高中經(jīng)典物理模型之構(gòu)建復(fù)合運(yùn)動(dòng)模型 解析物體運(yùn)動(dòng)問題解答技巧及解題思路

1、構(gòu)建復(fù)合運(yùn)動(dòng)模型 解析物體運(yùn)動(dòng)問題抽象物理模型是解答物理問題的關(guān)鍵在對(duì)簡(jiǎn)單問題進(jìn)行模型化處理時(shí)，?？砂阉橄鬄橐粋€(gè)已知的物理模型，然而在對(duì)某些比較復(fù)雜問題進(jìn)行模型化處理時(shí)，常常通過聯(lián)想舊模型、創(chuàng)造新模型來構(gòu)建復(fù)合模型（或稱模型鏈）.構(gòu)建復(fù)合物理模型能將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題的組合，使問題得到順利解答.本文通過結(jié)合具體教學(xué)實(shí)例就如何構(gòu)建復(fù)合運(yùn)動(dòng)模型來巧解物理競(jìng)賽中復(fù)雜運(yùn)動(dòng)問題. 一、構(gòu)建直線運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)模型1.構(gòu)建同一平面內(nèi)直線運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)模型，解答擺線運(yùn)動(dòng)問題 例1如圖1所示，一質(zhì)量為m、帶電量為q的小球從磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中A點(diǎn)由靜止開始下落，試求帶電小球下落的

2、最大高度h 圖1分析與解可以證明這個(gè)問題中帶電小球運(yùn)動(dòng)軌跡是比較復(fù)雜的擺線，對(duì)高中學(xué)生而言從合運(yùn)動(dòng)角度分析這個(gè)問題比較困難.現(xiàn)構(gòu)建小球有兩個(gè)大小相等、方向相反的水平初速度v、v2，所構(gòu)建的這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)與小球原有初始運(yùn)動(dòng)條件等效.現(xiàn)使小球的分運(yùn)動(dòng)v產(chǎn)生的洛倫茲力為qvBmg則vmgqB，因而小球的運(yùn)動(dòng)可視為沿水平方向以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)和在豎直平面內(nèi)以速度v2做逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng).勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑Rmv2qBg（mqB）2，因而小球在運(yùn)動(dòng)過程中下落的最大高度為m22g（mqB）2. 通過構(gòu)建勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)復(fù)合模型，巧妙地解答了這個(gè)復(fù)雜問題. 2.構(gòu)建不同平面內(nèi)的直線

3、運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)模型，解答螺旋運(yùn)動(dòng)問題 例2如圖2所示，兩個(gè)平行板內(nèi)存在互相平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，方向豎直向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.在平行板的右端處有一熒光屏MN，中心為O，OO既垂直電場(chǎng)方向又垂直熒光屏，長(zhǎng)度為L(zhǎng).在熒光屏上以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立一直角坐標(biāo)系，y軸方向豎直向上，x軸正方向垂直紙面向外.現(xiàn)有一束具有相同速度和荷質(zhì)比的帶正電粒子束，沿OO方向從O點(diǎn)射入此電場(chǎng)區(qū)域，最后打在熒光屏上若屏上亮點(diǎn)坐標(biāo)為（L3，6），重力不計(jì).試求：（1）磁場(chǎng)方向；（2）帶電粒子的荷質(zhì)比.圖2分析與解帶電粒子在相互平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)與磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)為比較復(fù)雜的三維運(yùn)動(dòng)（螺旋線運(yùn)動(dòng)），根據(jù)力和運(yùn)動(dòng)獨(dú)

4、立作用原理，可以把此螺旋運(yùn)動(dòng)構(gòu)建為y軸方向上的加速直線運(yùn)動(dòng)和xOz平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)模型.在xOz平面內(nèi)構(gòu)建出如圖3所示的幾何圖景，由圖3運(yùn)用物理知識(shí)和三角形知識(shí)可得：磁場(chǎng)方向豎直向上，且圖3R2L3， sin2，6.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t6m（3qB），結(jié)合yEqt2（2m）6得粒子的荷質(zhì)比為 qmE2（3B2L）. 二、構(gòu)建簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)模型 1.構(gòu)建簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)模型，巧解“狗追擊狼”的問題 例3如圖4所示，一只狼沿半徑為R的圓形軌道邊緣按逆時(shí)針方向勻速跑動(dòng)當(dāng)狼經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，一只獵狗以相同的速度從圓心O點(diǎn)出發(fā)追擊狼設(shè)追擊過程中，狼、狗、O點(diǎn)始終

5、在同一條直線上問：狗沿什么軌跡運(yùn)動(dòng)?在何處追上狼? 分析與解由于狗、狼、O點(diǎn)始終在同一條直線上，狗與狼沿運(yùn)動(dòng)軌道的切向的角速度相等，因而可以把狗的運(yùn)動(dòng)構(gòu)建為徑向運(yùn)動(dòng)和切向圓周運(yùn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng).設(shè)當(dāng)狗離開圓心距離r時(shí)，狗的徑向速度為vr，切向速度為vt,則圖4vtrvr，由圖4可知 vr 由此可知，狗在徑向相對(duì)圓心O做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，狗的運(yùn)動(dòng)為徑向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)和切向圓周運(yùn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng).由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)知識(shí)可知rsint，任意時(shí)刻狗的直角坐標(biāo)為 xrcos，yrsin，結(jié)合t，得 sintcost（12）sin（2t）， ysin2（12）1cos（2t），因而得狗的軌跡方程為 x2（y2）2（2）2 即狗的軌跡為

