大學(xué)高數(shù)公式

1、大學(xué)常用公式(tgx) sec x(ctgx)csc x(secx) secx tgx(cscx)cscx ctgx(ax)axl na(log a x) 1xl na(arcsin x)(arccos x)(arctgx)(arcctgx)111x211x2tgxdx In cosx C ctgxdx In sin x C secxdx In secx tgx Cdx2 cos xdx2-sin xsec2 xdx tgx C2csc xdx ctgx Ccscxdx In cscx ctgx Csecx tgxdx secx Cdx22a xdx-22x a1x carctg C aa丄I

2、n2a x acscx ctgxdx cscx Cxaxdx CIn ashxdx chx Cdx-22a x1, a x In2a a xchxdx shx C_dx_ a2 x2arcs in仝 C a2 2 In( x 、x a ) C2 2 v 7 x a2sin xdx2cos xdxUn2導(dǎo)數(shù)公式：基本積分表:x22 a 'x22 a 'a2x2odxdxdxo22x、a2 x222a In( x22a .一In x2 x2 a22a . x arcs inC2adx2du1 u2一些初等函數(shù):兩個重要極限:雙曲正弦:shx雙曲余弦:chx雙曲正切:thxxxe e

3、2xxe e2shx exlim(1 -)xxe 2.718281828459045chxarshxarchxln(x x2 1)ln(xx2 1)arthx1 1 In 2 1三角函數(shù)的有理式積分:2usin x 2, cosx1 u三角函數(shù)公式:誘導(dǎo)公式：函數(shù) 角A sincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 ° acos asin actg atg a90 ° acos a-sin a-ctg a-tg a180 °- asin a-cos a-tg a-ctg a180 ° a-sin a-cos atg actg

4、 a270 ° a-cos a-sin actg atg a270 ° a-COS asin a-ctg a-tg a360 ° a-sin aCOS a-tg a-Ctg a360 ° asin aCOS atg aCtg asin()sincoscossinCOS()coscossinsintg(）汽tg1 tgtgCtg()CtgCtg1CtgCtg-和差角公式:sinsin2 si n cos22sinsin2cos-sin 22coscos2cos-cos-22coscos2 si n-sin 22-和差化積公式:倍角公式:sin 2 2sin

5、 coscos22cos21 1 2s in22 . 2 cossinctg2tg2ctg212ctg2tg1 tg2sin33sin4sin3cos34cos3costg33tg tg31 3tg2'1cos:1 coscos2 22 2-半角公式:1 cossincossin1 cossinctg?1 cos,1 costg2cos1 cossinsincosa-正弦定理：一sin Absin BsinC2R-余弦定理:a2 b22abcosCarctgxarcctgx反三角函數(shù)性質(zhì)： arcs inx arccosx2高階導(dǎo)數(shù)公式來布尼茲(Leib niz)公式：n(n)(uv)

6、k (n k) (k)CnUVk 0(n)u v nu(n 1)n( n 1) (n 2)VuVn(n 1) (n k 1) (n k) (k)uVuv(n)2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f(b) f(a) f ( )(b a)柯西中值定理：丄迦他丄F(b) F(a) F ()當(dāng)F(x) x時，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理曲率:弧微分公式：ds .1 y2dx,其中y tg平均曲率：K .:從M點到M點，切線斜率的傾角變 化量；s： MM弧長。M點的曲率：K1吋s|ds直線：K 0;半徑為a的圓：K1a定積分的近似計算：b b 矩形法：f(x)-a(yo yianb b

7、梯形法：f(x) ba i(yoyn)anb拋物線法：f (x)b a(yoyn)a3n定積分應(yīng)用相關(guān)公式:y i)yiyn i2( y2y4yn 2) 伽 gyn i)功：W F s 水壓力：F p A引力：f為引力系數(shù)r函數(shù)的平均值：yf(x)dx均方根:,b a a2f (t)dt空間解析幾何和向量代數(shù):空間2點的距離：d M 1M 2 向量在軸上的投影：Pr ju ABPr ju(ai a2) Prjai PJa?(X2 X1)2 占2 yi)2 (Z2 Z1)2AB cos ,是AB與u軸的夾角。a b cosaxbxaybyazbz,是一個數(shù)量，兩向量之間的夾角:cosaxbxay

