非線性振動第1章Ritz-Galerkin法課件

1、非線性振動第1章Ritz-Galerkin法1.9 Ritz-Galerkin法伽遼金法基本思想伽遼金法基本思想：伽遼金法是一種變分方法，亦稱里茲（Ritz）平均法?；舅枷胧羌僭O(shè)一含待定系數(shù)的近似解，代入控制方程后產(chǎn)生偏差（殘值），為使偏差最小，用一權(quán)函數(shù)（變分）乘以該偏差，并使其在一周期內(nèi)積分為零。從而得到確定待定系數(shù)的代數(shù)方程組，解此方程組求出待定系數(shù)，即得所求近似解。 非線性振動第1章Ritz-Galerkin法0)(xfx 自治系統(tǒng)自治系統(tǒng) 為待求的圓頻率為待求的圓頻率 看成靜力平衡方程看成靜力平衡方程0)(xfx 表示慣性力表示慣性力x )( xf 表示轉(zhuǎn)動力和約束反力表示轉(zhuǎn)動力和

2、約束反力 由虛位移原理：由虛位移原理：0)(xxfx 非線性振動第1章Ritz-Galerkin法 1Niiix ta w t代入原方程，由于近似解一般不會剛好等于真解，所以會產(chǎn)生不等于零的殘值 11()0NNiiiiiiiR aa wfa w& &近似解的變分 1Niiixw ta設(shè)解非線性振動第1章Ritz-Galerkin法為使偏差最小，取這個殘值與近似解的變分的乘積，在一周期內(nèi)積分（也即使偏差在一個周期內(nèi)平均分布）為零： 00111()d0d0TiNNNTiiiiiiiiiR ax ta wfa ww a t& &由于ia任意，則： 011d0i=0,1

3、,2.NNTiiiiiiia wfa ww t& &ia解此代數(shù)方程組，求出N個待定系數(shù),代回原方程即得近似解 非線性振動第1章Ritz-Galerkin法非線性振動第1章Ritz-Galerkin法03cxbxx 例例1 Duffing方程的周期方程的周期3)(cxbxxf1 111( )coscosxatata 設(shè)設(shè) ,2, 1 0)()()(011jdtttaftaTjniiiniii 0)()()(011111Tdtttafta 231110coscos(cos) cos0 Tatbatc attdt非線性振動第1章Ritz-Galerkin法231110coscos(

4、cos) cos0 Taptbatc attdt233110() coscoscos0 Tabtcattdt22234110() coscos0 abcatdt231113 14()402 24 2 2abca22134bca 非線性振動第1章Ritz-Galerkin法03cxbxx 例例1 Duffing方程的周期方程的周期1 1331313( )( )coscos3coscos3xatatatataa3)(cxbxxf 0)()()(011111Tdtttafta 2, 1 0)()()(011jdtttaftaTjniiiniii 非線性振動第1章Ritz-Galerkin法2, 1

5、0)()()(011jdtttaftaTjniiiniii 0)(3coscos3cos9cos 0)(3coscos3cos9cos033131013131TTdttaafaadttaafaa2213130cos9cos 3coscos 3cos0. Taptatf atattdt2213130cos9cos 3coscos 3cos 30Tatatf atattdt非線性振動第1章Ritz-Galerkin法22323233113301( )(43663) 208Fdbaacaca aca223221111131301()(44336) 208Fdbaacaca aca a23221111

6、313443360baacaca aca a2323331133436630baacaca aca2322111313232331133333()0442133(9)0424bacaca aca abacaca aca非線性振動第1章Ritz-Galerkin法 初始條件初始條件0)0(, 1)0(xx120.997093,0.002907,1.03672aattptaptax11036.3cos002907.003672.1cos997093.0 3coscos312322111313232331133333()0442133(9)0424bacaca aca abacaca aca非線性振

7、動第1章Ritz-Galerkin法例2 用伽遼金法求Duffing方程的周期解 03xxx coscosxata=3023202220cos dcoscoscos d31(1)coscos3 cos d044TTTxxxtaaataaat 設(shè)解（僅取一項權(quán)函數(shù)cos ）代入Duffing方程，并令與權(quán)函數(shù)乘積在一周期內(nèi)積分0 非線性振動第1章Ritz-Galerkin法22200222231 cos21(1)dcos3 cos d04243310144TTatataa 3023202220cos dcoscoscos d31(1)coscos3 cos d044TTTxxxtaaataaat

8、 非線性振動第1章Ritz-Galerkin法131322133333332222131313133313221313coscos3coscos3cos9cos3(coscos )coscos 33coscos33coscos 33131( coscos3 )( cos3cos9 )444433(1cos2 )cos322xatataaxaaxaaaaa aa aaaa aa a=+=+= -=+=+=+& &322332113131313cos (1cos6 )333133()cos()cos3424442aa aa aaaa a（ ）+=+ D設(shè)解： 非線性振動第1章Ritz-Galerkin法3030cos d0cos3 d0TTxxxtxxxt23221111313023233311330333()cos cos d0424133 9()cos cos3 d0424TTaaaa aa ataaaa aat-+=-+=2322111313232331133333(1)0442133(1 9)0424aaa aa aaaa aa