不等式證明的常用基本方法

1、證明不等式的基本方法導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.2.會用比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法證明比較簡單的不等式.自主梳理1 .三個正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式：如果a,b,c>0,那么當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立.2 .基本不等式(基本不等式的推廣)：對于n個正數(shù)a,a2,，an,它們的算術(shù)平均不小于ai+a2+ann(,它們的幾何平均，即>,x/ai,a2an,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.3 .證明不等式的常用五種方法(1)比較法：比較法是證明不等式最基本的方法，具體有作差比較和作商比較兩種，其基本思想是與0比較大小或與1比較大小.(

2、2)綜合法：從已知條件出發(fā)，利用定義、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫綜合法.也叫順推證法或由因?qū)Ч?(3)分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立為止，這種證明方法叫分析法.也叫逆推證法或執(zhí)果索因法.(4)反證法反證法的定義先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明，的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，我們把它稱為反證法.反

3、證法的特點(diǎn)先假設(shè)原命題不成立，再在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實等矛盾.放縮法定義：證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值或，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法.思路：分析觀察證明式的特點(diǎn)，適當(dāng)放大或縮小是證題關(guān)鍵.題型一用比差法與比商法證明不等式1 .設(shè)t=a+2b,s=a+b2+1,則s與t的大小關(guān)系是(A)A.s>tB.s>tC.s<tD.s<t【解析】:s-t=b2-2b+1=(b-1)2>0,.s>t.【答案】A2 .設(shè)a=(m2+1)(n2+4),b=(mn+

4、2)2,則(D)A.a>bB.avbC.a<bD.a>b解析：ab=(m2+1)(n2+4)F(mn+2)2=4m2+n24mn=(2mn)2>0,1-a>b.答案:D3 .設(shè)a,bCR,給出下列不等式：lg(1+a2)>0;a2+b2>2(a-b-1);a2+3ab>2b2;碇V巴巴,b&+1其中所有恒成立的不等式序號是.【解析】a=0時不成立；:a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2>0,成立；a=b=0時不成立；a=2,b=1時不成立，故恒成立的只有.題型二用綜合法與分析法證明不等式一，、14 .(1)已知x

5、,y均為正數(shù)，且x>y,求證：2x+x2_2xy+y2>2y+3;(2)設(shè)a,b,c>0且ab+bc+ca=1,求證：a+b+c>.證明(1)因為x>0,y>0,x-y>0,1112x+x2-2xy+y22y=2(x-y)+x-y2=(x-y)+(x-y)+x-y2-3211cyx-y2=3,所以2x+x2_2xy+y2>2y+3.(2)因為a,b,c>0,所以要證a+b+c>y3,只需證明(a+b+c)2>3.即證：a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)>3,而ab+bc+ca=1,故需證明：a2+b2+c2+2(ab

6、+bc+ca)>3(ab+bc+ca).即證：a2+b2+c2>ab+bc+ca.a2+b2b2+c2c2+a2222而 ab+ bc+cawa=b= c時等號成立)成立.2+2+2-=a2+b2+c2(當(dāng)且僅當(dāng)所以原不等式成立.5 .已知a、b都是正實數(shù)，且ab=2.求證：(1+2a)(1+b)>9.證明：法一因為a、b都是正實數(shù)，且ab=2,所以2a+b>2，2ab=4.所以(1+2a)(1+b)=1+2a+b+2ab>9.+ b) = (1 + 2a) 1 + a =5+2 a + 占.JT1 =2.所以(1 + 2a)(1 +b) >9.,b b(1

7、 +2a)(1 +b) = (1 +a+a) 1+2+221法二因為ab=2,所以(1+2a)(1,1因為a為正實數(shù)，所以a+->2a法三因為a、b都是正實數(shù)，所以>3,知孑,3,4=9,、4.又ab=2,所以(1+2a)(1+b)>9.思維升華用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?，用分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法.綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單、條理清楚，所以在實際應(yīng)用時，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開闊視野.題型三放縮法證明不等式6.已

8、知0<a<1,且止+,N=a-+-則MN的大小關(guān)系是(A)b1+a1+b1+a1+bA.M>NB.M<NC.M=ND.不能確定-1解析：:0<a<-,1+a>0,1+b>0,1-ab>0,b2-2ab7.若a, bC R,求證:1+a 1+b|a+b| ) |a|01 + |a + b| 1 + |a|>0.答案：A|b|證明當(dāng)|a+b|=0時，不等式顯然成立.當(dāng)|a+b|wo時,由0<|a+b|w|a|+|b|?E'iar|a|1 + |a| 十|b|11|a + b| + 1|b|111 +|a|b|a| 十|b|1

