彈性力學(xué)與有限單元法試卷1

1、 至學(xué)年第學(xué)期出卷教師： 王建偉 適應(yīng)班級(jí)：土木10級(jí)考試方式：開卷報(bào)告形式 本試卷分?jǐn)?shù)考試占總評(píng)成績(jī)的 80%姓名： 悅敢超 學(xué)號(hào)：201048040603第一題：以平面應(yīng)力彈性力學(xué)問題為例，說明彈性力學(xué)的所研究問題的數(shù)學(xué)模型，并簡(jiǎn)單導(dǎo)出彈性力學(xué)位移法與應(yīng)力法的數(shù)學(xué)模型。（20分）第二題：采用半逆解法求解下面薄壁梁（其參數(shù)為厚度t ，高度h ，彈性模量E ，泊松比等）的變形后的應(yīng)力、應(yīng)變和位移？（20分） 第三題：以平面應(yīng)力彈性力學(xué)問題為例說明最小位能原理（能量法泛函極值）對(duì)問題的描述完全等價(jià)于第一題中的位移法描述（微分形式）。（20分）第四題：說明有限單元法的基本思想與基本步驟。要求：必須

2、準(zhǔn)確說明采用有限元法解題的每一步（不必計(jì)算），如你認(rèn)為有必要，可以結(jié)合例子說明。（20分）第五題（上網(wǎng)查資料）談一談你對(duì)有限元法的認(rèn)識(shí)，說明有限單元法在工程上的應(yīng)用，并舉出兩個(gè)以上的你有興趣的工程實(shí)例。說明今后有限元法的發(fā)展趨勢(shì)與方向。（20分）報(bào)告要求：1、報(bào)告中需圖形表述的可以借用講義中的圖形，如果無法找到合適圖形，可手繪于標(biāo)準(zhǔn)打印紙上，注意標(biāo)注清晰。除圖形外所有文字與公式必須打印。如不滿足上述要求，無成績(jī)處理。2、考勤不符合要求者，無成績(jī)處理。3、交報(bào)告時(shí)將此試卷作為報(bào)告首頁(yè)（填寫姓名與學(xué)號(hào)），其它報(bào)告內(nèi)容按順序裝訂后提交。一、解：平面應(yīng)力彈性問題的數(shù)學(xué)模型，就是8個(gè)方程應(yīng)力邊界條件和位

3、移邊界條件，目標(biāo)是求解8個(gè)未知（場(chǎng)）函數(shù)。位移法 二、解：（1）應(yīng)力函數(shù) （2）求應(yīng)力幾何方程物理方程（3）求應(yīng)變 四、解：有限單元法的思想就是先對(duì)位能泛函做離散近似，然后在變分求得位移解。位移有限元法最重要就是要建立Ka=P這個(gè)有限元方程（本質(zhì)為2n 個(gè)線性代入方程，后引入Su 條件求解即可），因而K和P的結(jié)成是關(guān)鍵。 具體解題步驟如下： 1單元剖分 把連續(xù)彈性體分割成許多個(gè)有限大小的單元，并為單元和節(jié)點(diǎn)編號(hào)。 2單元特征分析 以節(jié)點(diǎn)位移e 為基本未知量，設(shè)選一個(gè)單元位移函數(shù)，之后：（1）用節(jié)點(diǎn)位移表示單元位移，f=N e。（2）通過幾何方程用節(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)變，=B e。 （3）通過物理

4、方程用節(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)力，=G e。（4）通過虛功方程用節(jié)點(diǎn)位移表示節(jié)點(diǎn)力，F(xiàn)e=K ee，得出單元?jiǎng)偠染仃嚒?總體結(jié)構(gòu)合成（1）分析整理各單元?jiǎng)偠染仃?，通過節(jié)點(diǎn)的平衡方程形成節(jié)點(diǎn)載荷列陣、合成總體剛度矩陣，建立以節(jié)點(diǎn)位移為未知量的、以總體剛度矩陣為系數(shù)的線性代數(shù)方程：K =F。 （2）對(duì)線性代數(shù)方程組進(jìn)行邊界條件處理，求解節(jié)點(diǎn)位移。進(jìn)而由=G e可求得單元應(yīng)力。五、解：有限元法（finite element method）是一種高效能、常用的求解微分方程的計(jì)算方法。有限元法在早期是以變分原理為基礎(chǔ)發(fā)展起來的，所以它廣泛地應(yīng)用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場(chǎng)中（這類場(chǎng)與泛函的極值

