【江海名師零距離】2015屆高三數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題11：解決等差數(shù)列與等比數(shù)列問題

1、專題十一 解決等差數(shù)列與等比數(shù)列問題 【典題導(dǎo)引】例1.已知數(shù)列的前項和為.（1）若數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，求；（2）若數(shù)列是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，且對任意有求數(shù)列的通項公式；是否存在數(shù)列，使得數(shù)列的前項和為？若存在，求出數(shù)列的通項公式及其前項和；若不存在，請說明理由.解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為， ，； （2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，對任意，恒有：. ， ，. 數(shù)列的前項和為， 時， 時， ， 存在數(shù)列滿足題設(shè)，且數(shù)列的通項公式 ，時，時也適合，數(shù)列的前項和為=.例2. 已知數(shù)列是等比數(shù)列 （1）設(shè)， 若，求實數(shù)的值；若在與之間插入個數(shù)，使得成等差數(shù)列，求的值；（2）若數(shù)列是公差不為的等差數(shù)列

2、，,其中是某個正整數(shù)，且，求證：數(shù)列中的每一項都是數(shù)列中的項（1）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得， ，即對都成立，. ， 成等差數(shù)列，公差， 且，即，解得；（2）證明：設(shè)數(shù)列的公差為，由條件得， ，是某個正整數(shù)，且，也是正整數(shù)，且，是數(shù)列中的項，時，且是正整數(shù)， 也是正整數(shù)， 即對任意，存在，使得，數(shù)列中的每一項都是數(shù)列中的項例3. 已知數(shù)列的前項和為，且數(shù)列滿足，且（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（3）求數(shù)列的通項公式以及前項和(1)證明：， 當(dāng)時，可得，數(shù)列為等差數(shù)列；(2)證明：為等差數(shù)列，公差，.又，又，對，得數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列(3)解：由(2)得，

3、 .，例4. 已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記（1）若，且對任意,三個數(shù)組成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；（2）求證：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充要條件是對“任意，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列”（2012年高考（湖南理）(1)解：對任意，三個數(shù)組成等差數(shù)列， 即，亦即.故數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列于是.(2)證明：必要性：若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則對任意nN*，有.由知，均大于，于是，即. 三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列充分性：若對任意，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列，則，于是，得，即.由有，即，從而. ，.故數(shù)列是首項為，公比為q的等比數(shù)列綜上所述，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是“對任意，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列”【歸類總結(jié)】1等差(等比)數(shù)列的基本運算，一般通過其通項公式和前項和公式構(gòu)造關(guān)于和(或)的方程或方程組解決，如果在求解過程中能夠靈活運用等差(等比)數(shù)列的性質(zhì)，不僅可以快速獲解，而且有助于加深對等差(等比)數(shù)列問題的認(rèn)識2等差數(shù)列和等比數(shù)列的項，前n項和都有一些類似的性質(zhì)，充分利用性質(zhì)可簡化解題過程3證明數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列的基本方法是定義法和中項法4等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、求和公式有多種形式的變形，在求解相關(guān)問題時，要根據(jù)條件靈