8、byazbz22ax ayyaz2.bx2bz2cabaxbxaybyazbza b sin例:線速度:w r.向量的混合積:abc (ab) caxbxCxaybyCyazbzCzc cos ,為銳角時,代表平行六面體的體積 。平面的方程:1、點法式：A(x x0) B(yy°) C(z Zo) 0,其中 n A, B,C, M °(x°, y° ,z°)2、一 般方程：Ax By Cz D 03、截距世方程：x y -1abcAx° By。Cz° D空間直線的方程:xx°myy0z z°nP二次曲面：

9、2221、橢球面：務(wù)y.2z21abc222、拋物面：y乙(；p,q同號)P2q3、雙曲面：平面外任意一點到該平 面的距離：d2 2 2單葉雙曲面：與占令1abc2 2 2雙葉雙曲面：務(wù)占務(wù)1(馬鞍面)abcxx0mtt,其中s m, n, p;參數(shù)方程：yy0ntzzopt多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分：dz dxx全微分的近似計算：dy yz dzdu dx dy dz y zfy(x, y) yfx(x,y) x多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：dzdtz fu(t),v(t)z fu(x, y),v(x, y)x當(dāng) u u(x, y), v v(x,y)時，du dx dyx y隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：dv

10、隱函數(shù)F(x,y) 0,dydx隱函數(shù) F(x,y,z) 0,隱函數(shù)方程組：F(x,y,u,v)G(x, y,u,v)1J1J(F,G)(x,v)(F,G)(y,v)微分法在幾何上的應(yīng)用:vdxxFxFy，F(xiàn)xFz1J1Jdyy(F,G)(u,x)(F,G)(u,y)(Fx)+( Fx) dyx FyyFy dxFyFz(F,G)(u,v)Fu FvGuGvx空間曲線yz(t)(t)在點M (x0, y0,z0)處的切線方程:(t)Xoy y° z zolt0)在點M處的法平面方程:(to)(x Xo)(to)(y yo)(to)(z Zo)0若空間曲線方程為:GCy： O,則切向量

11、TFyFzFzGyGz'GzFx FxGX，GXFyGy曲面 F (x, y, z) O上一點 M(Xo,yo,Zo),則: 1、 過此點的法向量：n Fx(Xo,yo,Zo),Fy(Xo,yo,zo),Fz(Xo,y°,zo)2、 過此點的切平面方程：Fx(Xo, y°,Zo)(x Xo) Fy(Xo,y°,Zo)(y y°) Fz(x°, y°, zo)(z z°) O3、過此點的法線方程:x Xoy yoz ZoFx(Xo, yo, Zo) Fy(Xo,yo,Zo) Fz(Xo, y°,z°

12、)方向?qū)?shù)與梯度：函數(shù)z f (x,y)在一點p(x, y)沿任一方向I的方向?qū)?shù)為： cosinl xy其中為x軸到方向I的轉(zhuǎn)角。函數(shù) z f (x,y)在一點 p(x,y)的梯度：gradf(x,y) i jx y它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是：-f grad f (x, y) e,其中e cos i sin j，為I方向上的單位向量。f是gradf (x,y )在l上的投影多元函數(shù)的極值及其求法:設(shè)fx(Xo, yo)fy(Xo,yo)0,令：fxx(Xo,yo)A,fxy(x°,yo)B,fyy(xo, yo)CAC B20寸A o,(Xo,yo)為極大值A(chǔ) o,(xo,yo)為極小值

13、 則：AC B20時，無極值A(chǔ)C B2 0時,不確定重積分及其應(yīng)用:f (x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrdDD曲面z f (x,y)的面積A2dxdy平面薄片的重心：x平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量:x (x, y)dD(x,y)dD對于X軸I xMxM平面薄片(位于xoy平面)(x,y)xdy2 (x,y)d ,Dz軸上質(zhì)點M (0,0,a), (a(x, y)yd3 ?D/222X2(x y a )2FyD/22(x yy (x, y)dD(x,y)dD對于 y軸 I yx2 (x, y)dDF億尺忑，其中:(x,y)xd0)的引力:FzfaD / 2(x3a2f柱面坐

14、標(biāo)和球面坐標(biāo):x r cos柱面坐標(biāo)：y r sin ,f (x, y, z)dxdydzF(r,z)rdrddz,z z其中：F(r, ,z) f (rcos,rsin ,z)x rsin cos球面坐標(biāo)：y r sin sin z r cosdv rd r sind dr2r sindrdf (x, y, z)dxdydzF(r,)r2sin drd重心：xx dv,y dv轉(zhuǎn)動慣量:Ix(y2z2)Iy(x22d d0 0丄Mz2) dr(,)F(r,0)r 2sindr曲線積分:第一類曲線積分(對弧長的曲線積分)Iz其中M(x2y2) dvdv設(shè)f (x, y)在L上連續(xù),L的參數(shù)方程

