聊城大學(xué)實(shí)變函數(shù)期末試題(共12頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上實(shí)變函數(shù)一、單項(xiàng)選擇題1、下列各式正確的是（ C D ）（A）; （B）（C）; （D）;2、設(shè)P為Cantor集，則下列各式不成立的是（ D ）（A） c (B) (C) (D) 3、下列說法不正確的是（ B ）(A) 凡外側(cè)度為零的集合都可測（B）可測集的任何子集都可測 (C) 開集和閉集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可測4、設(shè)是上的有限的可測函數(shù)列,則下面不成立的是( A )（A）若, 則 (B) 是可測函數(shù) （C）是可測函數(shù);（D）若,則可測5. 下列說法不正確的是( C ) (A) 的任一領(lǐng)域內(nèi)都有中無窮多個點(diǎn)，則是的聚點(diǎn) (B) 的任一領(lǐng)域內(nèi)至少有一個中異

2、于的點(diǎn)，則是的聚點(diǎn) (C) 存在中點(diǎn)列，使，則是的聚點(diǎn) (D) 內(nèi)點(diǎn)必是聚點(diǎn)6.設(shè)在上可積,則下面不成立的是( C )(A)在上可測 (B)在上a.e.有限 (C)在上有界 (D)在上可積7. 設(shè)是一列可測集，則有（B ）。（A） (B) （C）;（D）以上都不對9、設(shè)，則（ B ）(A) （B） (C) （D）10、設(shè)是上有理點(diǎn)全體，則下列各式不成立的是（ D ）（A） (B) (C) =0，1 (D) 11、下列說法不正確的是（ C ）(A) 若，則 （B） 有限個或可數(shù)個零測度集之和集仍為零測度集 (C) 可測集的任何子集都可測 （D）凡開集、閉集皆可測12、設(shè)是一列可測集，且，則有（

3、A ）（A） (B) （C）;（D）以上都不對13、設(shè)f(x)是上絕對連續(xù)函數(shù)，則下面不成立的是（ B ）(A) 在上的一致連續(xù)函數(shù) (B) 在上處處可導(dǎo)（C）在上L可積 (D) 是有界變差函數(shù)14設(shè)是兩集合，則 =（ C ） (A) (B) (C) (D) 16. 下列斷言( B )是正確的。（A）任意個開集的交是開集；(B) 任意個閉集的交是閉集； (C) 任意個閉集的并是閉集；(D) 以上都不對；17. 下列斷言中( C )是錯誤的。（A）零測集是可測集； （B）可數(shù)個零測集的并是零測集；（C）任意個零測集的并是零測集；（D）零測集的任意子集是可測集； 18. 若，則下列斷言（ A ）是

4、正確的(A) 在可積在可積； (B) (C) ;(D) 19、設(shè)是閉區(qū)間中的無理點(diǎn)集，則（A ） 是不可測集 是閉集二、填空題1、2、設(shè)是上有理點(diǎn)全體，則=,=,=.3、設(shè)是中點(diǎn)集，如果對任一點(diǎn)集都有，則稱是可測的.4、可測的(充要)條件是它可以表成一列簡單函數(shù)的極限函數(shù). 5、設(shè)，則（0，2）6、設(shè),若則是閉集；若，則是開集；若，則是完備集.7、設(shè)是一列可測集，則8、設(shè)集合，則9、設(shè)為Cantor集，則 ，0，=。10、果洛夫定理：設(shè)是上一列收斂于一個有限的函數(shù) 的可測函數(shù)，則對任意存在子集，使在上一致收斂且。11、在上可測，則在上可積的充要條件是|在上可積.12、設(shè)為Cantor集，則 c

5、，0，=。13、設(shè)是一列可測集，則14、魯津定理：設(shè)是上有限的可測函數(shù)，則對任意，存在閉子集，使得在上是連續(xù)函數(shù)，且。 15、設(shè)為上的有限函數(shù)，如果對任意，使對中互不相交的任意有限個開區(qū)間只要，就有則稱為上的絕對連續(xù)函數(shù)。 16、,因?yàn)榇嬖趦蓚€集合之間的一一映射為.17、設(shè)是中函數(shù)的圖形上的點(diǎn)所組成的 集合，則，.18、設(shè)是閉區(qū)間中的全體無理數(shù)集, 則.19、設(shè), ,若,則稱是的聚點(diǎn).20設(shè)是上幾乎處處有限的可測函數(shù)列, 是 上 幾乎處處有限的可測函數(shù), 若, 有, 則稱在上依測度收斂于.三、判斷1、設(shè)，若E是稠密集，則是無處稠密集。F2、若，則一定是可數(shù)集.F3、若是可測函數(shù)，則必是可測函數(shù)

