質點的運動課件

1、CAICAI使用說明使用說明1、斜體文字 表示有備注供查看2、加下劃線的變色文字 表示有超鏈接3、 表示返回至鏈接來處4、 表示到上一張幻燈片5、 表示到下一張幻燈片6、 表示到首頁中學物理奧賽解題研究第一專題 質點運動學知識與方法研究例題7例題8例題9疑難題解答研究 三、兩平面運動曲線的交點的運動一、運動分解的任意性二、曲率半徑的物理求法一、運動分解的任意性12rrr12vvv12aaa 不限于正交分解，更不限于沿水平、豎直方向的正交分解. 可以根據解題需要沿選定方向分解.知識與方法研究 運動的分解與合成是不同于參照系變化時（KK）對運動描述的伽利略或洛侖茲變換, 是在一個參照系中進行的.

2、例1 足球運動員在球門正前方距離球門S遠處的O點踢出一球，球從球門高為h的橫梁下邊沿射入球門. 問球以怎樣的角度 射出，才能使射出的初速度v0最?。縊CBSxyh解一建立如圖的坐標系，則有0(cos )svt201(sin )2hvtgt 消去t 得：2220tan2cosgshsv 進而得：22022(tan)cosgsvsh2sin2cos2gsshh222.sin(2gshsh）(arctan)hs其中：022v當時， 有最小值.所以42將v0做水平、豎直的正交分解.v0OCBShxyv0 解二如圖，建立坐標系.則有將v0、g均沿x、y方向進行分解.201(cos )( sin )2xv

3、tgt201(sin)( cos )2yvtgt足球到達B時，0,y 所以有22201(cos)( sin )2shvtgt2010(sin)( cos )2vtgt消去t 得：222022sin(coscossinsin )cosvshg202sinsin(2)sincosvg所以220cossin(2)singv022v當時， 有最小值.此時111(),2 24211().2 242g22xshOCBShv0 解三xy建立如圖的坐標.據圖中的幾何關系，由正弦定理有：sinsinsin()BDODOB即222012sinsinsin()gtv tsh由左邊的等式得：02sinsinvtg將此

4、代入右邊的等式：222022sinsinsin()vshg所以22220sin2sin() sing shv222sincoscos(2)g sh02v當時， 有最小值.此時則x方向為勻速直線運動，y方向為自由落體運動.1()21()2242現在足球在x軸方向、y軸方向的分運動各是什么運動？DOCBShv0Dxy 題后總結與思考本題充分說明運動分解的任意性.如果愿意，還有一種如圖的有效分解方式！ 例2 彈性小球從高h處自由落下，落到與水平面成角的足夠長的斜面上，碰撞后以同樣大小的速度彈回來. （1）求每個彈回點（第一點和第二點，第二點和第三點，第n點和第（n+1）點）間的距離x1-2、x2-3

5、、x3-4、x n-(n+1). （2）求當斜面以勻速度u沿豎直方向向上運動時的x1-2的數值.解h 小球第一次與斜面相碰（前、后）的速度大小為102.vghxyo 則小球在兩個碰點之間的在x、y方向的分運動均是勻變速直線運動.10vgxgyg于是1010s2,insinxvvgh1010cos2cos .yvvgh以斜面為參照系.建立如圖所示的坐標系.10 xv10yv 第一次碰后（第二次碰前）的運動方程為：11010sin( sin )xxxvvg tvgt11010cos( cos )yyyvvg tvgt221101011(sin )( sin )22xxxvtg tvtgt22110

6、1011(cos )( cos )22yyyvtg tvtgthxyo10vgxgyg10 xv10yv令 y 1=0，可得第一與第二次碰撞的時間間隔為101 22vtg代入x1的計算式后可得2101 24sinvxg2 2ghg22hg8sinhhxy10vgxgyg10 xv10yv 第二次碰后瞬間的速度大小等于第二次碰前瞬間的速度大?。?020102sin( sin )xvvvgg1020102cos( cos )yvvvgg 顯然，1020,yyvv進而可知每相鄰兩次相碰的時間間隔均相等，1 222.httg以此類推，碰后瞬間在y方向的速度大小均相等.于是22 32012xxxvtg