15、為:(t)(t),則:f (x, y)ds f (t),L(t)2(t)2(t)dt特殊情況:y (t)第二類曲線積分(對坐設(shè)L的參數(shù)方程為xy標(biāo)的曲線積分)：7則：P(x,y)dx Q(x, y)dyL兩類曲線積分之間的關(guān)P (t).(t)(t) Q (t), (t)(t)dtQdy系：PdxLL上積分起止點處切向量 的方向角。Q P格林公式：()dxdy - Pdxd x y l當(dāng)P y,Q x，即：-丄2時， x y平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件:1、G是一個單連通區(qū)域；(Pcos QcosLQdy格林公式：(衛(wèi)D X得到D的面積：A)ds其中)dxdy ydxdyD1o2l和分別為:P

16、dx QdyLxdy ydx2、P(x,y), Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且-Q = -P。注意奇點，如(0,0)，應(yīng)y減去對此奇點的積分，注意方向相反! 二元函數(shù)的全微分求積：在衛(wèi)Pxu(x, y)時，Pdx y(x,y)P(x,y)dx(x%Qdy才是二元函數(shù)u(x,y)的全微分，其中:Q(x, y)dy,通常設(shè) x0 y00。曲面積分：對面積的曲面積分：f(x,y,z)ds f x, y,z(x, y).1 z；(x,y) z：(x,y)dxdyDxy對坐標(biāo)的曲面積分：P(x, y,z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：R(x,y,z)

17、dxdyRx, y, z(x,y)dxdy,取曲面的上側(cè)時取正 號；DxyP(x,y,z)dydzPx(y, z), y,zdydz取曲面的前側(cè)時取正 號；DyzQ(x,y,z)dzdxQx, y(z,x),zdzdx取曲面的右側(cè)時取正 號。Dzx兩類曲面積分之間的關(guān) 系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds高斯公式:(:Q-R)dv zPdydz Qdzdx Rdxdy(Pcos QcosRcos )ds咼斯公式的物理意義 一通量與散度：散度：div-:Q,即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若div0,則為消失x yz通量： A ndsAnds(Pcos

18、QcosRcos)ds,因此，高斯公式又可寫 成： divAdv - Ands斯托克斯公式一一曲線積分與曲面積分的關(guān)系:R人/ F()dydz (y zz-R)dzdx:xQ(上xdxdy)dxdy© :dxcosQdycosRdzycosdydzdzdx上式左端又可寫成：xyzxyz:QR:QR空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件：-RQ:RQ :yzzxx yi旋度：rotA 一 xP向量場A沿有向閉曲線的環(huán)流量：Pdx Qdy Rdz A tds常數(shù)項級數(shù):等比數(shù)列：q q2(n 1)n2等差數(shù)列：2 3調(diào)和級數(shù)：-23級數(shù)審斂法:1正項級數(shù)的審斂法根植審斂法（柯西判別法）：1時，級數(shù)

19、收斂設(shè)：lim n Un，則1時，級數(shù)發(fā)散1時，不確定2、比值審斂法：1時，級數(shù)收斂設(shè)： ”m ，則 1時，級數(shù)發(fā)散Un1時，不確定3、定義法：sn u u2un;limsn存在，貝叫攵斂；否則發(fā) 散。n交錯級數(shù)u1 u2 u3 u4（或u1 U2 U3,Un 0）的審斂法萊布尼茲定理:如果交錯級數(shù)滿足Un Un 1limUn0'n那么級數(shù)收斂且其和sU1,其余項rn的絕對值rnUn 1。絕對收斂與條件收斂:（1）u1 U2 Un ，其中Un為任意實數(shù)；（2）U1U2U3Un如果（2）收斂，則（1）肯定收斂，且稱為絕對 收斂級數(shù);如果（2）發(fā)散，而（1）收斂，則稱（1）為條件收斂級數(shù)。

20、調(diào)和級數(shù)：1發(fā)散，而 （1）收斂;nn級數(shù)：!收斂；n1 /p 1時發(fā)散ip p 1時收斂幕級數(shù):1 x x2 x3對于級數(shù)(3)a0/lx 1時，收斂于丄xni x|x 1時，發(fā)散6x a2x2anxn，如果它不是僅在原點收斂，也不是在全數(shù)軸上都收斂，則必存在R，使:R時收斂R時發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。R時不定求收斂半徑的方法：設(shè)limn其中an，函數(shù)展開成幕級數(shù):函數(shù)展開成泰勒級數(shù):(n 1)余項：Rn(n 1)!Xoanan 1是(3)的系數(shù)，則0時,R -0時，R時，R 0f (x) f(Xo)(X Xo)f ix x°)22!f"(x0)(x x0)nn!()(

