第6章_柱體的扭轉(zhuǎn)薄板彎曲

1、第6章 變分原理在結(jié)構(gòu)力學(xué)中應(yīng)用-柱體的扭轉(zhuǎn)、薄板的彎曲本章繼續(xù)介紹變分原理在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的應(yīng)用，前三節(jié)是講柱體扭轉(zhuǎn)問題，后八節(jié)講薄板彎曲問題。6.1 柱體扭轉(zhuǎn)的基本方程圖6.1柱體扭轉(zhuǎn)6.1.1變形假設(shè) 柱體扭轉(zhuǎn)時(shí)，其橫截面在原平面上的投影只有剛體轉(zhuǎn)動(dòng)、但允許有軸向的自由翹曲。如果取軸向?yàn)檩S，橫截面為平面，為單位長(zhǎng)度的轉(zhuǎn)角，為某個(gè)橫截面的轉(zhuǎn)角。在平面內(nèi)某一點(diǎn)在變形前后的位置分別為圖6.2橫截面變形其中為該點(diǎn)變形前的角度，為該點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度。因此位移場(chǎng)為這里為自由翹曲函數(shù)，由此對(duì)應(yīng)的應(yīng)變?yōu)?對(duì)應(yīng)的變形協(xié)調(diào)條件為 (6.1.1)6.1.2 平衡方程根據(jù)廣義Hook定律，由于從而有， 因此應(yīng)力平衡方程

2、只剩一個(gè) (6.1.2)6.1.3 邊界條件柱體兩端邊界上應(yīng)用圣維南原理，有 (6.1.3)其中為作用在柱體上的扭矩。 柱體兩個(gè)側(cè)面自由, 沒有任何載荷, 那么應(yīng)力邊界條件為 (6.1.4)其中為側(cè)面的外法線方向。6.2 柱體扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力函數(shù)解法根據(jù)應(yīng)力平衡方程可以引進(jìn)應(yīng)力函數(shù)，也就是說假設(shè) (6.2.1) (6.2.2)這樣的和自動(dòng)滿足平衡方程。變形協(xié)調(diào)條件(6.1.1)再結(jié)合彈性本構(gòu)關(guān)系得到 (6.2.3)把用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力代入該方程得到 (6.2.4)也就是說, 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)該滿足Poisson方程。由于柱體側(cè)面是自由，根據(jù)應(yīng)力邊界條件其中為側(cè)面邊界(橫截面的邊界)的外法線方向 (6.2

3、.5)圖6.3外法線分量的計(jì)算用應(yīng)力函數(shù)表示的邊界條件為 (6.2.6)由此得到沿著邊界應(yīng)力函數(shù)為常數(shù) (6.2.7)更進(jìn)一步, 如果橫截面是單連通區(qū)域，可以令邊界上 而不影響分析結(jié)果。圖6.4多連通區(qū)域如果橫截面是多連通區(qū)域，那么可以令外邊界上應(yīng)力函數(shù)為零而在內(nèi)部每個(gè)邊界上應(yīng)力函數(shù)滿足 (6.2.8)該邊界條件和應(yīng)力函數(shù)所必須滿足的泊松方程構(gòu)成了微分方程的邊值問題.當(dāng)邊界比較簡(jiǎn)單時(shí)(如圓和矩形截面), 可以直接求解。在兩個(gè)端面上的力等效邊界條件為應(yīng)用Green公式得到 (6.2.9)式中為內(nèi)邊界所圍成的面積（這里注意內(nèi)邊界的走向）。對(duì)于單連通區(qū)域情況下 (6.2.10)其中我們稱為扭轉(zhuǎn)剛度。

4、6.3 柱體扭轉(zhuǎn)的最小余能定理扭轉(zhuǎn)問題對(duì)應(yīng)的應(yīng)變余能 (6.3.1)用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)變余能為 (6.3.2)為了去除剛體位移,假設(shè)一個(gè)端面(比如)處固定，另外一個(gè)側(cè)面轉(zhuǎn)過的角度為，那么在另外一個(gè)端面上轉(zhuǎn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的余能為 (6.3.3)對(duì)于橫截面是單連通區(qū)域情況下，外力余能為 (6.3.4)所以總的余能為 (6.3.5)根據(jù)最小余能定理,彈性力學(xué)的精確解要求要求總余能取最小值。現(xiàn)在總余能是關(guān)于應(yīng)力函數(shù)的泛函, 總余能泛函的變分為 應(yīng)用格林公式得到所以有 (6.3.6)由余能泛函取極小值()可以得到用應(yīng)力函數(shù)表示的平衡方程為 (6.3.7)這和我們前面用平衡條件得到的方程。6.4. 薄板彎曲的基

5、本假設(shè)圖6.5 薄板彎曲薄板彎曲問題的經(jīng)典理論是Kirchhoff和Love所建立，主要假定為1) 薄板的厚度比薄板跨度要小得多。2) 薄板中面的擾度和薄板的厚度是同一個(gè)量級(jí)。由此可以得到如下的假設(shè)：1) 直法線假設(shè): 變形前位于中面法線上各點(diǎn), 變形后仍位于彈性曲面的同一法線上, 且法線上各點(diǎn)之間的距離不變, 也就是說沿厚度的變化可以忽略不見。2) 應(yīng)力假設(shè): 與其他應(yīng)力相比, 沿厚度方向的正應(yīng)力可以忽略不見,也就是說。與梁彎曲分析類似, 假設(shè)薄板彎曲后在中面內(nèi)坐標(biāo)為點(diǎn)的位移為其中位移也稱為是撓度, 它發(fā)生于薄板最容易變形的方向(厚度方向),一般可以和厚度是同一個(gè)量級(jí)(在小變形時(shí), 要比板的

