高數(shù)中需要掌握證明過程的定理

1、高數(shù)中的重要定理與公式及其證明（一）考研數(shù)學(xué)中最讓考生頭疼的當(dāng)屬證明題，而征服證明題的第一關(guān)就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶?duì)待數(shù)學(xué)的態(tài)度，一切定理的推導(dǎo)過程都是應(yīng)該掌握的。但考研數(shù)學(xué)畢竟不是數(shù)學(xué)系的考試，很多時(shí)候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復(fù)雜，硬要要求自己掌握的話很多時(shí)候可能是又費(fèi)時(shí)又費(fèi)力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。應(yīng)深受大家敬佩的靜水深流力邀，也為了方便各位師弟師妹復(fù)習(xí)，不才憑借自己對(duì)考研數(shù)學(xué)的一點(diǎn)了解，總結(jié)了高數(shù)上冊(cè)中需要掌握證明過程的公式定理。這些證明過程，或是直接的考點(diǎn)，或是蘊(yùn)含了重要的解題思想方法，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來看都是應(yīng)當(dāng)熟練掌握的。由于

2、水平有限，總結(jié)不是很全面，但大家在復(fù)習(xí)之初，先掌握這些公式定理證明過程是必要的。1）泰勒公式（皮亞諾余項(xiàng)）設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處存在n階導(dǎo)數(shù)，則在x0的某一鄰域內(nèi)成立f(x)=f(x0)+(xx0)f'(x0(xx0)+2!2f''(x0(xx0)+.+n!nnf(n)(x0)+o(xx0)【點(diǎn)評(píng)】：泰勒公式在計(jì)算極限、高階導(dǎo)數(shù)及證明題中有很重要的應(yīng)用。對(duì)于它們，我們首要的任務(wù)是記住常見函數(shù)（sinx,cosx,ln(1+x),ex,(1+x)a）在x=0處的泰勒公式，并能利用它們計(jì)算其它一些簡(jiǎn)單函數(shù)的泰勒公式，然后在解題過程中加以應(yīng)用。在復(fù)習(xí)的前期，如果基礎(chǔ)不是很好

3、的話，兩種不同形式的泰勒公式的證明可以先不看。但由于證明過程中所用到的方法還是很常用的。因此把它寫在這里。證明：2nxxxx()()00'''(n)令R(x)=f(x)f(x0)+(xx0)f(x0)+f(x0)+.+f(x0)2!n!n則我們要證明R(x)=o(xx0)。由高階無窮小量的定義可知，需要證明limR(x)xx0(xx0)n=0。這個(gè)極限式的分子分母都趨于零，并且都是可導(dǎo)的，因此用洛必達(dá)法則得n1'xx0)(''(n)f(x)f(x0)+(xx0)f(x0)+.+f(x0)n1!=limn1xx0n(xx0)'xx0limR

4、(x)(xx0)n再次注意到該極限式的分子分母仍趨于零，并且也都是可導(dǎo)的，因此可以再次運(yùn)用洛必達(dá)法則。不難驗(yàn)證該過程可以一直進(jìn)行下去，運(yùn)用過n1次洛必達(dá)法則后我們可以得到xx0limR(x)(xx0)nf(n1)(x)f(n1)(x0)(xx0)f(n)(x0)=limxx0n!xx0f(n1)(x)f(n1)(x0)f(n)(x0)=limxx0n!xx0n!f(n1)(x)f(n1)(x0)由于f(x)在點(diǎn)x0處存在n階導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的定義可知lim=f(n)(x0)xx0xx0代入可得limR(x)xx0(xx0)n=0。證畢注：這個(gè)定理很容易得到如下錯(cuò)誤的證明：直接用n次洛必達(dá)法則后得到