21、x x0)n 1, f (x)可以展開成泰勒級數(shù)的充要條件是：lim Rn 00時即為麥克勞林公式:f(x) f(0) f(0)x xAnn!些函數(shù)展開成幕級數(shù):(1 x)m1 mx m(mJ)x22!m(m 1) (m n 1) xnxn!1 x 1)sinx x3 x3!5 x5!2n 1歐拉公式:ixe cosxi sinx三角級數(shù):1)n1x(2n 1)!cosx或si nxixe2ixixe e2ix ef(t) AoAn sin(n tn)(an cos nx bnS in nx)n 12 n 1其中， aoaAo，anAnsinn，bnAn cosn，t X。正交性：1,sinx

22、,cosx,sin2x,cos2x sinnx,cosnx 任意兩個不同項的乘積 在, 上的積分=0。f(x)ao傅立葉級數(shù)：(an cos nx bn s inn x), 周期1anf (x)cos nxdx(n 0,1,2其中bnf (x)sinnxdx(n 1,2,31 2351 1421_2242(相加)62-(相減)12正弦級數(shù):an0, bnf (x)sin nxdx1,2,3f (x)bnsin nx是奇函數(shù)余弦級數(shù):bn0，anf(x)cosnxdx0,1,2f(x)a02an cos nx是偶函數(shù)周期為2l的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù):a0n xn x 用廿口f(X)Q ni(an

23、C0ST 恥山丁)'周期 21其中fgcosdx1bnl1n x ,f (x)s in dx 1(n 0,1,2 )(n 1,2,3 )微分方程的相關(guān)概念:一階微分方程：y f(x, y) 或 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化 為g(y)dyf (x)dx的形式，解法:g(y)dy f(x)dx 得：G(y) F(x) C稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方程可以寫成史 f (x, y)dxydydudu,、 dx設(shè)u Z,貝Uu x , u(u),xdxdxdxx即得齊次方程通解。(x,y)，即寫成1的函數(shù)，解法：x一分離變量，積分后將

24、代替u,(u) ux一階線性微分方程:1、一階線性微分方程：史 P(x)y Q(x)dx當(dāng)Q(x) 0時,為齊次方程，y當(dāng)Q(x) 0時，為非齊次方程，P(x)dxCeP(x)dxy ( Q(x)e dxP(x) dxC)e2、貝努力方程： 魚 P(x)y Q(x)yn，(n 0,1)dx全微分方程：如果P(x, y)dx Q(x, y)dy 0中左端是某函數(shù)的全微 分方程，即：du(x, y) P(x,y)dx Q(x, y)dy 0,其中： P(x, y)，u Q(x, y)xyu(x, y) C應(yīng)該是該全微分方程的 通解。二階微分方程:dx2P(x)SQ(x)yf (x),f(x)f(x

25、)0時為齊次0時為非齊次二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法:(*) y py qy 0,其中p,q為常數(shù)；求解步驟：1寫出特征方程：()r2 pr q 0,其中r2, r的系數(shù)及常數(shù)項恰好是(*)式中y ,y,y的系數(shù);2、求出()式的兩個根SR3、根據(jù)r,r2的不同情況，按下表寫 出(*)式的通解：r-i， r2的形式(*)式的通解2兩個不相等實根(p2 4q 0)nxexy ce c?e兩個相等實根(p2 4q 0)y (g c2x)e"x2一對共軛復(fù)根(p 4q 0)y ex(GCOS x c2 sin x)r-i，DipJ4q p22， 2二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y py

26、 qy f(x)，p,q為常數(shù)f(x) exPm(x)型，為常數(shù)；f(x) exR(x)cos x Fn(x)sin x型三角函數(shù)三角函數(shù)目錄同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式：三角函數(shù)的角度換算正余弦定理部分高等內(nèi)容特殊三角函數(shù)值三角函數(shù)的計算三角函數(shù)定義域和值域初等三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)中的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們的本質(zhì)是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的，其定義域為整個實數(shù)域。另一種定義是在直角三角形中，但并不完全?，F(xiàn)代 數(shù)學(xué)把它們描述成無窮數(shù)列的極限和微分方程的解，將其定義擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系。由于三角函數(shù)的周期性，它并不具有單值函

