǎn)例16 某工廠利用兩種燃料生產(chǎn)三種不同的產(chǎn)品、，每消耗一噸燃料與產(chǎn)品、有下列關(guān)系：現(xiàn)知每噸燃料甲與燃料乙的價(jià)格之比為，現(xiàn)需要三種產(chǎn)品、各50噸、63噸、65噸問如何使用兩種燃料，才能使該廠成本最低？分析：由于該廠成本與兩種燃料使用量有關(guān)，而產(chǎn)品、又與這兩種燃料有關(guān)，且這三種產(chǎn)品的產(chǎn)量也有限制，因此這是一道求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最小值問題，這類簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題一般都可以利用二元一次不等式求在可行域上的最優(yōu)解解：設(shè)該廠使用燃料甲噸，燃料乙噸，甲每噸元，則成本為因此只須求的最小值即可又由題意可得、滿足條件作出不等式組所表示的平面區(qū)域（如圖）由得由得作直線，把直線向右上方平移至可行域中的點(diǎn)時(shí)，最小成本為答：應(yīng)用燃料甲噸，燃料乙噸，才能使成本最低說明：本題中燃料的使用不需要是整數(shù)噸，若有些實(shí)際應(yīng)用問題中的解是整數(shù)解，又該如何來考慮呢？例17 咖啡館配制兩種飲料，甲種飲料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克，乙種飲料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克已知每天原料的使用限額為奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克如