5、xx0limR(x)(xx0)n=limf(n)(x)f(n)(x0)=0xx0錯(cuò)誤的原因在于定理?xiàng)l件中僅告知了f(x)在點(diǎn)x0處存在n階導(dǎo)數(shù)，并沒有說明在其它點(diǎn)處的n階導(dǎo)數(shù)是否存在。就算其它點(diǎn)處的n階導(dǎo)數(shù)也存在，f(n)(x)也不一定連續(xù)，xx0limf(n)(x)f(n)(x0)=0也不一定成立。希望大家注意。2）泰勒公式（拉格朗日余項(xiàng)）設(shè)函數(shù)f(x)含有點(diǎn)x0的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)(a,b)內(nèi)任意一點(diǎn)x，都成立f(x)=f(x0)+(xx0)f(x0'(xx0)+2!2f(x0''(xx0)+.+n!nf(n)(x0)+Rn(x)xx0)

6、(其中R(x)=nn+1(n+1)!f(n+1)()，其中介于x和x0之間?！军c(diǎn)評(píng)】：同上。證明：2nxxxx()()00'''(n)令R(x)=f(x)f(x0)+(xx0)f(x0)+f(x0)+.+f(x0)2!n!Pn+1(x)=(xx0)n+1R(x)f(n+1)()則我們需要證明。=Pn+1(x)(n+1)!由于R(x0)=Pn+1(x0)=0，因此R(x)R(x0)R(x)=Pn+1(x)Pn+1(x)Pn+1(x0)易知，R(x),Pn+1(x)滿足柯西中值的條件。因此，由柯西中值定理可知，在x和x0之間存R(x)R(x0)R'(1)R'

7、(1)在一點(diǎn)1使得='=Pn+1(x)Pn+1(x0)Pn+1(1)n+1Pn(1)n1xx()0'''''(n)而R(x)=f(x)f(x0)+(xx0)f(x0)+.+f(x0)(n1)!因此，此時(shí)仍然有R'(x0)=Pn(x0)=0。R'(1)1R'(1)R'(x0)則=。n+1Pn(1)(n+1)Pn(1)Pn(x0)易知，R'(x),Pn(x)仍滿足柯西中值的條件。因此，由柯西中值定理可知，在1和x0之間存1R'(1)R'(x0)1R''(2)R''

8、(2)在一點(diǎn)2使得=。n+1Pn(1)Pn(x0)(n+1)Pn'(2)n+1nPn1(2)由于1在x和x0之間，因此2也在x和x0之間。容易檢驗(yàn)，上述過程可以一直進(jìn)行下去，使用過n+1次柯西公式后即可得到R(x)f(n+1)()。=Pn+1(x)(n+1)!證畢注：在計(jì)算極限或確定無窮小量的階時(shí)，一般用到皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式；在做證明題時(shí)用拉格朗日余項(xiàng)比較多。兩種泰勒公式的條件是不同的，其中拉格朗日余項(xiàng)的條件更強(qiáng)，結(jié)論也更強(qiáng)。這兩個(gè)定理的證明，如果基礎(chǔ)不太好一時(shí)接受不了的話可以先跳過，到下一階段再看。3）定積分中值定理設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b上至少存在一點(diǎn)

9、使得下式成立：baf(x)dx=f()(ba)【點(diǎn)評(píng)】：積分中值定理是定積分比較定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理的推論，它在是證明微積分基本定理的基礎(chǔ)，在整個(gè)微積分中具有極大的理論意義。同時(shí)，證明題中對(duì)該定理的應(yīng)用也比較常見，通常會(huì)和微分中值定理結(jié)合使用，考生首先應(yīng)該熟記該定理的條件和結(jié)論。另外，考試中還出現(xiàn)過與該定理證明方法類似的證明題。因此，該定理的證明過程也是需要掌握的。該定理的證明過程教材上有，因?yàn)楸容^重要，也為了方便大家，在這里寫一下我的證明過程證明：由于f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理可知：f(x)在區(qū)間a,b上可以取到最大與最小值。設(shè)最大值為M，最小值為m

10、。則有mf(x)M,xa,b。則有bamdxf(x)dxMdx，也即m(ba)f(x)dxM(ba)aaababbb兩邊同時(shí)除以(ba)可得m可知baf(x)dxbaM。f(x)dxba是介于函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值M和最小值為m之間的一個(gè)數(shù)。由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，f(x)能取到m,M上的一切數(shù)。因此在積分區(qū)間a,b上存在一點(diǎn)使得：f()=也即baf(x)dxba。baf(x)dx=f()(ba)。證畢附：下面是02年數(shù)三的一道證明題，證明方法與本定理很類似，大家可以試一試?！?2年數(shù)三6分】：設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在a,b上連續(xù)，且g(x)>0。試?yán)瞄]區(qū)間上連