27、數(shù)意義上的反函數(shù)。三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有較為重要的應(yīng)用。在物理學(xué)中，三角函數(shù)也是常用的工具?；境醯葍?nèi)容它有六種基本函數(shù)（初等基本表示）：函數(shù)名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割在平面直角坐標(biāo)系xOy中，從點0引出一條射線OP ,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為0,設(shè)OP=r ,P點的坐標(biāo)為（x, y ）有正弦函數(shù)sin0=y/r余弦函數(shù)cos0=x/r正切函數(shù)tan0=y/x余切函數(shù)cot0=x/y正割函數(shù)sec0=r/x余割函數(shù)CSC0=r/y（斜邊為r，對邊為y，鄰邊為x。）以及兩個不常用，已趨于被淘汰的函數(shù)：正矢函數(shù) versin 0=1-cos 0余矢函數(shù) covers 0 =1-si n 0編輯本段同角三

28、角函數(shù)間的基本關(guān)系式：平方關(guān)系：sin A2( a)+cosA2( a)=1 cosA2a=(1+cos2a)/2 tan A2( a+1=secA2( a) sin A2a=(1-cos2a)/2 cotA2( M+1=cscA2(a積的關(guān)系：sin a=tan a*cos aCOS a=cot a*sin atan a=sin a*sec acot a=cos a*csc asec a=tan a*csc acsc a=sec a*cot a倒數(shù)關(guān)系：tan a cot a=1sin a CSC a=1COS a sec a=1直角三角形 ABC 中 ,角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊，

29、余弦等于角 A 的鄰邊比斜邊 正切等于對邊比鄰邊 ，三角函數(shù)恒等變形公式兩角和與差的三角函數(shù)：cos( a+ 3)=cos a cos 伊sin a sin 3cos( a- 3)=cos a cos 供sin a sin 3sin( a±3)=sin a cos 3±cos a sin 3tan( a+ 3)=(tan a+tan 3)/(1-tana tan 3)tan( a- 3)=(tan a-tan 3)/(1+tan a tan 3)a cos 3 sin Ysin a sin 3 sin 丫三角和的三角函數(shù)：sin( a+ 3+ Y=sin a cos 3 c

30、os y+cos a sin 3 cos Y+coscos(a+3+Y=cosacos3osycosa si n3s i nYSin acos3 si n丫-sin as i n3cos丫tan(a+3+Y=(ta na+ta n3+ta n-ta nata n 3ta ny)/(1-ta nata n3-ta n3 ta nYta n丫卜an a)輔助角公式：a+t) ，其中a-t) ， tant=A/BAs in a+Bcos a=(AA2+BA2)A(1/2)si n(sin t=B/(AA2+BA2)A(1/2)cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)tant=B/AAsin a+

31、Bcos a=(AA2+BA2)A(1/2)cos(倍角公式：sin(2 a)=2sin a cos a=2/(tana+cot a)cos(2 a)=cosA2(a)-sinA2(a)=2cosA2(a)-1=1-2sinA2(a)tan(2 a)=2tan a/1-tanA2(a)三倍角公式：sin(3 a)=3sin a-4sinA3(a)cos(3 a)=4cosA3(a)-3cos a半角公式：sin( a/2)= 土訛1-cos M/2)cos( a/2)= ±a(1+COSa)/2)tan( a/2)= ±1-COS a)/(1+cosa)=si n a(1+

32、COSa)=(1-cosa)/sin a降冪公式sinA2(a)=(1-cos(2a)/2=versin(2a)/2cosA2(a)=(1+cos(2a)/2=covers(2a)/2tanA2(a)=(1-cos(2a)/(1+cos(2a)萬能公式：sin a=2tan(2)/1+tan2(a/2)cos a=1-tan2(a/2)/1+tan2(a/2)tan a=2tan( a/2)/1-tan2(a/2)積化和差公式：sin a cos p=(1/2)sin(a+ 內(nèi)+sin( a- 3)cos a sin 3=(1/2)sin(a+ 3)-sin( a- 3)cos a cos 3