5、問題有著緊密的聯(lián)系）。其基本思想是由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問題。基本原理是將連續(xù)的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來分片的表示求解域上待求的未知場(chǎng)函數(shù)，近似函數(shù)通常由未知場(chǎng)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在單元各節(jié)點(diǎn)的數(shù)值插值函數(shù)來表達(dá)，從而使一個(gè)連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。巖土工程應(yīng)用巖 土 工 程 較 為 復(fù) 雜， 這 一 方 面 是 因 為 巖 土 材 料 力 學(xué) 特 性 復(fù) 雜， 另 一方 面 也 因 為 地 質(zhì) 結(jié) 構(gòu) 復(fù) 雜， 且 具 隱 蔽 性， 無 法 完 全 勘 測(cè)， 從 而 導(dǎo) 致 巖 土 工 程 對(duì) 經(jīng) 驗(yàn) 的 依 賴 性 非 常 強(qiáng)。

6、 盡 管 如 此， 有 限 元 法 在 巖 土 工 程 中 也 得 到 了 普 遍 的 應(yīng) 用， 發(fā) 揮 的 作 用 越 來 越 大。 有 限 元 法 較 適 合 分 析 連 續(xù) 介 質(zhì) 的 力 學(xué) 問 題， 而 巖 體 類 材 料 屬 不 連 續(xù) 介 質(zhì)， 其 中 存 在 斷 層 和 眾 多 的 結(jié) 構(gòu) 面。 對(duì) 此 類 問 題， 人 們 提 出 了 一 些 特 殊 單 元 來 模 擬 它 們， 如 薄 層 單 元、Goodman 單 元 等， 較 好 地 解 決 了 這 一 問 題， 使 有 限 元 法 可 以 成 功 地 應(yīng) 用 到 巖 土 工 程 中， 為 巖 土 工 程 的 設(shè) 計(jì)

7、和 施 工 提 供 了 很 好 的 理 論 分 析 方 法 和 計(jì) 算 手 段。再 如 在 地 下 工 程 中， 通 過 線 性 或 非 線 性 有 限 元 法 對(duì) 圍 巖 進(jìn) 行 結(jié) 構(gòu) 分 析， 可 以 預(yù) 測(cè) 地 下 洞 室 開 挖 后， 圍 巖 的 變 形、 應(yīng) 力 重 分 布 情 況 及 洞 室 的 穩(wěn) 定 性， 為 地 下 洞 室 的 可 行 性 研 究 提 供 理 論 根 據(jù)。 有 限 元 法 與 大 變 形、 流 變 和 損 傷 等 理 論 相 結(jié) 合， 還 可 研 究 洞 室 的 長(zhǎng) 期 穩(wěn) 定 性、 破 壞 規(guī) 律 和 過 程， 為 經(jīng) 濟(jì)、 科 學(xué) 地 設(shè) 計(jì) 有 效 支

8、 護(hù) 形 式 和 分 析 加 固 效 果 提 供 可 靠 參 數(shù)。 在 邊 坡、 土 壩 和 地 基 等 工 程 的 研 究 過 程 中 也 較 多 使 用 了 有 限 單 元 法， 用 來 分 析 在 荷 載 作 用 下 的 變 形、 穩(wěn) 定 和 加 固 等 問 題。 如 在 邊 坡 的 開 挖 過 程 中， 穩(wěn) 定 性 致 關(guān) 重 要。 過 去 由 于 受 計(jì) 算 手 段 的 限 制， 常 采 用 剛 體 極 限 平 衡 法， 往 往 過 于 保 守。 采 用 非 線 性 有 限 元 法 后， 可 以 分 析 整 個(gè) 邊坡 的 變 形 狀 態(tài)， 確 定 危 險(xiǎn) 的 區(qū) 域 或 巖 塊， 找

9、 出 可 能 的 滑 動(dòng) 面， 計(jì) 算 相 應(yīng) 的 穩(wěn) 定 安 全 系 數(shù)， 還 可 分 析 加 固 效 果 和 施 工 程 序 對(duì) 穩(wěn) 定 性 的 影 響。 由 于 巖 土 類 材 料 力 學(xué) 參 數(shù) 的 隨 機(jī) 性 和 地 質(zhì) 結(jié) 構(gòu) 的 不 確 定 性， 人 們 在 有 限 元 法 中 引 進(jìn) 了 概 率 理 論， 產(chǎn) 生 了 隨 機(jī) 有 限 元 法， 其 結(jié) 果 更 具 參 考 價(jià) 值。有 限 元 法 在 求 解 具 體 問 題 時(shí)， 首 先 要 形 成 所 謂 的 網(wǎng) 格 信 息。 對(duì) 于 連 續(xù) 介 質(zhì) 和 比 較 規(guī) 則 的 區(qū) 域， 目 前 的 有 限 元 法 軟 件 都 能