11、續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，證明存在一點(diǎn)a,b，使得baf(x)g(x)dx=f()g(x)dx。ab4）積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則變積分上限函數(shù)(x)=并且它的導(dǎo)數(shù)是xaf(t)dt在a,b上可導(dǎo)，'(x)=dxf(t)dt=f(x),a<x<badx【點(diǎn)評(píng)】：這個(gè)定理的重要性不用強(qiáng)調(diào)了，考試中也直接考到過它的證明。由于是對(duì)定理的證明，因此要證明(x)的導(dǎo)數(shù)等于f(x)只能用定義，對(duì)于大家強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)的定義是一個(gè)很好的訓(xùn)練。證明：x(a,b)由導(dǎo)數(shù)的定義可知，本定理等價(jià)于證明lim(x+x)(x)=f(x)。x0xxa(x+x)(x)而lim=limax0x0

12、xx+xf(t)dtf(t)dtx=limx0x+xxf(t)dtx由于f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，因此由定積分中值定理可知：存在介于x與x+x之間的使得x+xxf(t)dt=xf()，則lim(x+x)(x)=limf()。x0x0x由于介于x與x+x之間，因此當(dāng)x0時(shí)，x。又由于f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，可知limf()=limf()=f(x)。x00(x+x)(x)=f(x)。x0xdx由導(dǎo)數(shù)的定義可知'(x)=f(t)dt=f(x),a<x<b。adx也即lim證畢5）牛頓萊布尼茲公式如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的一個(gè)原函數(shù)，則baf(x)dx

13、=F(b)F(a)【點(diǎn)評(píng)】：牛頓-萊布尼茲公式又名微積分基本定理，是因?yàn)樗靡粋€(gè)簡(jiǎn)單的公式就成功地聯(lián)系起了微積分中最重要的兩個(gè)概念：微分和積分，極大地簡(jiǎn)化了定積分的計(jì)算。它是微積分最核心的定理之一，其簡(jiǎn)潔明了的形式也使它被認(rèn)為是微積分幾百年研究歷史中最漂亮的結(jié)論之一！該定理和上一個(gè)定理實(shí)際上是等價(jià)的，只需要用到一個(gè)函數(shù)在同一區(qū)間上的不同原函數(shù)間僅相差一個(gè)常數(shù)。大家不妨自己推證。6）柯西施瓦茲不等式設(shè)函數(shù)f(x),g(x)都在區(qū)間a,b上可積且平方可積（注意：這里沒有說連續(xù)），bbb則有f(x)g(x)dxf2(x)dxg2(x)dxaaa2【點(diǎn)評(píng)】：這個(gè)公式是教材上的習(xí)題，在考試時(shí)可以直接用。

14、該公式在f(x),g(x)連續(xù)時(shí)也成立，但證明方法有區(qū)別，通過這個(gè)例子可以說明應(yīng)用牛頓萊布尼茲公式時(shí)檢驗(yàn)被積函數(shù)是否連續(xù)的重要性。證明：xxx法一：令F(x)=f(t)g(t)dtf2(t)dtg2(t)dt,xa,baaa2則F(a)=0。而F'(x)=2f(x)g(x)f(t)g(t)dtf2(x)g2(t)dtg2(x)f2(t)dtaaaxxx=2f(x)g(x)f(t)g(t)f2(x)g2(t)g2(x)f2(t)dtax=xaf(x)g(t)g(x)f(t)dt02因此F(x)在區(qū)間a,b上單調(diào)遞減。則有F(b)F(a)=0。整理即得所需不等式。證畢注：就本題來說，這個(gè)證

