微積分-D8_3平面和直線ppt課件

1、第四節(jié)一、平面方程平面與直線 第八章 二、空間直線方程二、空間直線方程 三、線面的典型問題zyxo0Mn一、平面方程),(0000zyxM設一平面經(jīng)過知點且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM稱式為平面的點法式方程,求該平面的方程.,),(zyxM任取點zz,yy,xx000法向量.量nMM000nMMMM0那么有 故的為平面稱n, C,B,An 平面的矢平面的矢量方程量方程留意：和平面垂直的向量都可取為平面的法向量留意：和平面垂直的向量都可取為平面的法向量1、平面的點法式方程、平面的點法式方程kji例例1.1.求過三點求過三點,1M又1,9,140)4() 1(9)2(14z

2、yx015914zyx即1M2M3M解解: 取該平面取該平面 的法向量的法向量為為),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用點法式得平面 的方程346231nn3121MMMM此平面的三點式方程也可寫成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx普通情況普通情況 : 過三點)3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程為闡明闡明: :特別特別, ,當平面與三坐標軸的交點分別為當平面與三坐標軸的交點分別為此式稱為平面的截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQa

3、P1czbyax時,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程為 PozyxRQ分析:利用三點式 按第一行展開得 即0axyzab0a0c2、平面的普通方程設有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點法式方程此方程稱為平面的普通方程0DzCyBxA任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx那么0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA顯然方程與此點法式方程等價, )0(222CBA的平面, 因此方程的圖形是法向量為 ,CBAn 定理：任何關于定理：任何關于x,y,z的三元一次方程都表示一張平面的三元一次方程都表示一張平面特殊情形特殊情形 當當

4、 D = 0 D = 0 時時, A x + B y + C z , A x + B y + C z = 0 = 0 表示表示 經(jīng)過原點的平面經(jīng)過原點的平面; 當當 A = 0 時時, B y + C z + D = 0 的法向量的法向量平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示表示 A x+B y+D = 0 表示表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0iCBn

5、例例2. 求經(jīng)過求經(jīng)過 x 軸和點軸和點( 4, 3, 1) 的平面方程的平面方程.解解: : 因平面經(jīng)過 x 軸 ,0 DA故設所求平面方程為0zCyB代入知點) 1,3,4(得BC3化簡,得所求平面方程03 zy因此有例例3. 一平面經(jīng)過兩點一平面經(jīng)過兩點垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解( (一一: : 設所求平面的法向量為設所求平面的法向量為,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC約去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M,

6、 )1, 1,0(2M和那么所求平面故方程為 n21MMn且,CBAn二二平面平面的方程為的方程為x+y+z=01 , 1 , 11n其法向量,2 , 0 , 121MM又故所求平面的法向量取為故所求平面的法向量取為211MMnn201111kjikji 211, 2利用法點式可得平面的方程為利用法點式可得平面的方程為0) 1() 1() 1(2zyx即即02zyx二、空間直線方程xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其普通式方程1. 1. 普通式方程普通式方程 直線可視為兩平面交線，(不獨一),(0000zyxM2. 對稱式方程對稱式方程故有闡明闡明: (1)

7、某些分母為零時某些分母為零時, 其分子也了解為零其分子也了解為零.mxx000yyxx設直線上的動點為 那么),(zyxMnyy0pzz0此式稱為直線的對稱式方程(或點向式方程，規(guī)范方程)直線方程為s知直線上一點),(0000zyxM),(zyxM例如, 當,0, 0時pnm和它的方向向量 sMM/0,pnms (2)和直線平行的非零向量都可取為直線的方向向量3. 參數(shù)式方程參數(shù)式方程設得參數(shù)式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0(3)假設給定直線上兩相異點假設給定直線上兩相異點),2 , 1)(,(izyxMiiii那那么么21MMs 直線的方向向量可取為直線的方

8、向向量可取為直線直線L的矢量方程為的矢量方程為s trr000,OMrOMr留意：直線方程的三種方式可相互轉(zhuǎn)化留意：直線方程的三種方式可相互轉(zhuǎn)化例例4.4.用對稱式及參數(shù)式表示直線用對稱式及參數(shù)式表示直線解：法一：解：法一：(1(1先在直線上找一點先在直線上找一點. .043201 zyxzyx632zyzy2再求直線的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程組,得交知直線的兩平面的法向量為是直線上一點 .)2,0, 1(故.s21ns,ns21nns可取,1 , 1 , 11n,3 , 1, 22n故所給直線的對稱式方程為參數(shù)式方程為tztytx32 41t41x1y32z解題思緒解題思緒