6、。F 4設(shè)在可測集上可積分，若，則 F 5、A為可數(shù)集，B為至多可數(shù)集，則AB是可數(shù)集.T 6、若，則 F 7、若是可測函數(shù)，則必是可測函數(shù)F8設(shè)在可測集上可積分，若，則 F9、任意多個開集之交集仍為開集 F 10、若，則一定是可數(shù)集.F 11、收斂的函數(shù)列必依測度收斂。F12、由于，故不存在使之間對應(yīng)的映射。F13、可數(shù)個零測度集之和集仍為零測度集。T14、 若可測, 且,則.F15、設(shè)為點(diǎn)集, , 則是的外點(diǎn). F16、點(diǎn)集為閉集.F17、任意多個閉集的并集是閉集.F四、解答題1、設(shè) ，則在上是否可積，是否可積，若可積，求出積分值。解：在上不是可積的，因?yàn)閮H在處連續(xù)，即不連續(xù)點(diǎn)為正測度集，

7、因?yàn)槭怯薪缈蓽y函數(shù)，在上是可積的因?yàn)榕c相等，進(jìn)一步，考 生 答 題 不 得 超 過 此 線2、求解：設(shè)，則易知當(dāng)時，又因，()，所以當(dāng)時，從而使得但是不等式右邊的函數(shù)，在上是可積的，故有，3、求極限 解：記則在0,1上連續(xù),因而在0,1上（R）可積和（L）可積. 又 且在上非負(fù)可積,故由Lebesgue控制收斂定理得 4、設(shè) ，則在上是否可積，是否可積，若可積，求出積分值。解：在上不是可積的，因?yàn)閮H在處連續(xù)，即不連續(xù)點(diǎn)為正測度集因?yàn)槭怯薪缈蓽y函數(shù)，所以在上是可積的因?yàn)榕c相等, 進(jìn)一步，5、求極限 .解：設(shè)，則易知當(dāng)時，又，但是不等式右邊的函數(shù)，在上是可積的故有6、設(shè)求出集列的上限集和下限集證明

8、：設(shè)，則存在N，使，因此時，即，所以屬于下標(biāo)比N大的一切偶指標(biāo)集，從而屬于無限多，得，又顯然得 分閱卷人若有，則存在N，使任意，有，因此若時，此不可能，所以五、證明題1、證明上的全體無理數(shù)作成的集其勢為.證明：設(shè) 。 得 分閱卷人復(fù)查人2. 設(shè)使，則E是可測集。 證明：對任何正整數(shù)，由條件存在開集使令，則是可測集 又因?qū)σ磺姓麛?shù)成立，因而，即是一零測度集，所以也可測.由知，可測。 得 分閱卷人復(fù)查人3.試用Fatou引理證明Levi定理.證明：設(shè)為可測集上的一列非負(fù)可測函數(shù)，且在上有，令 由為單調(diào)可測函數(shù)列知，可測，且于是 從而 （*） 另一方面，因?yàn)榭蓽y集上的一列非負(fù)可測函數(shù)，由Fatou

9、引理知 （*） 由（*）、（*）兩式即證得 分閱卷人復(fù)查人4、試證證明：記中有理數(shù)全體,令顯然 所以 考 生 答 題 不 得 超 過 此 線5、設(shè)是可測集的非負(fù)可積函數(shù)，是的可測函數(shù)，且，則也是上的可積函數(shù)。 證明：， 是可測集的非負(fù)可積函數(shù) 是上的可積函數(shù). 同理，也是上的可積函數(shù).是上的可積函數(shù)。 得 分閱卷人復(fù)查人7.設(shè)在上可積，則對任何，必存在上的連續(xù)函數(shù)，使.證明：設(shè)由于在上有限，故由積分的絕對連續(xù)性，對任何，使令，在上利用魯津定理，存在閉集和在上的連續(xù)函數(shù)使（1）（2）時，且所以 8、 設(shè),且為可測集, .根據(jù)題意, 若有 , 證明是可測集. 證明：令, 則且為可測集, 于是對于, 都有, 故,令, 得到, 故可測. 從而可測.9. 證明:證明：1、設(shè)是上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則對于任意常數(shù)是閉集。P512、設(shè)在上可積，則.P132得 分閱卷人復(fù)查人3、設(shè)是上有限的函數(shù)，若對任意，存在閉子集，使在上連續(xù)，且，證明：是上的可測函數(shù)。(魯津定理的逆定理) P944. 設(shè)為E上可積函數(shù)列，.于E，且，k為常數(shù)，則在E上可