15、明過程是錯(cuò)的。因?yàn)楸绢}沒有說f(x),g(x)連續(xù)，因此不能用變上限積分求導(dǎo)公式，也就是說對(duì)F'(x)的計(jì)算是不合法的。把這個(gè)證明過程放在這里是因?yàn)樵诳佳蟹秶鷥?nèi)我們遇到的函數(shù)大多是連續(xù)的，而且利用函數(shù)單調(diào)性的方法在積分不等式的證明中也是很有代表性的。法二：易知，tR，有將括號(hào)打開可得b2f(x)+tg(x)dx0。a2bf(x)+tg(x)adx=t2bag(x)dx+2tf(x)g(x)dx+f2(x)dxaa2bb將該式看作變量t的二次函數(shù)，h(t)?？芍琱(t)0對(duì)任意的實(shí)數(shù)t都成立。由二次函數(shù)的相關(guān)理論可知，該二次函數(shù)的判別式小于或等于零bbb2也即2f(x)g(x)dx4g

16、(x)dxf2(x)dx0aaa2整理即得所需不等式。證畢注：由于這種證明方法所用到的條件比f(wàn)(x),g(x)連續(xù)弱，因此當(dāng)f(x),g(x)連續(xù)時(shí)，該證明過程也成立。但這個(gè)證明過程所用到的方法不具有代表性，大家了解一下即可。1）常用的極限ex1ax1(1+x)a1ln(1+x)1cosx1lim=1，lim=1，lim=lna，lim=a，lim=x0x0x0x0x0xxxxx22【點(diǎn)評(píng)】：這幾個(gè)公式大家在計(jì)算極限的過程中都再熟悉不過了，但有沒有人想過它們的由來呢？事實(shí)上，這幾個(gè)公式都是兩個(gè)重要極限lim(1+x)=e與x01xsinx=1的推論，它們的推導(dǎo)過程中也蘊(yùn)含了計(jì)算極限中一些很基本

17、的方法技x0x巧。證明：limln(1+x)ln(1+x)lim=1：由極限lim(1+x)x=e兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)即得lim=1。x0x0x0xx1ex1ln(1+x)lim=1：在等式lim=1中，令ln(1+x)=t，則x=et1。由于極限x0x0xx過程是x0，此時(shí)也有t0，因此有l(wèi)imt0t=1。極限的值與取極限的符號(hào)te1ex1是無關(guān)的，因此我們可以吧式中的t換成x，再取倒數(shù)即得lim=1。x0xax1ax1exlna1利用對(duì)數(shù)恒等式得lim，再利用第二個(gè)極限可lim=lna：=limx0x0x0xxxexlna1exlna1ax1得lim=lnalim=lna。因此有l(wèi)im=lna。

18、x0x0x0xxlnax(1+x)a1lim=a：利用對(duì)數(shù)恒等式得x0x(1+x)a1ealn(1+x)1ealn(1+x)1ln(1+x)ealn(1+x)1ln(1+x)lim=lim=alim=alimlim=ax0x0x0aln(1+x)x0aln(1+x)x0xxxx上式中同時(shí)用到了第一個(gè)和第二個(gè)極限。xx2sinsin1cosx11cosx=1lim=1。：利用倍角公式得lim=lim=limx0x0x0x22x2x22x022222）導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算法則(u±v)'=u'±v', d(u±v)=du±dv(uv)

19、'=u'v+uv', d(uv)=vdu+udvu'vu'uv'uvduudv()=,)=(v0)22vvvv【點(diǎn)評(píng)】：這幾個(gè)求導(dǎo)公式大家用得也很多，它們的證明需要用到導(dǎo)數(shù)的定義。而導(dǎo)數(shù)的證明也恰恰是很多考生的薄弱點(diǎn)，通過這幾個(gè)公式可以強(qiáng)化相關(guān)的概念，避免到復(fù)習(xí)后期成為自己的知識(shí)漏洞。具體的證明過程教材上有，這里就不贅述了。3）鏈?zhǔn)椒▌t設(shè)y=f(u),u=(x)，如果(x)在x處可導(dǎo)，且f(u)在對(duì)應(yīng)的u=(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f(x)在x處可導(dǎo)可導(dǎo)，且有：f(x)=【點(diǎn)評(píng)】：同上。4）反函數(shù)求導(dǎo)法則'f'(u)'(