6、橫向尺寸小得多), 而中面面內(nèi)位移和則一般要遠(yuǎn)小于撓度。在中面上的應(yīng)變?yōu)?(6.4.1) (6.4.2) (6.4.3)與中面距離為處任意一點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)?(6.4.4) (6.4.5) (6.4.6)我們記撓曲面的曲率為 (6.4.7)扭率為 (6.4.8)那么應(yīng)變?yōu)?(6.4.9)對(duì)應(yīng)的變形協(xié)調(diào)條件為 (6.4.10)6.5. 薄板彎曲的應(yīng)力分析根據(jù)廣義Hook定律, 中面內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力為 (6.5.1)其中為材料的楊氏模量, 為材料的泊松比, 為材料的剪切模量, 同理, 距中面距離為處的應(yīng)力為 (6.5.2)最終得到 (6.5.3)也就是說, 任意一點(diǎn)的應(yīng)力可以分成兩部分, 其中一部分是中面面

7、內(nèi)應(yīng)力, 稱為薄膜力；另外一部分與位置有關(guān), 稱為彎曲應(yīng)力。圖6.6薄板的應(yīng)力6.6 薄板彎曲的內(nèi)力分析在外法線方向與軸平行的橫截面上的內(nèi)力有 (6.6.1)其中為面內(nèi)力, 稱為薄膜力, 為彎矩, 為剪力, 為扭矩。注意:板中內(nèi)力的方向和量綱與梁的彎曲問題是有差異的，見圖6.6。同理，在外法線方向與軸平行的橫截面上的內(nèi)力有 (6.6.2)根據(jù)剪應(yīng)力互等定理, 因此有 (6.6.3)此外，將（6.5.3）代入到（6.6.1）（6.6.2）得到 (6.6.4)把用位移表示的應(yīng)力表達(dá)式（6.5.3）代入內(nèi)力表達(dá)式中得到 (6.6.5)其中稱為板的彎曲剛度。6.7 薄板彎曲的平衡方程通過板的微元平衡，

8、可以得到下列用內(nèi)力表示的平衡方程 其中為作用在板上的橫向分布載荷。上面第三個(gè)方程（方向力的平衡方程）中已考慮到中面變形后薄膜力在方向的投影。把用位移表示的內(nèi)力表達(dá)式代入到平衡方程中可以得到 (6.7.1) (6.7.2)再把剪力表達(dá)式代入關(guān)于剪力的平衡方程得到也就是 (6.7.3)如果不考慮薄膜力的影響(在小撓度薄板理論中, 當(dāng)撓度遠(yuǎn)小于板的厚度時(shí),可以認(rèn)為中面內(nèi)無線應(yīng)變和切應(yīng)變, 也就是說中面是中性的、無薄膜應(yīng)力), 那么平衡方程為或者 (6.7.4)而 (6.6.8)在小撓度薄板理論中 (6.6.9)也就是說 (6.6.10)而應(yīng)變?yōu)?(6.6.11)6.8 薄板彎曲的邊界條件(1) 簡(jiǎn)支

9、邊界 (6.8.1)(2) 固支邊界 (6.8.2)(3) 自由邊界 (6.8.3)或者說寬松一點(diǎn) (6.8.4)其中為廣義剪力(見板殼理論書籍, 扭矩可以用分布剪力來代替) 或者 (6.8.5)這里為邊界的外法線, 為邊界的切線。圖6.7薄板的邊界6.9 薄板彎曲的應(yīng)變能和外力勢(shì)能線彈性體的應(yīng)變能為 對(duì)于薄板彎曲的應(yīng)變能為 (6.9.1)在小撓度假設(shè)下, 板內(nèi)無薄膜應(yīng)力, 只有彎曲應(yīng)力。根據(jù)前面的推導(dǎo)有因此應(yīng)變能表達(dá)式為 (6.9.2)橫向分布載荷做功所對(duì)應(yīng)的勢(shì)能為 (6.9.3)我們把整個(gè)邊界分成兩部分, 其中上給定位移的邊界條件 上給定力的邊界條件 那么在邊界上,彎矩做功所對(duì)應(yīng)的勢(shì)能為(

10、因?yàn)檎呐c正的方向相反) (6.9.4)邊界上, 廣義剪力做功所對(duì)應(yīng)的勢(shì)能為 (6.9.5)6.10 薄板彎曲的最小勢(shì)能原理根據(jù)最小勢(shì)能原理, 板彎曲的精確解應(yīng)使下列總勢(shì)能取極小值 (6.10.1)如果記那么圖6.8薄板的邊界在邊界上有其中是外法線方向單位向量， 所以有這里根據(jù)最小勢(shì)能原理可以得到板的控制方程為 (6.10.2)代入的表達(dá)式得到 (6.10.3)邊界條件為1. 固定: 。2. 簡(jiǎn)支: 。3. 自由: 。6.11 厚板的彎曲現(xiàn)在用彈性力學(xué)變分原理推導(dǎo)厚板彎曲的方程和邊界條件。類似兩個(gè)廣義位移的梁（5.5節(jié)）, 采用擠壓應(yīng)力為零假定和直線假定 (6.11.1）從而 (6.11.2)由兩類變量廣義余能原理可得由可得 (6.11.3)假定，從而 (6.11.4)式中: 分別是板的中面和上下表面， (6.11.5)而板的位