高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)(教)案(第65講)二項式定理

1、題目 第十章排列、組臺、二項式定理二項式定理高考要求 1正確理解二項式定理，能準(zhǔn)確地寫出二項式的展開式2會區(qū)分項的系數(shù)與項的二項式系數(shù) 3掌握二項式定理在近似計算及證明整除性中的應(yīng)用4 熟練掌握二項式定理的基本問題通項公式及其應(yīng)用知識點歸納 1二項式定理及其特例：（1），（2）2二項展開式的通項公式：3常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項：求常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項時，要根據(jù)通項公式討論對的限制；求有理項時要注意到指數(shù)及項數(shù)的整數(shù)性 4二項式系數(shù)表（楊輝三角）展開式的二項式系數(shù)，當(dāng)依次取時，二項式系數(shù)表，表中每行兩端都是，除以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和5二項式系數(shù)的性質(zhì)：展開式的二項式系數(shù)

2、是，可以看成以為自變量的函數(shù)，定義域是，例當(dāng)時，其圖象是個孤立的點（如圖）（1）對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等（）直線是圖象的對稱軸（2）增減性與最大值：當(dāng)是偶數(shù)時，中間一項取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時，中間兩項，取得最大值（3）各二項式系數(shù)和：，令，則 題型講解 例1 如果在（+）n的展開式中，前三項系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項解：展開式中前三項的系數(shù)分別為1，由題意得2×=1+，得n=8設(shè)第r+1項為有理項，T=C··x，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8有理項為T1=x4，T5=x，T9=點評：求展開式中某一特定的項的問題常用通項公式，用待定

3、系數(shù)法確定r例2 求式子（x+2）3的展開式中的常數(shù)項解法一：（x+2）3=（x+2）（x+2）（x+2）得到常數(shù)項的情況有：三個括號中全取2，得（2）3；一個括號取x，一個括號取，一個括號取2，得CC（2）=12，常數(shù)項為（2）3+（12）=20解法二：（|x|+2）3=（）6設(shè)第r+1項為常數(shù)項，則T=C·（1）r·（）r·|x|=（1）6·C·|x|，得62r=0，r=3T3+1=（1）3·C=20例3 求（1+x+x2+x3）（1x）7的展開式中x4的系數(shù)；求（x+4）4的展開式中的常數(shù)項；求（1+x）3+（1+x）4+（1+

4、x）50的展開式中x3的系數(shù)解：原式=（1x）7=（1x4）（1x）6，展開式中x4的系數(shù)為（1）4C1=14（x+4）4=，展開式中的常數(shù)項為C·（1）4=1120方法一：原式=展開式中x3的系數(shù)為C方法二：原展開式中x3的系數(shù)為C+C+C+C=C+C+C=C+C+C=C點評：把所給式子轉(zhuǎn)化為二項展開式形式是解決此類問題的關(guān)鍵例4 求展開式中的系數(shù)解：令點評：是展開式中的第項，注意二項式系數(shù)與某項系數(shù)的區(qū)別在本題中，第4項的二項式系數(shù)是，第4項的系數(shù)為，二者并不相同例5 求展開所得的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的項數(shù)解：依題意：，為3和2的倍數(shù)，即為6的倍數(shù)，又，構(gòu)成首項為0，公差為6，

5、末項為96的等差數(shù)列，由得，故系數(shù)為有理數(shù)的項共有17項點評：有理項的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征例6 求展開式中的系數(shù)解法一：故展開式中含的項為故展開式中的系數(shù)為240解法二： 要使指數(shù)為1，只有才有可能，即故的系數(shù)為解法三：由多項式的乘法法則，從以上5個括號中，一個括號內(nèi)出現(xiàn)，其它四個括號出現(xiàn)常數(shù)項，則積為的一次項，此時系數(shù)為點評：此類問題通常有兩個解法：化三項為二項，乘法法則及排列、組合知識的綜合應(yīng)用例7 設(shè)an=1+q+q2+q（nN*，q±1），An=Ca1+Ca2+Can（1）用q和n表示An；（2）（理）當(dāng)3<q<1時，求解：（1）因為q1，所以a

6、n=1+q+q2+q=于是An= C+ C+C=（C+C+C）（Cq+Cq2+Cqn）=（2n1）（1+q）n1=2n（1+q）n（2）=1（）n因為3<q<1，且q1，所以0<| |<1所以=例8 已知，求分析：在已知等式的左邊隱含一個二項式，設(shè)法先求出n解：在中令得 點評：記住課本結(jié)論： 注意所求式中缺少一項，不能直接等于例9 已知，求解： 令時，有令時，有 點評：賦值法是由一般到特殊的一種處理方法，在高考題中屢見不鮮，特別在二項式定理中的應(yīng)用尤為明顯賦值法是給代數(shù)式（或方程或函數(shù)表達(dá)式）中的某些字母賦予一定的特殊值，從而達(dá)到便于解決問題的目的望同學(xué)們在學(xué)習(xí)中舉一反

7、三例10 求展開式中系數(shù)最大的項解：設(shè)第項系數(shù)最大，則有，即又故系數(shù)最大項為點評：二項式系數(shù)最大的項與系數(shù)最大的項不同二項式系數(shù)最大的項也即中間項：當(dāng)n為偶數(shù)時中間項的二項式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項，的二項式系數(shù)相等且為最大小結(jié)：1在使用通項公式T=Cbr時，要注意：通項公式是表示第r1項，而不是第r項展開式中第r+1項的二項式系數(shù)C與第r+1項的系數(shù)不同通項公式中含有a，b，n，r，T五個元素，只要知道其中的四個元素，就可以求出第五個元素在有關(guān)二項式定理的問題中，常常遇到已知這五個元素中的若干個，求另外幾個元素的問題，這類問題一般是利用通項公式，把問題歸納為解方程（或方程組）這里必須