20、x)或dydydu=dxdudx設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，在點(diǎn)x0處可導(dǎo)且f'(x)0，并令其反函數(shù)為x=g(y)，且x0所對(duì)應(yīng)的y的值為y0，則有：11dx1=或=''f(x0)f(g(y0)dydx【點(diǎn)評(píng)】：同上。5）常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g'(y0)=(x)=x(sinx)(lnx)x''''1，'=cosx，(cosx)=sinx，11'，(logax)=，xxlnax=(e)=e，(ax)=exlna'【點(diǎn)評(píng)】：這些求導(dǎo)公式大家都很熟悉，但很少有人想過它們的由來。實(shí)際上，掌握這幾個(gè)公式的證明

21、過程，不但可以幫助我們強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)的定義這個(gè)薄弱點(diǎn)，對(duì)極限的計(jì)算也是很好的練習(xí)?，F(xiàn)選取其中典型予以證明。證明：f(x+x)f(x)'1'x=x：導(dǎo)數(shù)的定義是f(x)=lim，代入該公式得()x0xxx(1+)1(1+)1'(x+x)x=x=x1lim=x1。最后一(x)=limx0x0xxx(1+x)a1步用到了極限lim=a。注意，這里的推導(dǎo)過程僅適用于x0的情形。x0xx=0的情形需要另行推導(dǎo)，這種情況很簡(jiǎn)單，留給大家。sin(x+x)sinx，由和差化積公式得x0xxx2cos(x+)sinsin(x+x)sinx=cosx。(cosx)'=sinx的證明類l

22、im=limx0x0xx似。(sinx)'=cosx：利用導(dǎo)數(shù)定義(sinx)=lim'ln(x+x)lnx1'：利用導(dǎo)數(shù)定義(lnx)=lim=limx0x0xx1lnx'logx=的證明類似（利用換底公式logx=）。(a)axlnalna(lnx)='ln(1+x=1。xx(e)=ex'x：利用導(dǎo)數(shù)定義(ex')x'e(x+x)ex1xxe=lim=lime=e。(ax)=exlna的x0x0xx證明類似（利用對(duì)數(shù)恒等式ax=exlna）。6）定積分比較定理如果在區(qū)間a,b上恒有f(x)0，則有f(x)dx0ab推論：如果在

23、區(qū)間a,b上恒有f(x)g(x)，則有f(x)dxg(x)dx；aabb設(shè)M和m是函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值與最小值，則有：m(ba)f(x)dxM(ba)ab【點(diǎn)評(píng)】：定積分比較定理在解題時(shí)應(yīng)用比較廣，定積分中值定理也是它的推論。掌握其證明過程，對(duì)理解及應(yīng)用該定理很有幫助。具體的證明過程教材上有。7）定積分中值定理設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b上至少存在一點(diǎn)使得下式成立：baf(x)dx=f()(ba)【點(diǎn)評(píng)】：微積分的兩大中值定理之一，定積分比較定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的推論，在證明題中有重要的作用?？佳姓骖}中更是有直接用到該定理證明方法的題目，重要性不嚴(yán)而喻。

24、具體證明過程見教材。8）變上限積分求導(dǎo)定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)(x)=f(x)dx在a,b上ax可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)是dx'(x)=f(x)dx=f(x),axbdxa設(shè)函數(shù)F(x)=u(x)v(x)f(t)dt，則有F'(x)=f(u(x)u'(x)f(v(x)v'(x)?！军c(diǎn)評(píng)】：不說了，考試直接就考過該定理的證明。具體證明過程見教材。9）牛頓-萊布尼茲公式如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則有f(x)dx=F(b)F(a)，其中F(x)是abf(x)的原函數(shù)。【點(diǎn)評(píng)】：微積分中最核心的定理，計(jì)算定積分的基礎(chǔ)，變上限積分求導(dǎo)定

25、理的推論。具體證明過程見教材。10）費(fèi)馬引理：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某領(lǐng)域U(x0)內(nèi)有定義，并且在x0處可導(dǎo)，如果對(duì)任意的xU(x0)，有f(x0)f(x)或f(x0)f(x)，那么f'(x0)=0【點(diǎn)評(píng)】：費(fèi)馬引理是羅爾定理的基礎(chǔ)，其證明過程中用到了極限的保號(hào)性，是很重要的思想方法。具體證明過程見教材。11）羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)(a<<b)，使得f'()=0。【點(diǎn)評(píng)】：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一