9、: :先找直線上一點;再找直線的方向向量.3, 1,421nns312111kji法二：法二：由方程組得由方程組得)2(023) 1 (0543zyzx由由2得得32zy由由1得得3241zx32141zyx故直線的標準方程為：)1 ,2, 1(A,11231:1zyxLiL設直線解：解：,2上在因原點LO12:2zyxL相交,求此直線方程 .的方向向量為過 A 點及 的平2L面的法向量為那么所求直線的方向向量方法方法1 利用叉積利用叉積. ),2, 1( isi, n,1nss所以OAsn2121112kjikji333例5、不斷線過點 且垂直于直線 又和直線nOA2L2s與設所求直線的交點

10、為512231zyx12000zyx0000,2yzyx待求直線的方向向量方法方法2 利用所求直線與利用所求直線與L2 的交點的交點 .即故所求直線方程為 2L),(000zyxB那么有2L) 1 , 2 , 1 (Anss1333123kji)523(3kji),(000zyxB0) 1()2(2) 1(3000zyx78,716,78000zxy512231zyx0000,2yzyx將代入上式 , 得由點向式得所求直線方程而1, 2, 1000zyxAB5,2,3731L2L) 1 , 2 , 1 (A),(000zyxB715,76,79AB三、線面間的典型問題三、線面間的典型問題一、間

11、隔問題一、間隔問題1、平面外一點到該平面的間隔、平面外一點到該平面的間隔設平面設平面的方程為的方程為0DCzByAx),(0000zyxP外一點,求0DzCyBxA是平面到平面的間隔d .0P222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解: :設平面法向量為設平面法向量為),(1111zyxP在平面上取一點,那么P0 到平面的間隔為01PrjPPdnnnPP010P1Pnd(點到平面的間隔公式點到平面的間隔公式), ,CBAn xyzo0M例例6.解解: : 設球心為設球心為求內(nèi)切于平面 x + y + z = 1 與三個坐標

12、面所構成那么它位于第一卦限,且2220001111zyx00331xx , 1000zyxRzyx000因此所求球面方程為000zyx633331, ),(0000zyxM四面體的球面方程.從而)(半徑R2222)633()633(633)633(zyx2、直線外一點到該直線的間隔、直線外一點到該直線的間隔,:000nzzmyylxxL),(1111zyxP是直線是直線L外一點，外一點，求點求點 到直線到直線L的間隔的間隔1P),(1111zyxP),(0000zyxPLdsin10PPd sin1010sPPsPPssPPd10,01010110zzyyxxPP , sl m n二、兩平面的

13、相互關系二、兩平面的相互關系C,B,An1111設平面1的法向量為 平面2的法向量為那么兩平面夾角 的余弦為 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.122n1n2121cosnnnn C,B,An22221、兩平面的夾角、兩平面的夾角2特別有以下結論：特別有以下結論：21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAAC,B,An:C,B,An:22222111111122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n2L1L三、直線與直線的關系三、直線與直線的關系1. 兩直線的

14、夾角兩直線的夾角 那么兩直線夾角 滿足21, LL設直線 兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)的方向向量分別為212121ppnnmm212121pnm222222pnm2121cosssss 1s2s, ,22221111pnmspnms特別有特別有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss2、兩直線共面的條件、兩直線共面的條件0)(2121ssPP兩直線共面兩直線共面其中其中分別為兩直線上的點21,PP例例7. 7. 求以下兩直線的夾角求以下兩直線的夾角解解: : 直線直線直線二直線夾角 的余弦為13411:1zyx

15、L0202:2zxyxL cos22從而4的方向向量為1L的方向向量為2L1,2,2) 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(22010112kjis 1,4, 11s例例8 8、斷定兩直線、斷定兩直線121221:1zyxL和和113269:2zyxL能否相交？能否相交？解：在兩直線上分別取點解：在兩直線上分別取點) 1, 2 , 9(),2 , 2, 1 (21PP那么那么,3, 4 , 821PP,1, 1 , 21s又1 , 3 , 62s0136112348)(2121ssPP共面與兩直線21LL11-3162又不平行，因而一定相交與兩直線21LL思索：此處能否思

16、索：此處能否只直接判別兩直只直接判別兩直線不平行？線不平行？當直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角;L1. 直線與平面的夾角直線與平面的夾角當直線與平面不垂直時,設直線 L 的方向向量為 平面 的法向量為那么直線與平面夾角 滿足.2222222CBApnmpCnBmA直線和它在平面上的投影直),cos(sinnsnsns sn四直線與平面間的關系四直線與平面間的關系,CBAn ,pnms 特別有特別有: :L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns解解: : 取知平面的法向量取知平面的法向量421zyx那么直線的對稱式方程為0432zyx直的直線方程.

