§4.3協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)及矩.

1、43協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)及矩也八結(jié)4.3.1協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)對于二維隨機變量（x, y）,除了討論 x 與 y 的 數(shù)學(xué)期望和方差之外還要給出一個描述 x 與 y 之間相互關(guān)系的數(shù)字特征.由上節(jié)可知，若 x 與 y 相互獨立，則有EX -E（X）EY -E（r） = O 若 -E（X）E|y -E（y）#O,則說明 X 與丫不相互獨立，而是有一定的關(guān)系的.1定義fi EX - E( (X 川 y - E( (y) )稱為隨機變量X 與丫的協(xié)方差記為 Cov( X ,F ),即Cov( (x,y) )=Ex -E(X川 y - E( (y) ).KCov( X.Y)PXY= a( (X) ) (Y)

2、稱為隨機變量 x 與 y 的相關(guān)系數(shù)2協(xié)方差的性質(zhì)(1) Cov( X,r )= Cov( Y.X );(2) Cov( aX ,bY) = ab Cov( X為常數(shù)；(3) Cov( X, +) = Cov( X,y ) + Cov( X2,Y ).e = E(Y -( +bX )=E(Y)bE(X)a - 2bE(XY ) + 2abE (X )-2aE( (y )將分別關(guān)于 G#求偏導(dǎo)數(shù)并令它們等于零得竺=2a + 2 方 E ( X ) - 2E( (y ) = 0,解得“寫護一(臚冊將代入 e = E(Y -(abX )中得mine =E(Y-(aQ+bnX)2a.bw=(I-P；T

3、) )D( (y) ).(2)相關(guān)系數(shù)的意義演示是一個可以用來表征之間線性緊密 程度的 K 當(dāng) PXY較大時 0 較小，表明 X的線性關(guān)系聯(lián) 系較緊密當(dāng)PXY較小時，x”線性相關(guān)的程度較差2AE(X )-注意r 不相關(guān)與相互獨立的關(guān)系相互獨立=不相關(guān)r 不相關(guān)的充要條件X, Y 不相關(guān) o pXY= 0o Cov( (x,y) )=()()o E(XY) = E(X)E(Y)當(dāng)/(2)Pxr=1 的充要條件是存在常數(shù)上使PY = a + 6X = 1 事實上，|pj= 1= E(Y -(叫 +久 X) = 0 = o = E( (y-( (0+z0 x)2-OY 一(叭 +b0X) + E(Y

4、 一(叫 +bQX)2= DY -( (H) ) = 0,EY -(ao+ 0X) = 0 由方差性質(zhì)知PY九 X) = 0= 1.或 PY =a0+/r0X= 1.例|已知隨機變量x和y的聯(lián)合分布律:1(10.070.180.15O.OS032.20求x和y的協(xié)方差Y Y）和相關(guān)系數(shù)pw解先求出關(guān)于x和y邊緣分布律及xy的分布律:X01Y-1(1XY1O10.40.6(M50.50.35叭叭0080.720.2例2已知二維隨機變量（x,r）的概率密度為x + y,0 v x v 1,0 j h0,其他.求和y的協(xié)方差c“( (X,X, Y Y)和相關(guān)系數(shù)P、廠 解E(X)=E(X)=f fx

5、(xx(xy y )dxdy)dxdy = =9 9Jo Jo12T(X2) = J Jx x2 2(x(x y)dxdyy)dxdy = =, ,o 22 211D(X)D(X) = = E(XE(X2 2)-lE(X)f)-lE(X)f = =，144/（“）=例 3 設(shè)（x,y）-試求 x 與 y 的相關(guān)系數(shù)解 由 /（X,J）=- /=2S _ PA( (J) )=-7=-e2:2na2n E(X) = “()=“,，D(X)；,D( (y) )“ 而Cov( X,y) )=A2) )/(x,)dxd jJ 00 J o0 x 與 y不相關(guān) x 與 y 相互獨立（i）二維正態(tài)隨機變最（

6、x,y 的概率密度中的參數(shù)P就是 x 與 y 的相關(guān)系數(shù)，因而二維正態(tài)隨機變量 的分布完全可由 X各自的數(shù)學(xué)期里.方差以及它們 的相關(guān)系數(shù)所確定.歲笫“嚴.E E（X X）E E（Y Y）D D（X X）D D（Y Y） p pXYXY（2）對于二維正態(tài)隨機變量（x,r）來說，+ co +e22-（故有 cov（x,r）= m 衛(wèi) 2 于是結(jié)論Cov（x,y）-CO J-aO4.3.2矩1定義設(shè) x 和 y 是隨機變量，若 E(Xk k = 1,2, 存在.稱它為x 的 R 階原點矩簡稱 k 階矩若 EX -k = 2,3-存在，稱它為 X 的*階中心矩若 E(XkY kj 1,2,.存在，稱

7、它為 x 和 y 的 k +/階混合矩.若 EX - E(X)kY - E(Y), kJ = 1,2, 存在，稱它為x 和 y 的 k + /階混合中心矩2說明(1)以上數(shù)字特征都是隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；(2) 隨機變 st X 的數(shù)學(xué)期望 E(X)是 X 的一階原 點矩，方差為二階中心矩，協(xié)方差 Cov( (x )是 x與 y 的二階混合中心矩 ；(3) 在實際應(yīng)用中，高于 4 階的矩很少使用 三階中心矩 EX -E(X)fE(X)f主要用來衡量i機變量的分布是否有偏.四階中心矩EX-E(X)YEX-E(X)Y主要用來衡量 隨機變量的分布在均值附近的陡出肖程度如何.1 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的定

8、義和公式Cov(X,y) )= EX-E(X)Y -E( (r) )cov( (,r) )D(X+r) )= D( (x) )+ D( (y) )+2Cov( (x,y) ),Cov(X.Y) = E(XY)-E(X)E(Y).2 相關(guān)系數(shù)的意義當(dāng)PXY|較大時，x, y 的線性相關(guān)程度較高 當(dāng)PXY|較小時，x ,y 的線性相關(guān)程度較差 當(dāng)= 0 時，x 和 y 不相關(guān).矩數(shù)學(xué)期望E（X）是 x 的一階原點矩；方差 D（x）是 X 的二階中心矩；協(xié)方差 Cov（x,y）是 x 與 y 的二階混合中心矩.y 已知隨機變量分別服從 N(l,3),N(0 屮),Px、=-12,設(shè) Z = X 3 + y/2 (1)求 Z 的數(shù)學(xué)期望和方差(2)求 X 與 Z 的相關(guān)系數(shù)(3)問 X 與 Z 是否相互獨立 ？為什么？解( (1)由 E(X)= 1,D(X) = 9, E( (y) )= O, D(Y)= 16 Hx y 1i得 E(Z)=E(+-) = -E(X)+E(Y )D(Z)=D( )+D(-)+2Cov(A,-)1 1 1D(X )+)+ -Cov( X)94311=D(X)+ D( (y)H94y-pXY、力(X) )十D(Y)332323 2=1 + 4-2 = 3.X Y(2) Cov( X,Z) = Cov( X .+ -)321