26、脈相承的三大定理；它們從形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但實(shí)際上卻是相互蘊(yùn)含，可以相互推導(dǎo)的。這幾個(gè)定理的證明方法也就是與中值有關(guān)的證明題主要的證明方法。中值定理的證明是高數(shù)中的難點(diǎn)，一定要多加注意。具體證明過程見教材。12）拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)(a<<b)，使得f'()=【點(diǎn)評(píng)】：同上。13）柯西中值定理：如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)f(b)f(a)。baf'()f(b)f(a)那么

27、在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)(a<<b)，使得'?！军c(diǎn)評(píng)】：同=g()g(b)g(a)上。14）單調(diào)性定理：設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)。如果在(a,b)上有f'(x)>0，那么函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)遞增。如果在(a,b)上有f'(x)<0，那么函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)遞減?！军c(diǎn)評(píng)】：這個(gè)定理利用導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系很容易理解，但實(shí)際證明中卻不能用圖形來解釋，需要更嚴(yán)密的證明過程。證明：僅證明f'(x)>0的情形，f'(x)<0的情形類似。x1,x2(a,b)，假定x1>x2則利用拉個(gè)朗日

28、中值定理可得，(x2,x2)使得f(x1)f(x2)=f'()(x1x2)由于f'()>0，因此f(x1)f(x2)>0。由x1,x2的任意性，可知函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)遞增。14）(極值第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，并在x0的某去心鄰域U(x0,)內(nèi)可導(dǎo)。）若x(x0,x0)時(shí)，f'(x)>0,而x(x0,x0+)時(shí)，f'(x)<0,則f(x)在x0處取得極大值）若x(x0,x0)時(shí)，f'(x)<0,而x(x0,x0+)時(shí)，f'(x)>0,則f(x)在x0處取得極小值；）若xU(x0,)時(shí)，f

29、'(x)符號(hào)保持不變，則f(x)在x0處沒有極值；【點(diǎn)評(píng)】：?jiǎn)握{(diào)性定理的推論，具體證明過程見教材。15）(極值第二充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處存在二階導(dǎo)數(shù)且f'(x0)=0，那么）若f''(x0)>0,則f(x)在x0處取得極小值；）若f''(x0)<0,則f(x)在x0處取得極大值?！军c(diǎn)評(píng)】：這個(gè)定理是判斷極值點(diǎn)最常用的方法，證明過程需要用到泰勒公式。證明：僅證明f''(x0)>0,的情形，f''(x0)<0,的情形類似。由于f(x)在x0處存在二階導(dǎo)數(shù)，由帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式得。在

30、x0的某領(lǐng)域內(nèi)成立f(x)=f(x0)+f'(x0)(xx0)+f''(x0)由于f'(x0)=0，因此(xx0)222+o(xx0)f(x)=f(x0)+f''(x0)(xx0)2+o2xx0)(22''oxx()02f(x0)=f(x0)+(xx0)+22(xx0)2''o(xx0)fx0)(由高階無窮小的定義可知，當(dāng)xx0時(shí)，有又由于0，>0，22(xx0)2oxx()0f(x0)>0。因此在x0的某領(lǐng)域內(nèi)成立+2(xx0)2''2''oxx()02f(x0)>

31、;fx。進(jìn)一步，我們有f(x0)+(xx0)+(0)22(xx0)也即，在x0的某領(lǐng)域內(nèi)成立f(x)>f(x0)。由極值點(diǎn)的定義可知f(x)在x0處取得極小值。16）洛必達(dá)法則f'(x)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在x=a的空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，g(x)0，且lim'=Axag(x)'則有l(wèi)imxaf(x)=A，其中A可以是有限數(shù)，也可以是+,。g(x)【點(diǎn)評(píng)】：洛必達(dá)法則是計(jì)算極限時(shí)最常用的方法，但它的證明卻很少有人關(guān)注。洛必達(dá)法則是拉格朗日中值定理的推論，證明過程比較簡(jiǎn)單，也是一個(gè)潛在的考點(diǎn)，需要引起注意。具體證明過程見教材。1）泰勒公式（皮亞諾余項(xiàng)）設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)

