帶通抽樣定理

1、信號(hào)與系統(tǒng)（）課程自學(xué)報(bào)告2A實(shí)施報(bào)告帶通采樣定理與軟件無線電：目題帶通抽樣定理 這種信號(hào)的帶寬往往遠(yuǎn)小于信實(shí)際中遇到的許多信號(hào)是帶通型信號(hào)， ，這號(hào)中心頻率。若帶通信號(hào)的上截止頻率為，下截止頻率為ff LH ，可按照帶通抽樣定理時(shí)并不需要抽樣頻率高于兩倍上截止頻率f H確定抽樣頻率。內(nèi)的時(shí)間連續(xù)信號(hào)帶通抽樣定理：一個(gè)頻帶限制在 定理 )f(f,HL 的，這里為不大于，信號(hào)帶寬，令N / B ffBM f B/fN最大正整數(shù)。如果抽樣頻率滿足條件f)tx(HHHLsff 221N 0 m LH f 3.1-9）（， sm 1m 則可以由抽樣序列無失真的重建原始信號(hào)。 )x(t 的頻抽樣后，得到

2、的采樣信號(hào)的頻譜是對信號(hào)以頻率)x(nT)ttx (x(fss 所示。為了能夠由抽，如圖 3-3 譜經(jīng)過周期延拓而成，延拓周期為 f s，必須選擇合適的延拓周期（也就樣序列無失真的重建原始信號(hào) )tx(的頻帶分量不會(huì)和延，使得位于和是選擇采樣頻率） ), f( f )f,(fHL LH 就可以由采樣序列重建原始信 帶通濾波器 拓分量出現(xiàn)混疊，這樣使用 號(hào)。的頻帶分量不會(huì)出現(xiàn)我們僅考慮由于正負(fù)頻率分量的對稱性， )f ,f(HL 混疊的條件。有著兩個(gè)延拓頻譜分量：頻帶的兩邊，在抽樣信號(hào)的頻譜中，在 )f(f,HL 延。和為了避免混疊， )f f, f (m1( fmf , fmf ) ( f (

3、m 1)sLHsssHL 拓后的頻帶分量應(yīng)滿足）（ 3.1-10fmf f LLs ）（3.1-11f 1)f f (mHsH ）并整理得到）和式（ 3.1-11綜合式（3.1-10 ff22LH f 3.1-12（）sm1m 這里是大于等于零的一個(gè)正數(shù)。如果取零，則上述條件化為 mmf 2f（3.1-13） Hs 這時(shí)實(shí)際上是把帶通信號(hào)看作低通信號(hào)進(jìn)行采樣。取得越大，則符合式（ 3.1-12）的采樣頻率會(huì)越低。但是有mm2f ，而X (f)- 0sfBB 54-B0B3 f BfNB 2f2為了避免混疊，延拓周期要大于兩倍的一個(gè)上限，因?yàn)長f sm 信號(hào)帶寬，即。 B f 2s 因此2f2f

4、f LLL m（3.1-14） f 2Bs由于為不大的最大正整數(shù)，因此不大于的最大正整數(shù)B/f B/fN HL 為，故有 1 m N 1N0綜上所述，要無失真的恢復(fù)原始信號(hào)，采樣頻率應(yīng)滿sLHf1 m N0sX(f )足 f)tx( 2f2f， （3.1-15）m 1mf0ff f f HL HL )fX (sf mf f (m 1)fff (m 1)mff sLsHsHsL ff ss f f ff HHL L 圖 3-3帶通采樣信號(hào)的頻譜帶通抽樣定理在頻分多f0路信號(hào)的編碼、數(shù)字接收機(jī)的中頻采樣數(shù)字化中有重要的應(yīng)用。作為一個(gè)特例，我們考慮（）的情況，即上截止頻率為帶NB f1N H 寬的整

5、數(shù)倍。若按低通抽樣定理，則要求抽樣頻率，抽樣后NB 2fs 信號(hào)各段頻譜間不重疊， 采用低通濾波器或帶通濾波器均能無失真的恢復(fù)原始信號(hào)。根據(jù)帶通抽樣，若將抽樣頻率取為（值取為 mB f 2s，抽樣后信號(hào)各段頻譜之間仍不會(huì)發(fā)生混疊。采用帶通濾波器） 1N 仍可無失真地恢復(fù)原始信號(hào)，但此時(shí)抽樣頻率遠(yuǎn)低于低通抽樣定理的要求。圖 3-4 所示為，時(shí)抽樣信號(hào)的頻譜。HssX (f f) sfBB0 -5B- 4)(fXs f B-B0 時(shí)的抽樣頻譜，圖 3 -4 B f 3B2f sH在帶通抽樣定理中，由于，帶通抽樣信號(hào)的抽樣頻率在到1 0M 4B2B之間變化，如圖3-5 所示。fsM /N1B51/2