10、較 方 便 地 自 動(dòng) 生 成 網(wǎng) 格 和 坐 標(biāo) 信 息。 對(duì) 于 巖 體 這 類 不 連 續(xù) 介 質(zhì) 材 料， 其 眾 多 的 結(jié) 構(gòu) 面 對(duì) 網(wǎng) 格 的 生 成 帶 來 了 很 大 的 麻 煩。 而 這 些 地 質(zhì) 結(jié) 構(gòu) 面 對(duì) 巖 體 的 力 學(xué) 性 能 有 直 接 的 影 響， 在 利 用 有 限 元 法 進(jìn) 行 分 析 時(shí) 必 須 加 以 模 擬。 如 何 根 據(jù) 地 質(zhì) 信 息， 由 計(jì) 算 機(jī) 自 動(dòng) 形 成 網(wǎng) 格， 這 方 面 工 作 還 值 得 研 究。 為 避 免 上 述 困 難， 已 經(jīng) 有 些 學(xué) 者 提 出 了 一 些 新 的 數(shù) 值 分 析 方 法， 如 塊

11、體 單 元 法、DDA 和 無 單 元 網(wǎng) 格 法 等。機(jī)械工程應(yīng)用有限元技術(shù)的出現(xiàn)為機(jī)械工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)、制造提供了強(qiáng)有力的工具，它可以解決許多以往手工計(jì)算根本無法解決的問題，為企業(yè)帶來巨大的經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益。在現(xiàn)代機(jī)械工業(yè)中要設(shè)計(jì)生產(chǎn)出性能優(yōu)越、可靠的機(jī)械產(chǎn)品，不應(yīng)用計(jì)算及進(jìn)行輔助設(shè)計(jì)分析是根本無法實(shí)現(xiàn)的，因此目前各生產(chǎn)設(shè)計(jì)部門都非常重視在設(shè)計(jì)制造過程中采用先進(jìn)的計(jì)算機(jī)技術(shù)。近年來，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)機(jī)械零部件的有限元分析進(jìn)行了大量的研究，歸納起來主要是以下幾個(gè)方面：a 靜力學(xué)分析。當(dāng)作用在結(jié)構(gòu)上的載荷不隨時(shí)間變化或隨時(shí)間的變化十分緩慢，應(yīng)進(jìn)行靜力學(xué)分析。這是對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)受力后的應(yīng)力、應(yīng)變和變

12、形的分析，是有限元法在機(jī)械工程中最基本、最常用的分析類型。 b 動(dòng)力學(xué)分析。機(jī)械零部件在工作時(shí)不僅受到靜載荷作用，當(dāng)外界有與其固有頻率相近的激勵(lì)時(shí)，還會(huì)引起共振，嚴(yán)重破壞結(jié)構(gòu)從而引起失效。故零部件在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)，在滿足靜態(tài)剛度要求條件下，要檢驗(yàn)動(dòng)態(tài)剛度。C 熱應(yīng)力分析。這類分析用于研究結(jié)構(gòu)的工作溫度不等于安裝溫度時(shí)或工作時(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在溫度分布時(shí)，結(jié)構(gòu)內(nèi)部的溫度應(yīng)力。d 接觸分析。接觸分析用于分析兩個(gè)結(jié)構(gòu)物發(fā)生接觸時(shí)的接觸面狀態(tài)、法向力等。由干機(jī)械結(jié)構(gòu)中結(jié)構(gòu)與結(jié)構(gòu)間力的傳遞均是通過接觸來實(shí)現(xiàn)的，所以有限元法在機(jī)械結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用很多都是接觸分析。 這是一種非線性分析， 以前受計(jì)算能力的制約

13、， 接觸分析應(yīng)用的較少。 e 屈 曲分析。 這是一種幾何非線性分析，用于確定結(jié)構(gòu)開始變得不穩(wěn)定時(shí)的臨界載荷 和屈曲模態(tài)形狀，例如壓桿穩(wěn)定性問題。 有限元法最初應(yīng)用在求解結(jié)構(gòu)的平面問題， 發(fā)展至今已由二維問題擴(kuò)展到三 維問題、板殼問題，由單一物理場(chǎng)的求解擴(kuò)展到多物理場(chǎng)的耦合，由靜力學(xué)問題 擴(kuò)展到動(dòng)力學(xué)問題、穩(wěn)定性問題，由結(jié)構(gòu)力學(xué)擴(kuò)展到流體力學(xué)、電磁學(xué)、傳熱學(xué) 等學(xué)科，由線性問題擴(kuò)展到非線性問題，由彈性材料擴(kuò)展到彈塑性、塑性、黏彈 性、黏塑性和復(fù)合材料，從航空技術(shù)領(lǐng)域擴(kuò)展到航天、土木建筑、機(jī)械制造、水 利工程、 造船、 電子技術(shù)及原子能等， 其應(yīng)用的深度和廣度都得到了極大的拓展。 有限元法的發(fā)展過程是與計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展緊密相聯(lián)的。只有計(jì)算機(jī)技術(shù)高度 發(fā)展以后，有限元法才得到廣泛的應(yīng)用。一個(gè)復(fù)雜的問題的求解，過去用小型機(jī) 花費(fèi)幾天才能得到結(jié)果， 現(xiàn)在用PC機(jī)幾個(gè)小時(shí)就能完成同樣的工作。商業(yè)有限元 軟件也由只能在大中型計(jì)算機(jī)