7、t2sin2 2singhgh8 sin8 sinhho可知在每次碰前3 2singh2cosgh為22123 2sin2sin(22hhghggg）12 sin4 sinhh注意：x2-3-x1-2=8hsin ! 會不會每碰一次增加“8hsin ”？hxyo10vgxgyg10 xv10yv 小球每一次碰后瞬間的x方向分速度將比前一次增加2( sin ) 22 2sin .xhg tghgg 因而每接連兩次相碰的間距將比相鄰的兩次接連相碰的間距增加2(2 2sin )(2 2sin ) 28 sin .hghtghhg 所以第n次碰撞與第(n+1)次碰撞之間的間距為(1)8 sin1)8

8、sinnnxhnh（ 題后思考 能否建立水平方向的 x 坐標與豎直方向的y 坐標解本題？能否建立斜面方向的x坐標與豎直方向的y坐標求解？ （2）求當斜面以勻速度u沿豎直方向向上運動時的x1-2的數值. 此時，仍以斜面為參照系. 則小球第一次與斜面相碰時速度大小便由（1）中的v10變成了(v10+u).所以將（1）中相關式子中的v0代換為（v0+u），能得到對應的結果.便于是2101 24sinvxg204()sinvug24( 2)singhug8sin .nh讓質點的做某種軌跡為給定的曲線的運動確定質點在運動軌跡上各處的v和a心由向心加速度公式求在選擇質點的運動時，盡量考慮如何方便 得到曲線

9、各處的v和a心 二、曲率半徑的物理求法1、從曲率圓的角度看平面光滑曲線運動的速度和加速度aaa切心22va 心|dvadt切表示速度大小的變化快慢表示速度方向的變化快慢yop1p1va切a心ax2、由物理運動學求曲率半徑思路：這樣的運動在橢圓的頂點處的v和a心是易求得的. 例3 試求橢圓 的頂點處的曲率半徑.22221xyAB解橢圓的參數方程為cosxAtsinyBtxy0AB可以選擇質點沿橢圓軌道的運動為：在x方向和y方向的分運動為簡諧振動的運動.(其簡諧振動方程即為以上橢圓的參數方程)sincos;xyvAtvBt 22cossinxyaAtaBt 于是有在圖中頂點A處：0 xv yvBv

10、B2xaA 0ya 2xaaA心xy0AB所以2Ava心va心同理可得2BAB222BA2BA 總是指向輪心但是否總是指向滾輪線的曲率圓圓心？a 例4 求滾輪線的最高點的曲率半徑和1最低點的曲率半徑2.解oPv0為方便計，設輪子做勻速的純滾動.設輪心O相對地面的速度為v0 . P在最高點處相對于地面的速度大小為102vv P在最低點處相對于地面的速度大小為20v 00a 由于，aa0.aaa 故0aaa則PPP ,Pa Pa設 點相對地面參照系的加速度為點相對輪心參照系的加速度為 ，oooaa輪邊緣上的任意一點P相對輪心O的線速度為多大？故滾輪線最高處的曲 率半徑為oPv0aaaa滾輪線最低處

11、的曲率半徑為PPP在滾輪線的最高點處和最低點處，a正好又是指向該處的曲率圓圓心的，a所以在此兩處的完全用作向心加速度，aaa心故211va心oooaaaa20vR202024vRvR222va心2000vR 題后總結此兩題的解法屬于物理運動學的求法;曲率半徑還有物理動力學的求法這將在以后研究.三、兩運動曲線（包括直線）的交點的運動 注 意 交點并非曲線上的一個固定點，而是兩條曲線相交而成的幾何點.兩曲線并非均作平動.1、幾種交點的運動情況Pv2v1（1）直線與直線的交點（2）曲線與曲線的交點（3）直線與曲線的交點2、如何求交點的速度Pv1v2決不能 ！12PvvvP（1）由速度的定義出發(fā)求.（