32、x0處存在n階導(dǎo)數(shù)，則在x0的某一鄰域內(nèi)成立f(x)=f(x0)+(xx0)f'(x0xx0)()+2!2f''(x0xx0)()+.+n!nnf(n)(x0)+o(xx0)【點(diǎn)評(píng)】：泰勒公式在計(jì)算極限、高階導(dǎo)數(shù)及證明題中有很重要的應(yīng)用。對(duì)于它們，我們首要的任務(wù)是記住常見函數(shù)（sinx,cosx,ln(1+x),ex,(1+x)a）在x=0處的泰勒公式，并能利用它們計(jì)算其它一些簡(jiǎn)單函數(shù)的泰勒公式，然后在解題過程中加以應(yīng)用。在復(fù)習(xí)的前期，如果基礎(chǔ)不是很好的話，兩種不同形式的泰勒公式的證明可以先不看。但由于證明過程中所用到的方法還是很常用的。因此把它寫在這里。證明：2nxx

33、xx()()00'''(n)令R(x)=f(x)f(x0)+(xx0)f(x0)+f(x0)+.+f(x0)2!n!n則我們要證明R(x)=o(xx0)。由高階無窮小量的定義可知，需要證明limR(x)xx0(xx0)n=0。這個(gè)極限式的分子分母都趨于零，并且都是可導(dǎo)的，因此用洛必達(dá)法則得n1xx()''''(n)0f(x)f(x0)+(xx0)f(x0)+.+f(x0)n1!=limn1xx0n(xx0)xx0limR(x)(xx0)n再次注意到該極限式的分子分母仍趨于零，并且也都是可導(dǎo)的，因此可以再次運(yùn)用洛必達(dá)法則。不難驗(yàn)證該過程可以

34、一直進(jìn)行下去，運(yùn)用過n1次洛必達(dá)法則后我們可以得到xx0limR(x)(xx0)nf(n1)(x)f(n1)(x0)(xx0)f(n)(x0)=limxx0n!xx0f(n1)(x)f(n1)(x0)f(n)(x0)=limxx0n!xx0n!f(n1)(x)f(n1)(x0)由于f(x)在點(diǎn)x0處存在n階導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的定義可知lim=f(n)(x0)xx0xx0代入可得limR(x)xx0(xx0)=0。證畢注：這個(gè)定理很容易得到如下錯(cuò)誤的證明：直接用n次洛必達(dá)法則后得到xx0limR(x)(xx0)=limf(n)(x)f(n)(x0)=0xx0錯(cuò)誤的原因在于定理?xiàng)l件中僅告知了f(x)在點(diǎn)

35、x0處存在n階導(dǎo)數(shù)，并沒有說明在其它點(diǎn)處的n階導(dǎo)數(shù)是否存在。就算其它點(diǎn)處的n階導(dǎo)數(shù)也存在，f(n)(x)也不一定連續(xù)，xx0limf(n)(x)f(n)(x0)=0也不一定成立。希望大家注意。2）泰勒公式（拉格朗日余項(xiàng)）設(shè)函數(shù)f(x)含有點(diǎn)x0的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)(a,b)內(nèi)任意一點(diǎn)x，都成立f(x)=f(x0)+(xx0)f'(x0xx0)()+2!2f''(x0xx0)()+.+n!nf(n)(x0)+Rn(x)(xx0)其中R(x)=nn+1(n+1)!f(n+1)()，其中介于x和x0之間?！军c(diǎn)評(píng)】：同上。證明：2nxxxx()()0

