圓中典型計(jì)算題(一)

1、圓中典型計(jì)算題 例1. 如圖所示，OC為圓O的半徑，M是OC的中點(diǎn)，弦ABOC于M，如果OC=4，求AB的長(zhǎng)。    分析：由于這是弦與半徑互相垂直的計(jì)算問(wèn)題，可聯(lián)想到垂徑定理的運(yùn)用。連半徑可以出現(xiàn)直角三角形，運(yùn)用勾股定理即可求得弦AB的長(zhǎng)。    解法1：（利用垂徑定理和勾股定理）    連接OA，OCAB于M，M為OC的中點(diǎn)，且OC=4        在RtAOM中

2、0;   由勾股定理，得        解法2：（利用垂徑定理和銳角三角函數(shù)）    連接OA，OCAB于M，M為OC的中點(diǎn)，且OC=4        在RtAOM中，    A=30°    AM=OA·cos30°=   &#

3、160;   說(shuō)明：在圓中解決弦的問(wèn)題時(shí)，常用到垂徑定理、勾股定理或銳角三角函數(shù)等知識(shí)，經(jīng)常添加的輔助線是連接半徑或過(guò)圓心作已知弦的垂線，構(gòu)造以半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形，然后運(yùn)用垂徑定理、勾股定理或銳角三角函數(shù)來(lái)求解。   例2. 如圖所示，在圓O中，弦AB=1.8cm，圓周角ACB=30°，求圓O的直徑。    分析：此題要求直徑，但圖中沒(méi)有直徑，因此可先作出直徑，構(gòu)造直角三角形，并利用圓周角定理的推論，將特殊角轉(zhuǎn)移到直角三角形中，然后運(yùn)用勾股定理或銳角三角函數(shù)等

4、求出直徑的長(zhǎng)。    解法1：如圖所示，作直徑AD，連接BD    ABD=90°    ACB=30°    而D與ACB所對(duì)的是同一條弧    D=ACB=30°    在RtABD中，ABD=90°，D=30°，AB=1.8cm    AD=2AB=3.6cm&#

5、160;   即圓O的直徑為3.6cm    或由，得    解法2：如圖所示，連接OA、OB    AOB和ACB分別是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角    AOB=2ACB=60°    又OA=OB    AOB是等邊三角形    OA=OB=AB=1.8cm 

6、60;  圓O的直徑為3.6cm    說(shuō)明：要求直徑可先求半徑，或作出直徑，構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理等求出直徑的長(zhǎng)。   例3. 如圖所示，ABC內(nèi)接于圓O，AE為圓O的直徑，AD為ABC的高，求證：BAE=CAD。    分析：這兩個(gè)角既可以看做是同一個(gè)圓的兩個(gè)圓周角，又可以看做是兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角，因此，可以添加不同的輔助線，利用圓中角的關(guān)系及三角形中角的關(guān)系來(lái)證明它們相等。    證法1：連接BE，如圖（

7、1）所示    AE是圓O的直徑，ABE=ADC=90°E=C，BAE=CAD圖（1）    證法2：連接EC，如圖（2）所示    AE是圓O的直徑，ACE=ADB=90°    E=B，BAD=EAC    BADEAD=EACEAD即BAE=CAD圖（2）    證法3：如圖（3）所示，過(guò)點(diǎn)O作ONAB，交AB于M，交圓O于N            ，ADC=AMO=90°    BAE=CAD圖（3）    說(shuō)明：（1）如果已知條件中有關(guān)于圓直徑的條件，可連接圓上有關(guān)的點(diǎn)，以構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，