12、2）從相對運動出發(fā)求. 例5 如圖，一平面內有l(wèi)1、l2兩細桿，相交成角. 細桿分別以垂直于自身桿長的速度勻速運動. 求兩桿的交點P相對于紙面的速率.解一AB由定義出發(fā)求速度l1l2Pv1v2P2P3設經過時間t, 交點P勻速直線運動至P1處.21csccsc ,PPAPvt1232csccscPPPPPBvt2212122122cos()PPP PPPP P PP在圖中：由余弦定理有所以（求出交點相對某一曲線的速度，再疊加上此曲線的速度）1P22121 22coscscvvv vt 22121 22coscscvvvv1PPPvtP1PPP2 ， P1P2如何求得P1P ？l1l2Pv1v2

13、P1ABP2P3解二由相對運動出發(fā)求速度先求出交點相對于桿l1的速率v1：在圖中：1122APPPAP所以11APvt 進一步得交點P相對于地面的速率：21csccotvtvt32PPAPcsccotPBAP12cotcscvv22121 22coscscvvvv2211Pvvv22112(cotcsc )vvv 例6 如圖, 在o-xy平面內有一個圓, 在y軸上放一根細桿,從t=0開始, 細桿以速度v0朝x軸正方向勻速平動. 試求細桿與第一象限內的圓弧的交點的向心加速度與時間t的關系.xyOv0解一交點的運動方向總是沿圓的切線方向. 設在t 時刻交點在P點，經過小量時間t，交點由P點運動到P

14、1點.P0則1PPR而121323PPPPP PP2P3當極小時，有122 (cos )2PPR由、消去 ：121,cosPPPP將22 20cosRv tR代入即得022 20Pv RvRv t所以22022 20.PPv RvaRRv t心（其中 ）0Rv t由速度定義出發(fā)解答.2 cos()sin22Rsin()sinRR所以1121cosPPPPtt，0.cosPvv即PP1xyOv0PP0 解二由相對運動出發(fā)解.vPvP3.v設 為交點相對于細桿的速度則0Pvvv0vv因為，0.Pvvv所以便是以 、 為邊的矩形的對角線所以便有0cosPvv進一步便可得到交點 P 的向心加速度.v0

15、（3）兩平面光滑曲線交點速度的最簡求法研究2v1v1l2l21v22v12v11vPv2v1L2L1vP如圖，L1、L2的交點P相對地面的速度為 .Pv121212 vvLLPPP、 分別為 、 上的與交點 重合的點、的速度.分別作L1、L2的切線l1、l2.取與L1上的P1點一起以速度 運動的參照系，1v在此參照系中P點以速度 沿l1運動. 1v則11Pvvv取與L2上的P2點一起以速度 運動的參照系，2v在此參照系中P點以速度 沿l2運動. 2v則22Pvvv在地面參照系中沿l1、l2方向分解 1:v11112vvv在地面參照系中沿l1、l2方向分解 2:v22122vvv由圖可知1221

16、Pvvv重解例5：l1l2Pv1v2121cscvv212cscvv由余弦定理求合：22122112 212cos()Pvvvv vv112vv221vPv22121 22coscsc .vvvv重解例6：xyOv0PP0v0v01001cosvv，所以01Pvv進一步便可得到交點 P 的向心加速度. 題后總結與思考該方法僅局限于光滑平面運動曲線的交點！此方法是否僅限于兩曲線作平動的情況？請論證.100.v0=.cosv疑難題目解答研究 例7 如圖，光滑水平面上兩根剛性細桿OM、ON成15夾角交于O點，小球在OM的內側與O相距l(xiāng)=20cm的P點處，以與MO成30角方向的初速朝ON桿運動，初速度

17、大小為v0=10cm/s. 試問小球能否回到P處？若能，則須經多少時間回到P處？解小球作的是勻速折線運動.MNPOl300150 而光線經鏡面反射后的行進等效于光線沿原入射方向的行進. 因此光線在兩平面鏡之間的不斷反射可等效為光線沿PP直線傳播. 可將小球的運動類比為光線在平面鏡M、N之間的反射.由于4 1560POP ，因此光線能夠沿原路返回到P點.PP090 .PP O所以MNPOlP300150P 所以小球從P點出發(fā)到又回到P點，總的路程即為PP=2PP.所經歷的時間為02PPtv002 cos30lv2 3( ) s本題還有另一種常規(guī)解法：1、看小球多次彈碰后是否會與桿正碰2、確定在什