6、一個(gè)半徑為R2的圓，在圓形軌道的B點(diǎn)追上狼. 有關(guān)例3問題在很多參考書上有各種不同解法，筆者認(rèn)為上述運(yùn)用構(gòu)建圓周運(yùn)動(dòng)和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)模型的方法解答此問題最簡(jiǎn)捷. 2.構(gòu)建簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)模型，巧解“有心力作用”問題 例4如圖5所示，兩個(gè)同軸的帶電無限長(zhǎng)半圓柱面，內(nèi)外圓柱面的半徑分別為a、b.設(shè)在圖中arb區(qū)域內(nèi)只有徑向電場(chǎng)，電勢(shì)分布為Uklnbr，其中為常量.由此電勢(shì)分布可得出電場(chǎng)強(qiáng)度分布為Er.現(xiàn)有一質(zhì)量為m、初速為v、帶電量為q的粒子從左方A處射入，且v既與圓柱面軸線垂直又與入射處的圓柱的直徑垂直（不計(jì)帶電粒子的重力）.圖5（1）試問v為何值時(shí)可使粒子沿半徑為R（Ra）的半

7、圓軌道運(yùn)動(dòng)? （2）若粒子的入射方向與上述v偏離一個(gè)很小的角度（仍然在圖5所示的紙面內(nèi)），其它條件不變，則粒子將偏離（1）中的半圓軌道設(shè)新軌道與原半圓軌道相交于P點(diǎn).試證明：對(duì)于很小的角，P點(diǎn)的位置與角無關(guān)，并求出P點(diǎn)的方位角AOP的數(shù)值. 分析與解（1）根據(jù)帶電粒子在徑向電場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的條件，即帶電粒子所受的電場(chǎng)力等于粒子沿徑向指向圓心O的向心力，得 （mv2R）qE（qkR），則. （2）帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡看似比較復(fù)雜，但考慮到較小，粒子沿切向的分速度為vtvcosv，徑向的分速度vrvsinv很小若運(yùn)用力和運(yùn)動(dòng)獨(dú)立性原理，則把此復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)可構(gòu)建為沿著半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和徑向的振幅較小

8、的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng).粒子沿徑向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置為r，設(shè)振動(dòng)時(shí)的微小位移為x，回復(fù)力Fr滿足 qk（rx）rmv2t（rx），即Frqk（rx）mv2t/（rx），由角動(dòng)量守恒，得 mvrmvt（rox），由于xr，運(yùn)用數(shù)學(xué)近似處理，有 1（rx）（1xr）r， 1（rx）（13xr）r，結(jié)合qkrmv2r，得Fr2mv2xr2令k2mv2r2粒子沿徑向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為 T2rv 粒子第一次到達(dá)平衡位置P點(diǎn)時(shí)經(jīng)過時(shí)間為tT2，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過的角度為 vtr（2） 三、構(gòu)建兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)模型 1.構(gòu)建兩條直線上的復(fù)合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)模型 例5如圖6所示，一彈性細(xì)繩穿過水平面上光滑的小孔O連接

9、一質(zhì)量為m的小球，另一端固定于地面上A點(diǎn)，彈性繩的原長(zhǎng)為OA，勁度系數(shù)為k現(xiàn)將小球拉到B位置使OB，并給小球P以初速度v，且v垂直O(jiān)B.試求：（1）小球繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)90°至C點(diǎn)處所需時(shí)間；（2）小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度圖6分析與解（1）設(shè)OB為x軸方向，OC為y軸方向，當(dāng)小球和O點(diǎn)的連線與x軸成角且與O點(diǎn)相距為r時(shí)，彈性繩對(duì)小球的彈力為Fkr.將力F沿著x、y兩個(gè)方向分解，有 FxFcoskcoskx， FyFsinkrsinky. 由此可知，小球在x方向做初速度為零的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，在y方向上做初速度為v的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，小球運(yùn)動(dòng)可視為兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)組成的復(fù)合運(yùn)動(dòng)模型.小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，x=0，即小球恰

10、好經(jīng)過x軸方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置，故小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所經(jīng)過的時(shí)間為小球沿x軸方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期的四分之一，即 t4（2） （2）因?yàn)樾∏虻竭_(dá)C點(diǎn)時(shí)在y軸方向上速度為零，所以小球在C點(diǎn)的速度就是在x軸方向上的最大速度，則 vCvxmax. 2.構(gòu)建雙振子復(fù)合模型，解答多體振動(dòng)問題圖7分析與解均勻帶電球M在球內(nèi)離球心距離為x處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為EkQx，點(diǎn)電荷N在此處所受的電場(chǎng)力為FkQ2x，此時(shí)帶電球M所受的電場(chǎng)力也為FMkQ2x，因而可將此系統(tǒng)構(gòu)建為類似如圖8所示的雙振子相對(duì)質(zhì)心O點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知，系統(tǒng)的質(zhì)心點(diǎn)靜止不動(dòng)，質(zhì)心O點(diǎn)距開始靜止的球心O點(diǎn)的距離為x，則 圖8（）（3）以質(zhì)心O為雙振子振動(dòng)的平衡位置，令