《1.2.1任意角的三角函數(shù)》教學案

1、1.2.1任意角的三角函數(shù)教學案 (教師用書獨具)三維目標1知識與技能(1)初步理解任意角的三角函數(shù)的概念；(2)初步學會判斷三角函數(shù)在各象限中的符號；(3)初步學會使用三角函數(shù)線表示三角函數(shù)值；(4)能夠推導同角三角函數(shù)的基本關系式；(5)能夠學會使用公式一和同角三角函數(shù)的基本關系解題2過程與方法(1)借助于單位圓，得出任意角的三角函數(shù)的概念；通過相似三角形法，理解在不同情景下的三角函數(shù)的定義的統(tǒng)一性；(2)通過探究三角函數(shù)值在各象限的符號，發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)值的分布規(guī)律；(3)觀察角的終邊在各象限時，三角函數(shù)線的畫法及所表示的含義，加深對三角函數(shù)定義的理解；(4)學會使用定義法、公式法、數(shù)形結合

2、法解題3情感、態(tài)度與價值觀通過本節(jié)課的學習，樹立數(shù)形結合的思想，養(yǎng)成邏輯推理的習慣，發(fā)現(xiàn)數(shù)學中所蘊含的哲學思想. 重點難點重點：三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)線難點：用三角函數(shù)線表示一個角的正弦、余弦和正切(教師用書獨具)教學建議 1三角函數(shù)的定義關于三角函數(shù)定義的教學，建議教師在教學過程中，注意引導學生由銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)，這樣講很自然地把新舊知識連成線，又讓學生體會到了由特殊到一般的思維方法2三角函數(shù)定義域、函數(shù)值符號的判定(1)關于三角函數(shù)定義域的教學，建議教師緊緊抓住任意角三角函數(shù)的定義，讓學生自己觀察、思考、總結，得出結論(2)關于函數(shù)值符號的判定的教學，建議教師讓學生獨立

3、完成，最后以教師點評的方式進行，同時引導學生推導終邊落在坐標軸上時正、余弦函數(shù)的取值情形3三角函數(shù)線關于三角函數(shù)線的教學，建議教師在教學過程中，利用多媒體予以呈現(xiàn)，讓學生直觀的感受三角函數(shù)線與三角函數(shù)線的關系，及在單位圓中的位置結合圖形，講清三角函數(shù)線的位置、方向和大小教學流程通過例2及其變式訓練，使學生掌握利用三角函數(shù)在各象限的符號規(guī)律判斷三角函數(shù)值符號的方法.通過例3及其變式訓練，使學生掌握三角函數(shù)線的畫法及利用三角函數(shù)線求角范圍的方法.課前自主導學課標解讀1.理解三角函數(shù)的定義，會使用定義求三角函數(shù)值2會判斷給定角的三角函數(shù)值的符號(重點、難點)3會利用三角函數(shù)線比較兩個同名三角函數(shù)值的

4、大小及表示角的范圍(難點)任意角的三角函數(shù)的定義【問題導思】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，完成下面的填空：圖形定義sin A_，cos A_，tan A_【提示】，.在平面直角坐標系中，設的終邊上任意一點P的坐標是(x，y)并記|OP|r(此時r>0)，那么名稱定義定義域正弦sin R余弦cos R正切tan |k，kZsin ，cos ，tan 分別稱為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù)三角函數(shù)在各象限符號【問題導思】如果角的終邊在x軸上方，那么能否判斷sin 的符號？【提示】sin ，y0，r0，sin 0.三角函數(shù)線【問題導思】1結合圖形思考：在單位圓中，三角函數(shù)能否用圖中的有

5、向線段來表示？【提示】能2若選取角終邊與單位圓的交點為P(x，y)，如何求sin ，cos ？【提示】r1，sin y，cos x.(1)有向線段：規(guī)定了方向的線段(2)三角函數(shù)線課堂互動探究三角函數(shù)的定義及應用例1(2013·青島高一檢測)已知角的終邊上有一點P(，m)，且sin m，求cos 與tan 的值【思路探究】先利用三角函數(shù)定義sin ，求出m的值，再用公式cos ，tan 代入數(shù)據(jù)求解【自主解答】由已知r，m，解得m0，或m±，(1)當m0時，cos 1，tan 0；(2)當m時，cos ，tan ；(3)當m時，cos ，tan .規(guī)律方法1利用三角函數(shù)的定