6、B31/31/41/5B2Bf0HBBBBBB64235帶通抽樣定理圖 3-5由以上討論可知，低通信號(hào)的抽樣和恢復(fù)比起帶通信號(hào)來要簡單。通常，當(dāng)帶通信號(hào)的帶寬大于信號(hào)的最低頻率時(shí)，Bf L在抽樣時(shí)把信號(hào)當(dāng)作低通信號(hào)處理，使用低通抽樣定理 ，而在不滿足上述條件時(shí)則使用帶通抽樣定理。模擬電話信號(hào)經(jīng)，在抽樣時(shí)按低通抽樣 3400Hz 300Hz 限帶后的頻率范圍為定理，抽樣頻率至少為 6800Hz。由于在實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí)濾波器均有一定寬度的過渡帶，抽樣前的限帶濾波器不能對 3400Hz 以上頻率分量完全予以抑制，在恢復(fù)信號(hào)時(shí)也不可能使用理想的低通濾波器， 所以對語音信號(hào)的抽樣頻率取為 8kHz。這樣，在抽

7、樣信號(hào)的頻譜之間便可形成一定間隔的保護(hù)帶，既防止頻譜的混疊，又放松了對低通濾波器的要求。這種以適當(dāng)高于奈奎斯特頻率進(jìn)行抽樣的方法在實(shí)際應(yīng)用中是很常見的。軟件無線電所覆蓋的頻率范圍一般都比較寬,()可表示為Xs :這樣寬的頻段號(hào)的頻譜只有寬頻段才能具有廣泛的適應(yīng)性, + 1( X) =s X )Tn(- = - s ns 用低通采樣是不現(xiàn)實(shí)的 而實(shí)際上軟件無 ,Nyquist 1 線電中的各種無線電信號(hào)的瞬時(shí)信號(hào)帶寬都比較窄這樣采用帶通采樣將使采樣速率大大降低。本 ,文重點(diǎn)是通過對帶通采樣定理進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和論證利用一系列不等式組提出了帶通采樣理論,。上能達(dá)到的最小采樣速率用 matlab

8、對定理進(jìn)行仿真fs=100000;%抽樣頻率N=216;t=(0:N-1)/fs;%t 時(shí)間W=(0:N-1)*fs/N;%W 頻率y=cos(1200*2*pi*t)+cos(1250*2*pi*t)+cos(1300*2*pi*t);% y 原始信號(hào)chyang=zeros(1,N);%抽樣信號(hào)T=round(fs/250);%頻率為 250HZfor i=1:Nif(mod(i,T)=0)chyang(i)=1;endendy2=y.*chyang;%y2 為抽樣后的信號(hào)hw=fft(y,N);%快速傅里葉變換HW=abs(hw);%取幅度值W=(0:N-1)*fs/N;%頻率值figu

9、re(1);subplot(2,1,1);plot(t(1:8000),y(1:8000);grid on;title(' 濾波前信號(hào) y');xlabel('時(shí)間 /s');% 原始信號(hào)subplot(2,1,2);plot(W(1:N/64),HW(1:N/64);% 查看信號(hào)頻譜grid on;title(' 濾波前信號(hào)頻譜圖 ');xlabel('頻率 /Hz');ylabel('振幅|H(ejw)|');hwch=fft(chyang,N);HWCH=abs(hwch);%取幅度值W=(0:N -1)*f

10、s/N;%頻率值figure(2);subplot(2,1,1);stem(t(1:10000),chyang(1:10000);grid on;title(' 抽樣信號(hào) chyang');xlabel('時(shí)間 /s');subplot(2,1,2);plot(W(1:N/64),HWCH(1:N/64);agrid on;title('抽樣信號(hào)頻譜圖 ');xlabel('頻率 /Hz');ylabel(' 振幅|H(ejw)|');hw2=fft(y2,N);%快速傅里葉變換HW2=abs(hw2);%取幅度值

11、W=(0:N -1)*fs/N;%頻率值figure(3);subplot(2,1,1);plot(t(1:8000),y2(1:8000);grid on;title(' 采樣之后 ');xlabel(' 時(shí)間 /s');subplot(2,1,2);plot(W(1:N/64),HW2(1:N/64);%設(shè)置帶通濾波器%ws1 ws2阻帶截止頻率ws=1130/fs*2,1370/fs*2;通帶截止頻率%wp1 wp2wp=1180/fs*2,1320/fs*2;wn與截止頻率%求濾波器階數(shù)nn,wn=buttord(wp,ws,3,15);的表達(dá)式的分子H(s)%求濾波器b,a=butter(n,wn);a，分母系數(shù) b y 經(jīng)過濾波器之后的函數(shù)%y2 為y3=filter(b,a,y2);hw3=fft(y3,N);HW3=abs(hw3);figure(4);subplot(2,1,1);plot(t(1:8000),y3(1:8000);%axis(0,0.1,-0.02,0.02);grid on;title(' 濾波后信號(hào) ');xlabel(' 時(shí)間 /