9、+|a| 十|b|1+|a| +|b|1 + |a|思維升華(1)在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的推證技巧.常見的放縮變換有:變換分式的分子和分母,如春kk111'k2>k k +1:>k :k+ k+1上面不等式中kCN*,k>1;利用函數(shù)的單調(diào)性；真分?jǐn)?shù)性質(zhì)“若 0<a<b, m>0則a a + m,(2)在用放縮法證明不等式時，“放”和“縮”均需把握一個度.118.設(shè)。是正整數(shù)，求證：廣亦卜十 <1.2n證明由2n>n+k>n(k=1,2,，n),得1112n<n+k<n.當(dāng)k= 1時,111,.而we&l

10、t;n；當(dāng)k=2時，<-<_;2n n + 2 n，當(dāng)k=n時,<<2n n+ n n2 2n n+1卜十丁<_=1.原不等式成立.2nn題型四用反證法證明不等式9 .設(shè)a>0,b>0,且a+b=-+-.證明:Q占(1)a+b>2;(2)a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立.1.12有【解析】由a+b=I.,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b>2vGJ=2,即a+b>2.(2)假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時成立，則由a2+a<2及a>0得0<

11、a<1;同理得0<b<1,從而ab<1,這與ab=1矛盾.故a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立.10 .若a>0,b>0,且l+?=gb.ab求a3+b3的最小值；(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由._112【斛】（1）由，ab=a+信ab>2.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=q"2時等三成立.故a3+屋2廊3A4小,且當(dāng)a=b=42時等號成立.所以a3+b3的最小值為4/2.（2）由知，2a+3b>26->/ab>43.由于4y3>6,從而不存在a,b,使得2a+3b=6.1 .證明不等式的常用方

12、法有五種，即比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法.2 .應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般有下面幾個步驟：（1）分清命題的條件和結(jié)論；（2）作出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)；（3）由條件和假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；（4）斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開始所作的假設(shè)不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明了命題為真.3 .放縮法證明不等式時，常見的放縮法依據(jù)或技巧主要有：（1）不等式的彳遞性；（2）等量加不等量為不等量；（3）同分子（母）異分母（子）的兩個分式大小的比較.縮小分母、擴(kuò)大分子，分式值增大；縮小分子、擴(kuò)大分母，分式值減?。蝗坎簧儆诓糠?；每一次縮小其和變小，但需大于所求；每一次擴(kuò)大其

13、和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過頭，同時放縮有時需便于求和.123124 .放縮法的常用措施：（1）舍去或加上一些項，如a+2+4>a+萬；（2）將分子或分母放大（）72<7-2>r<f=>/=（kNk>1）kkk1kkk+1#出+k1也5+4k+1等.2ab qw/b, '不恒成立,>睛鋤鐮111111110-Ml=2+210+1+2+2+2”_1+20+22=1.【答案】B3.若不等式2上恒成立，則a的取值范圍是（A. 6, 1B.C.413D.6,2 2【解析】由已知ad t+F2恒成立，于是只要當(dāng)te(0, 2時,a<

14、r+2-a-a t + -max，記 f(t)g(t)=戶22,可知兩者都在（0, 2上單調(diào)遞減,1a< -+ 2f(t)min= f(2)2 min13二萬，！g(t)min= g(2) = 1 ,所以2131 .【答案】B4.已知a, b為實數(shù)，且A. 7 B1a>0, b>0.則 a+ b + -.9 D . 102 11a +弓+孑的最小值為（C ）【解析】因為a>0b>0,所以 a+ b+>313ax bx-= 3>0,同理可證:a + -+b43,1b>0.F=33由及不等式的性質(zhì)得5.下列結(jié)論正確的是（A.當(dāng)x>0且xwi時,

15、1a+ b + 一 a)1=9.【答案】C33/bX3lg x +;一 lg x>2 B .當(dāng) x>0 時,xfx + -7=>2x，,1, 一，C當(dāng)時，3的最小值為21 一一，D .當(dāng)°<"2時，"x無最大值解析：當(dāng)0vxv 1時,lg x_1當(dāng) x>0 時，>/x+1+ ； lg xWxix<0,. .A 錯誤;=2, /.B 正確;5當(dāng)42時，x+x的最小值為2，錯誤.當(dāng)0vxW2時,1，一，rx是增函數(shù)，最大值在x=2時取得，“錯誤.答案：Bx6 .若 P=+y z_，,、一，有 +不（x>0, y>0