8、注意n是正整數(shù)，r是非負(fù)整數(shù)且rn2證明組合恒等式常用賦值法3二項式定理應(yīng)用通常有以下幾類題型：通項應(yīng)用型：利用通項公式研究具體某一項系數(shù)的性質(zhì)等問題系數(shù)配對型：展開兩因式乘積或可化為兩因式乘積的三項式，求某項系數(shù)系數(shù)性質(zhì)型：靈活應(yīng)用二項式系數(shù)性質(zhì)或賦值求系數(shù)和利用二項式定理求近似值，證明整除性或求余數(shù)問題，證明恒等式或不等式在概率等方面的應(yīng)用學(xué)生練習(xí) 1已知（13x）9=a0+a1x+a2x2+a9x9，則a0+a1+a2+a9等于A29 B49 C39 D1解析：x的奇數(shù)次方的系數(shù)都是負(fù)值，a0+a1+a2+a9=a0a1+a2a3+a9已知條件中只需賦值x=1即可答案：B2 2x+）4的

9、展開式中x3的系數(shù)是A6B12C24D48解析：（2x+）4=x2（1+2）4，在（1+2）4中，x的系數(shù)為C·22=24答案：C3（2x3）7的展開式中常數(shù)項是A14B14C42D42解析：設(shè)（2x3）7的展開式中的第r+1項是T=C（2x3）（）r=C2·（1）r·x，當(dāng)+3（7r）=0，即r=6時，它為常數(shù)項，C（1）6·21=14答案：A4一串裝飾彩燈由燈泡串聯(lián)而成，每串有20個燈泡，只要有一只燈泡壞了，整串燈泡就不亮，則因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數(shù)為A20 B219C220D2201解析：C+C+C=2201答案：D5已知（x）8展

10、開式中常數(shù)項為1120，其中實數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和是A28B38C1或38D1或28解析：T=C·x8r·（ax1）r=（a）rC·x82r令82r=0，r=4（a）4C=1120a=±2當(dāng)a=2時，令x=1，則（12）8=1當(dāng)a=2時，令x=1，則（12）8=38答案：C6已知（x+x）n的展開式中各項系數(shù)的和是128，則展開式中x5的系數(shù)是_（以數(shù)字作答）解析：（x+x）n的展開式中各項系數(shù)和為128，令x=1，即得所有項系數(shù)和為2n=128n=7設(shè)該二項展開式中的r+1項為T=C（x）·（x）r=C·x，令=5即r

11、=3時，x5項的系數(shù)為C=35答案：357若（x+1）n=xn+ax3+bx2+cx+1（nN*），且ab=31，那么n=_解析：ab=CC=31，n=11答案：118（x）8展開式中x5的系數(shù)為_解析：設(shè)展開式的第r+1項為T=Cx8r·（）r=（1）rCx令8=5得r=2時，x5的系數(shù)為（1）2·C=28答案：289若（x3+）n的展開式中的常數(shù)項為84，則n=_解析：T=C（x3）nr·（x）r=C·x令3nr=0，2n=3rn必為3的倍數(shù)，r為偶數(shù)試驗可知n=9，r=6時，C=C=84答案：910已知（x+1）n展開式中，末三項的二項式系數(shù)和等于

12、22，二項式系數(shù)最大項為20000，求x的值解：由題意CCC=22，即CCC=22，n=6第4項的二項式系數(shù)最大C（x）3=20000，即x3lgx=1000x=10或x=11若（1+x）6（12x）5=a0+a1x+a2x2+a11x11求：（1）a1+a2+a3+a11；（2）a0+a2+a4+a10解：（1）（1+x）6（12x）5=a0+a1x+a2x2+a11x11令x=1，得a0+a1+a2+a11=26，又a0=1，所以a1+a2+a11=261=65（2）再令x=1，得a0a1+a2a3+a11=0+得a0+a2+a10=（26+0）=32點評：在解決此類奇數(shù)項系數(shù)的和、偶數(shù)項

13、系數(shù)的和的問題中常用賦值法，令其中的字母等于1或112在二項式（axm+bxn）12（a0，b0，m、n0）中有2m+n=0，如果它的展開式里最大系數(shù)項恰是常數(shù)項（1）求它是第幾項；（2）求的范圍解：（1）設(shè)T=C（axm）12r·（bxn）r=Ca12rbrxm（12r）+nr為常數(shù)項，則有m（12r）+nr=0，即m（12r）2mr=0，r=4，它是第5項（2）第5項又是系數(shù)最大的項，有Ca8b4Ca9b3 Ca8b4Ca7b5 由得a8b4a9b3，a0，b0， ba，即由得，13在二項式（+）n的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項分析：根據(jù)題意列出前三項系數(shù)關(guān)系式，先確定n，再分別求出相應(yīng)的有理項解：前三項系數(shù)為C，C，C，由已知C=C+C，即n29n+8=0，解得n=8或n=1（舍去）T=C（）8r（2）r=C··x4Z且0r8，rZ，r=0，r=4，r=8展開式中x的有理項為T1=x4，T5=x，T9= x2點評：展開式中有理項的特點是字