6、義求一個角的三角函數(shù)值需明確三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x，縱坐標y，該點到原點的距離r.2當角的終邊上點的坐標以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際情況對參數(shù)進行分類討論互動探究將本例中條件改為“已知角的終邊上有一點P(m，)(m0)，且cos m”，如何求tan 的值？【解】由已知得m，m0，m±，當m時，tan ；當m時，tan .三角函數(shù)值的符號例2判斷下列各式的符號：(1)是第四象限角，sin ·tan ；(2)sin 3·cos 4·tan()【思路探究】先確定各角所在象限，再判定各個三角函數(shù)值符號，然后判定三角函數(shù)式的符號【自

7、主解答】(1)是第四象限角，sin <0，tan <0，sin ·tan >0.(2) <3<，<4<，sin 3>0，cos 4<0.又6，tan()>0，sin 3·cos 4·tan()<0.規(guī)律方法三角函數(shù)值的符號取決于角的終邊所在位置三角函數(shù)值在各象限的符號可以用“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(即第一象限角三角函數(shù)全是正值，第二象限角正弦函數(shù)是正值，第三象限角正切函數(shù)是正值，第四象限角余弦函數(shù)是正值)來判斷變式訓練若sin ·cos 0，且cos ·tan 0，則角

8、的終邊落在第_象限【解析】由sin ·cos 0可知為第一或第三象限角，由cos ·tan 0可知為第三或第四象限角，則知為第三象限角【答案】三三角函數(shù)線的應用例3在單位圓中畫出適合下列條件的角的終邊范圍，并由此寫出角的集合(1)sin ；(2)cos .【思路探究】根據(jù)三角函數(shù)線在單位圓中首先作出滿足sin ，cos 的角的終邊，然后由已知條件確定角的終邊范圍【自主解答】(1)作直線y交單位圓于A，B兩點，連接OA，OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(如圖陰影部分)即為角的終邊的范圍故滿足條件的角的集合為|2k2k，kZ，(2)作直線x交單位圓于C，D兩點，連接OC與OD，則O

9、C與OD圍成的區(qū)域(如圖陰影部分)即為角的終邊的范圍故滿足條件的角的集合為|2k2k，kZ規(guī)律方法1三角函數(shù)線是利用數(shù)形結合思想解決有關問題的工具，要注意利用其來解決問題2三角函數(shù)線的主要作用是解三角不等式、比較大小及求函數(shù)的定義域，在求三角函數(shù)定義域時，一般轉化為不等式(組)，因此必須牢固掌握三角函數(shù)線的畫法及意義變式訓練作出角，的正弦線、余弦線、正切線，并比較相應三角函數(shù)值的大小【解】如圖(1)所示，圖中有向線段MP，OM，AT分別表示 角的正弦線、余弦線、正切線如圖(2)所示，圖中有向線段MP，OM，AT分別表示角的正弦線、余弦線、正切線由圖可知MP0MP，所以sin sin()，OM0

10、OM，所以cos cos()，0ATAT，所以tan tan().易錯易誤辨析忽視角所在象限的討論致誤典例已知角的頂點在原點上，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上一點的坐標為(3a，4a)(a0)，求角的正弦值和正切值【錯解】由題意得x3a，y4a，所以r5a，所以sin ，tan .【錯因分析】本題中點的坐標含參數(shù)，當a0時，該點在第一象限，即角的終邊在第一象限；當a0時，該點在第三象限，即角的終邊在第三象限故應對a的取值范圍進行分類討論【防范措施】根據(jù)角的終邊上一點的坐標求三角函數(shù)值時，若坐標中含有字母，則應分類討論【正解】由題意得x3a，y4a，所以r5|a|.若a0，則r5a，所以sin

11、 ，tan ；若a0，則r5a，所以sin ，tan .1三角函數(shù)值是比值，是一個實數(shù)，這個實數(shù)的大小和點P(x，y)在終邊上的位置無關，只由角的終邊位置確定即三角函數(shù)值的大小只與角有關2三角函數(shù)線的主要作用是解三角不等式及比較同角異名三角函數(shù)值的大小，同時它也是以后學習三角函數(shù)的基礎.當堂雙基達標1已知的終邊過點P(4，3)，則下面各式中正確的是_(只填序號)sin ；cos ；tan ；tan .【解析】易知x4，y3，r5，所以sin ，cos ，tan .【答案】2sin 105°cos 230°的符號為_【解析】105°為第二象限角，230°為