17、為所求直線的方向向量. 132垂 n例例9. 求過點求過點(1,2 , 4) 且與平面且與平面1,3,2n2、直線與平面的交點、直線與平面的交點,:000pzzmyylxxL0:DCzByAx求求L與與的交點的交點做法：將直線方程寫成參數(shù)方程代入平面方程，做法：將直線方程寫成參數(shù)方程代入平面方程，求出交點處的參數(shù)值，再代入?yún)?shù)方程求得交點的坐標求出交點處的參數(shù)值，再代入?yún)?shù)方程求得交點的坐標241312zyx例例10. 10. 求直線求直線與平面062zyx的交點 . 提示提示: : 化直線方程為參數(shù)方程化直線方程為參數(shù)方程代入平面方程得 1t從而確定交點為1，2，2.tztytx2432t五

18、、平面束方程五、平面束方程定義：定義：為L0:22222DzCyBxA0:11111DzCyBxA的交線，的交線，的所有平面的交線和稱過L21所確定的平面束和為由21定理：定理：表示為所確定的平面束方程可和210)()(22221111DzCyBxADzCyBxA(*)為不同時為零的常數(shù)其中,稱稱* *) )為雙參數(shù)平面束方程為雙參數(shù)平面束方程證明要點：證明要點：1 1、* *表示一張平面表示一張平面所確定的平面和由、21(*)2(3、過、過L的任何平面都包括在的任何平面都包括在*所表示平面內(nèi)所表示平面內(nèi)雙參數(shù)平面束方程包括雙參數(shù)平面束方程包括的方程21,單參數(shù)平面束方程：單參數(shù)平面束方程：0

19、)(22221111DzCyBxADzCyBxA0)(22221111DzCyBxADzCyBxA(*)*)*(*(*)不包含平面方程不包含平面方程02222DzCyBxA*)*(*不包含平面方程不包含平面方程01111DzCyBxA闡明：闡明：普通假設可確定某些平面不含其中，那么平面束方普通假設可確定某些平面不含其中，那么平面束方程可設為單參數(shù)平面束方程程可設為單參數(shù)平面束方程例例11 11 求經(jīng)過直線求經(jīng)過直線,115312:1zyxL且平行于直線且平行于直線010201622:2zyzyxL的平面的平面的方程的方程解：解：0101351zxyxL 化為一般式為：將1L過平面的方程為：設平

20、面0) 1()135(zxyx0-135zyx）即（2, 1 , 02, 2 , 12sL 的方向向量210221kji1 , 2 , 22L02)5(28代入消去代入消去得得0583zyx為所求平面方程為所求平面方程例例12 12 求經(jīng)過直線求經(jīng)過直線01032:zyxzyxL且與平面且與平面：02zyx垂直的平面方程垂直的平面方程解法一：解法一：設過直線L的雙參數(shù)平面束方程為(23)(1)0 xyzxyz()(2)()30 xyz即所求平面與平面 垂直()(2)( 2)()( 1)060,0即故所求平面方程為10 xyz 故所求平面方程為10 xyz 解法二：解法二：230:20 xyzx

21、yz 與不垂直(23)10 xyzxyz 可設所求平面方程為：(1)(12 )(1)310 xyz 即所求平面與平面 垂直(1)(12 )( 2)(1)( 1)0 0故所求平面方程為10 xyz 闡明：此處不能用參數(shù)方程闡明：此處不能用參數(shù)方程23(1)0 xyzxyz 解法三：用平面的普通方程做解法三：用平面的普通方程做解法四：用平面的點法式方程做解法四：用平面的點法式方程做5,15,100) 1(5) 1(15) 1(10zyx0632zyx思索題思索題1求過點 且垂直于二平面 和 的平面方程.) 1 , 1 , 1 (7zyx051223zyx解解: 知二平面的法向量為知二平面的法向量為

22、取所求平面的法向量 那么所求平面方程為化簡得21nnn,1, 1, 11n12,2,32n)1 ,2, 1(A,11231:1zyxLiL設直線解：解：,2上在因原點LO12:2zyxL相交,求此直線方程 .的方向向量為過 A 點及 的平2L面的法向量為那么所求直線的方向向量方法方法1 利用叉積利用叉積. ),2, 1( isi, n,1nss所以OAsn2121112kjikji333不斷線過點 且垂直于直線 又和直線思索題思索題2nOA2L2s設所求直線與的交點為512231zyx12000zyx0000,2yzyx待求直線的方向向量方法方法2 利用所求直線與利用所求直線與L2 的交點的交點 .即故所求直線方程為 2L),(000zyxB那么有2L) 1 , 2 , 1 (Anss13331