36、0'''(n)令R(x)=f(x)f(x0)+(xx0)f(x0)+f(x0)+.+f(x0)2!n!Pn+1(x)=(xx0)n+1R(x)f(n+1)()則我們需要證明。=Pn+1(x)(n+1)!由于R(x0)=Pn+1(x0)=0，因此R(x)R(x0)R(x)=Pn+1(x)Pn+1(x)Pn+1(x0)易知，R(x),Pn+1(x)滿足柯西中值的條件。因此，由柯西中值定理可知，在x和x0之間存R(x)R(x0)R'(1)R'(1)在一點(diǎn)1使得='=Pn+1(x)Pn+1(x0)Pn+1(1)n+1Pn(1)n1xx()0'&#

37、39;'''(n)而R(x)=f(x)f(x0)+(xx0)f(x0)+.+f(x0)(n1)!因此，此時(shí)仍然有R'(x0)=Pn(x0)=0。R'(1)1R'(1)R'(x0)則=。n+1Pn(1)(n+1)Pn(1)Pn(x0)易知，R'(x),Pn(x)仍滿足柯西中值的條件。因此，由柯西中值定理可知，在1和x0之間存1R'(1)R'(x0)1R''(2)R''(2)在一點(diǎn)2使得=。n+1Pn(1)Pn(x0)(n+1)Pn'(2)n+1nPn1(2)由于1在x和x0之間

38、，因此2也在x和x0之間。容易檢驗(yàn)，上述過程可以一直進(jìn)行下去，使用過n+1次柯西公式后即可得到R(x)f(n+1)()。=Pn+1(x)(n+1)!證畢注：在計(jì)算極限或確定無窮小量的階時(shí)，一般用到皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式；在做證明題時(shí)用拉格朗日余項(xiàng)比較多。兩種泰勒公式的條件是不同的，其中拉格朗日余項(xiàng)的條件更強(qiáng)，結(jié)論也更強(qiáng)。這兩個(gè)定理的證明，如果基礎(chǔ)不太好一時(shí)接受不了的話可以先跳過，到下一階段再看。3）定積分中值定理設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b上至少存在一點(diǎn)使得下式成立：baf(x)dx=f()(ba)【點(diǎn)評(píng)】：積分中值定理是定積分比較定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理的推論，

39、它在是證明微積分基本定理的基礎(chǔ)，在整個(gè)微積分中具有極大的理論意義。同時(shí)，證明題中對(duì)該定理的應(yīng)用也比較常見，通常會(huì)和微分中值定理結(jié)合使用，考生首先應(yīng)該熟記該定理的條件和結(jié)論。另外，考試中還出現(xiàn)過與該定理證明方法類似的證明題。因此，該定理的證明過程也是需要掌握的。該定理的證明過程教材上有，因?yàn)楸容^重要，也為了方便大家，在這里寫一下我的證明過程證明：由于f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理可知：f(x)在區(qū)間a,b上可以取到最大與最小值。設(shè)最大值為M，最小值為m。則有mf(x)M,xa,b。則有bamdxf(x)dxMdx，也即m(ba)f(x)dxM(ba)aaababbb兩邊

40、同時(shí)除以(ba)可得m可知baf(x)dxbaM。f(x)dxba是介于函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值M和最小值為m之間的一個(gè)數(shù)。由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，f(x)能取到m,M上的一切數(shù)。因此在積分區(qū)間a,b上存在一點(diǎn)使得：f()=也即baf(x)dxba。baf(x)dx=f()(ba)。證畢附：下面是02年數(shù)三的一道證明題，證明方法與本定理很類似，大家可以試一試?！?2年數(shù)三6分】：設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在a,b上連續(xù)，且g(x)>0。試?yán)瞄]區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，證明存在一點(diǎn)a,b，使得baf(x)g(x)dx=f()g(x)dx。ab4）積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則變積分上限函數(shù)(x)=并且它的導(dǎo)數(shù)是xaf(t)dt在a,b上可導(dǎo)，'(x)=dxf(t)dt=f(x),a<x<badx【點(diǎn)評(píng)】：這個(gè)定理的重要性不用強(qiáng)調(diào)了，考試中也直接考到過它的證明。由于是對(duì)定理的證明，因此要證明(x)的導(dǎo)數(shù)等于f(x)只能用定義，對(duì)于大家強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)的定義是一個(gè)很好的訓(xùn)練。證明：x(a,b)由導(dǎo)數(shù)的定義可知，本定理等價(jià)于證明