12、第三象限角，sin 105°0，cos 230°0.sin 105°·cos 230°0.【答案】負3有下列命題：若sin 0，則是第一或第二象限角；若是第一或第二象限角，則sin 0；三角函數(shù)線不能取負值；若是第二象限角，且P(x，y)是其終邊上一點，則cos .其中正確命題的序號是_【解析】sin 10，但不是第一或第二象限角，不正確；三角函數(shù)線是三角函數(shù)值的幾何表示，其數(shù)量可正可負，也可為0，不正確；應是cos (是第二象限角，已有x0)，不正確【答案】4作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：(1)；(2)；(3).【解】作角的正弦線、余

13、弦線、正切線的關鍵是畫出單位圓和角的終邊如圖所示，有向線段MP，OM，AT分別是題中三個角的正弦線、余弦線、正切線一、填空題1已知角的終邊經(jīng)過點P(x，6)，若sin ，則x的值為_【解析】由三角函數(shù)的定義得sin ，x2，x±.【答案】±2(2013·巢湖高一檢測)下列三角函數(shù)值的符號判斷錯誤的是_sin 165°0；cos 280°0；tan 170°0；tan 310°0.【解析】165°為第二象限角，280°為第四象限角，170°為第二象限角，310°為第四象限角，第二象限角的

14、正切值的符號為負，故不正確【答案】3(2013·廣州高一檢測)已知sin ，cos ，則角終邊在第_象限【解析】由sin 0得，角的終邊在第一或第二象限；由cos 0得，角的終邊在第二或第三象限，故角的終邊在第二象限【答案】二4角的終邊上有一點M(a，a)，aR且a0，則sin 的值為_【解析】當a>0時，ra，sin .當a<0時，ra，sin .sin 或.【答案】或5如果cos x|cos x|，那么角x的取值范圍是_【解析】cos x|cos x|，cos x0，角x的終邊落在y軸或其右側，從而角x的取值范圍是2k，2k，kZ.【答案】2k，2k，kZ6已知終邊過

15、點(3a9，a2)，且sin >0，cos 0，則a的取值范圍為_【解析】sin >0，cos 0，終邊在第二象限或y軸正半軸上，3a90，a2>0，2<a3.【答案】(2，37已知角的終邊與射線y3x(x0)重合，則sin ·cos tan 的值為_【解析】在角終邊上取一點P(1，3)，此時x1，y3.r.由三角函數(shù)定義得sin ，cos ，tan 3.sin ·cos tan ×(3)3.【答案】8使sin xcos x成立的x的一個變化區(qū)間是_，；，；，；0，【解析】如圖，畫出三角函數(shù)線sin xMP，cos xOM，由于sin()c

16、os()，sin cos ，為使sin xcos x成立，由圖可得x.【答案】二、解答題9(2013·杭州高一檢測)已知角的終邊過點(a，2a)(a0)，求的三個三角函數(shù)值【解】因為角的終邊過點(a，2a)(a0)，所以r|a|，xa，y2a.當a0時，sin ，cos ，tan 2；當a0時，sin ，cos ，tan 2.10已知角的頂點在原點上，始邊與x軸的非負半軸重合，且sin 0，tan 0.(1)求角的集合；(2)判斷為第幾象限角；(3)判斷tan ，sin ·cos 的符號【解】(1)因為sin 0，tan 0，所以角是第三象限角，故角的集合為|2k2k，kZ

17、(2)由(1)知kk (kZ)當k2m(mZ)時，2m2m(mZ)，所以是第二象限角；當k2m1(mZ)時，2m2m(mZ)，所以是第四象限角所以是第二或第四象限角(3)由(2)知是第二或第四象限角，從而tan 0，sin ·cos 0.11利用單位圓寫出符合下列條件的角x的范圍 (1)sin x<；(2)|cos x|.【解】(1)作出單位圓如圖所示在02內，sin ，sin，滿足sin x<的角x在(，)內故在任意角范圍內滿足sin x<的角x的范圍是2k<x<2k(kZ)(2)作出單位圓如圖所示在0內，|cos |，|cos |.在2內，|cos |，|cos |.根據(jù)余弦線的變化情況可知滿足|cos x|的角x的取值范圍是kxk(kZ).(教師用書獨具)備選例題求函數(shù)f()的定義域【思路探究】要使函數(shù)f()有意義，則sin .利用三角函數(shù)線可得x的范圍，即為函數(shù)f()的定義域【自主解答】要使函數(shù)f()有意義，必須使2sin 10，則sin .如圖，畫出單位圓，作出x軸的平行直線y，交單位圓于兩點P1，P2，連接OP1，OP2，分別過點P1，P2作