16、, z>0），貝u p與3的大小關(guān)系為P<3x y z 1+x1+y1+z【解析】l+x。，1 + y>。，1 + z>0,， + <17； + + 壬=3.即 P<3.【答案】P<37 .某品牌彩電廠家為了打開市場，促進(jìn)銷售，準(zhǔn)備對其生產(chǎn)的某種型號的彩電降價銷售，現(xiàn)有四種降價方案：，一，入.，入，入，入.，入，-，入a+b.，-a+b先降價a%再降價b%(2)先降價b%再降價a%(3)先降價一5一%再降價一廠均(4)一次性降價(a+b)%.其中a>0,b>0,ab,上述四個方案中，降價幅度最小的是_X3>xi=X2>X4.解析

17、：麗價前彩電的價格為1,降價后彩電價格依次為XI、X2、X3、X4.則X1=(1a%)(1b%)=1(a+b)%+a%-b%X2=(1b%)(1a%)=X1,/a+b”,a+b12X3=1-2%1-2-%=1(a+b)%+4(a+b)%,X4=1(a+b)%<1(a+b)%+a%-b%=X1=X2,a%+b%2X3-X1=-2a%-b%>0X3>X1=X2>X4.8 .已知兩正數(shù)X,y滿足X+y=1,則z=x+X丫+；的最小值為凈.111yx1(X+y)22_2_2_2_4abc_ abVbc十2Xy2【解析】z=x+xy+y=Xy+Xy+X+y=Xy+w+Xy=X7+

18、Xy2,0<t=xy<號2由f(t)=t+，在0,二上單調(diào)遞減，故當(dāng)t=n時f(t)=t+；有最小值曾，t44t4所以當(dāng)x=y=；時，z有最小值25.【答案】25244“十111*9 .求證：彳+或+n2<2(nCR).證明.4<+1>-2=>；當(dāng)b=c時等號成立b c bc b+c=k2k(k1)k-1k'1111111111尹尹+7<1+(12)+(2(n-；)=1+(1-n)=2-n<2.10.設(shè)a、b、c均為正實數(shù)，求證：-+7+->-J=+-f=+abcabbc>jacb+cc+aa+b【證明】a,b,c均為正實數(shù)，

19、1124.a+b>相'幣當(dāng)a=b時等號成立4a+c三個不等式相加即得當(dāng)a=c時等號成立4b+c+4立c當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立即1+1+1>11|12+2+2abc,abbcacabb-1-cac11.已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,mCR,且f(x+2)>0的解集為1,1.求m的值；(2)若a,b,c大于0,且:+W+；=m,求證：a+2b+3c>9.a2b3c【解】(1)f(x+2)=m-|x|,f(x+2)>0等價于|x|<m.由|x|<m有解，得m$M且其解集為x|m<xwm.又f(x+2)>0的解集為1,1,(2)證

20、明：由(1)知1+4+4=1,a2b3c11a+2b+3c=(a+2b+3c)&+2b+3c2ba>3+2/y2b+2mi=1.a,b,=3+a3c.3c+2、/2b當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c=w時，等號成立.因此312.設(shè)a,b,cCR且a+b+c=1,試求:解：=a+b+c=1,a,b,c為正數(shù)，>(1+1+1)2,c大于0,2ba3caa2b+a3c3c2b+2b+3c2b=9.3ca+2b+3O9.2a+1+2b+1+2c+1的最小值.一+2bT7+K(2a+1+2b+1+2c+1)920T7+2bT7+中2當(dāng)且僅當(dāng)2a+1=2b+1=2c+1,一，1.即a=b=c時等

21、萬成立，當(dāng)a=b=c=不時,32a+1+2b+1+2c+19取最小值-.5答案：方案(3)13.設(shè)a>0,b>0,a+b=1,、1求證：ab+一ab1，一,用探索猜想，并將結(jié)果填在以下括號內(nèi):1ab+-2ab>(3)由(1)(2)歸納出更一般的結(jié)論，并加以證明.一一一，11一解析：(1)證法一：ab+ab>44?4ab17ab+4>0?(4ab1)(ab4)>0.ab=('/ab)2<a+b24ab<1,而又知1ab4<4,因此(4ab1)(ab成立,1證法二：ab+-ab=ab+4"-b1ab+ab151>4-.4a+b-ab<-2-2=1=0+42-ab，151542ab14.1當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等又ab+乙公，1當(dāng)且僅當(dāng)ab=42ab/ab214ab1,即ab=4,1=2，1.一a=b=2時取等故ab+白>2+17=41(當(dāng)且僅當(dāng)ab444證法三：=a>0,b>0,1,a=b=2時，等萬成立).1=a+b>2>/ab,