33、=(1/2)cos(a+3)+cos( a-3)sin a sin 3=-(1/2)cos(a+ 3)-cos( a- 3)和差化積公式：sina+sin3=2sin(a+ 3)/2cos(a- 3)/2sina-sin3=2cos(a+3)/2sin(a- 3)/2cosa+cos3=2cos(a+ 3)/2cos(a- 3)/2cosa-cos3=-2sin(a+3)/2sin(a- 3)/2推導(dǎo)公式tana+cota=2/sin2atana-cota=-2cot2a1+cos2 a=2cosA2a1-cos2 a=2si nA2a1+sin a=(s in 2+cosd2)K2其他：n*

34、( n-1)/n=0a+2 n*(n-1)/nsin a+sin( a+2 n/n)+sin(a+2 n*2/n)+sin(a+2 n*3/n)+ +sin acos a+cos( a+2 冗/n)+cos(a+2 n*2/n)+cos(a+2 n*3/n)+ +cos=0 以及sinA2( %)+sin2(a-2 n/3)+sinA2(a+2 n/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0cosx+cos2x+.+cosnx= sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx證明：左邊 =2sinx(cosx+cos2x+.+cosnx)/2s

35、inx=sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+.+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x/2sinx(積化和差)=sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx=右邊等式得證sinx+sin2x+.+sinnx= - cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx證明 :左邊 =-2sinxsinx+sin2x+.+sinnx/(-2sinx)=cos2x-cos0+cos3x-cosx+.+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x/(-2sinx)=- cos(n+1)x+cosnx-cos

36、x-1/2sinx=右邊等式得證編輯本段三角函數(shù)的角度換算公式一：設(shè)a為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等:sin(2kn +a )=sin acos(2kn +a)=COs atan(2kn +a)=tan acot(2kn +a )=COt a公式設(shè)a為任意角，n+ a的三角函數(shù)值與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:sin ( n+ a) = sin aCOS ( n + a ) = COS atan ( n + a) = tan aCOt ( n+ a ) = COt a公式三：任意角a與-a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系sin(a )=-sin acos(a )=COs atan(a )=ta

37、n aCOt(a)=COt a公式四：利用公式二和公式三可以得到n- a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:sin (n a) = Sin acos(n a) = COS atan(n a) = tan acot(n a) = COt a公式五：利用公式一和公式三可以得到2 n- a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:Sin (2 n a ) = Sin aCOS(2 n a) = COS atan(2 n a) = tan aCOt(2 n a) = COt a公式六：n/2±aM 3 n/2 ±a-M a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：Sin (tt/2 + a) = COS aCOS(n/2

38、 + a ) = Sin atan(n/2 + a ) = COt aCOt(n/2 + a ) = tan aSin (tt/2 a) = COS aCOS(n/2 a ) = Sin atan(n/2 a ) = COt aCOt(n/2 a ) = tan aSin (3 n/2 + a) = COS aCOS(3 n/2 + a) = Sin atan(3n/2 +a)=cotcot(3Tt/2 +a)=tansin(3tt/2 -a)=:coscos(3n/2 a)=sintan(3n/2 a )=cot acot(3tt/2 a )=tan a(以上k Z)編輯本段正余弦定理正弦定

39、理是指在一個三角形中，各邊和它所對的角的正弦的比相等，即a/si nA=b/si nB=c/si nC=2R余弦定理是指三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍，即aA2=bA2+cA2-2bc cosA編輯本段部分高等內(nèi)容高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示(由泰勒級數(shù)易得)：si nx=eA(ix)-eA(-ix)/(2i)cosx=eA(ix)+eA(-ix)/2ta nx=eA(ix)-eA(-ix)/ieA(ix)+ieA(-ix)泰勒展開有無窮級數(shù)，eAz=exp (z)= 1 + z/1 ! + z'212! +乙人3/3! +乙人4/4!+

40、 + zAn/n !+ 此時三角函數(shù)定義域已推廣至整個復(fù)數(shù)集。三角函數(shù)作為微分方程的解：對于微分方程組y=-y”;y=y”，有通解Q,可證明Q=As in x+Bcosx，因此也可以從此出發(fā)定義三角函數(shù)。補(bǔ)充：由相應(yīng)的指數(shù)表示我們可以定義一種類似的函數(shù)一一雙曲函數(shù)，其擁有很多與三角函數(shù)的類似的性質(zhì)，二者相映成趣。編輯本段特殊三角函數(shù)值a O' 30' 45' 60' 90'sina 0 1/2辺/2 V3/2 1cosa 1v3/2 v2/2 1/2 0tana 0v3/3 1v3 Nonecota Nonev3 1 v3/3 0編輯本段三角函數(shù)的計算幕級數(shù)c0+c1x+c2x2+.+c nxn +.=刀 cnxn (