18、么位置正碰3、算出所有折線段的總長4、計算時間但這種解法需解三角形！試一試，看能否用此法解答.題后總結與思考這種解法的實質就是將折線運動等效變?yōu)橹本€運動從而使問題得以簡化.00022().33CtKTTKTSS（a）（b） 取t = 0時白色點在A位置.ABC00011().33BtKTTKT（K=0、1、2、3、）001Tf設為圓盤轉動的周期.解 例8 圖（a）中的黑色圓盤上有白色點S，盤繞中心軸以 f0= 50He的頻率旋轉，如果用頻率為 f 的頻閃光去照射該盤，在盤上能看到穩(wěn)定地出現如圖（b）的三個白色點. 請算出兩種可能的 f 值，其一大于f0，其二小于f0 . 又若取f = 51He

19、，那么在盤上能觀察到什么現象？則白點在B位置的時刻：（K=0、1、2、3、）白點在C位置的時刻：120012001200則白點在A位置的時刻：0.AtKT（K=0、1、2、3、）（1）若白點在B處這要求頻閃周期為011331ffTK1022(2)3tTKT在時刻頻閃光照亮時：白點在C位置.1033(3)3tTKT在時刻頻閃光照亮時：白點在A位置.則頻閃光第二次照亮圓盤時：即有SS（a）（b）ABC120012001200設t = 0時頻閃光第一次照亮圓盤（即看見白色點在A）.如此重復，便能在圓盤上到三個穩(wěn)定的白點.1 0013TKTT（K 1=0、1、2、3、）.101()3KT，頻閃光的頻率

20、還有沒有其他可取值？2 001022()33TK TTKT，（b）ABC （2）若頻閃光第二次照亮時，白點在C處 這要求頻閃周期為（K2=0、1、2、3、）021332ffTK20012(21)3tTKTT在時刻頻閃光照亮時：白點在 B位置.203(32)tTKT在時刻頻閃光照亮時：白點在 A位置. 綜上可知，頻閃光的可取頻率范圍為：000013331 :3 , ()4731ffffK（ ），；0000233331 : , ().25832ffffK（ ），其中，大于f0 的 f 有：0033(150) (75)2fHefHe，；003(37.5) (30),4fHefHe ，等無窮多. 小于

21、f0 的 f 有：如此重復，便能在圓盤上到三個穩(wěn)定的白點.即有圖（c）A 若f 稍大于f0 (如f =51He)，則T 稍小于T0 ，這意味著白點在A位置被照亮后，經過時間T 順時針將轉過大半周（T/T0周）. 白點倒退一周所需的時間為0001T TTTTTTT退 倒退的頻率為0000011151 501He1TTfffffTT Tf f退退 這相當于逆時針轉過小半周即（1-T/T0 ）周又被照亮，故會看見白點逆時針倒退. 題后總結 通過該題知道了：為什么看電影時，有時看見汽車前進而車輪卻反轉？ 例9 如圖，OABC是一桌球臺面. 取OA為 x 軸，OC為y 軸，P是紅球，坐標為(x, y),

22、 Q是白球，坐標為（x, y ), (圖中未畫出Q球在臺面上的位置）. 已知OA=BC=25 分米，AB=OC=12分米. ABCOPQxy(x, y) 解NM （1）若P球的坐標為：x=10分米，y=8分米. 問Q球的位置在什么范圍內時，可使擊出的Q球順次與AB、BC、CO和OA四壁碰撞反彈，最后擊中P球？ （2）P球有沒有一些位置是Q球無論在什么位置出發(fā)，按上述次序從四壁反彈后都無法擊中的？如沒有，加以證明；如有，找出這些位置的范圍.（白球Q同四壁的碰撞均為彈性碰撞，兩球體積很小，可看作質點.）如右圖，你能不能讓白球與桌璧N M 彈性相碰后擊中紅球?ABCOPQxy(0,12) (25,1

23、2)(25,0)(10,8)給球桌各頂點及紅球的位置標注上坐標(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)（1）1、如果白球對著鏡像點P1擊在OA上就能擊中P；如果白球對著鏡像點P2擊在CO上就能射向P1;如果白球對著鏡像點P3擊在OC上就能射向P2；如果白球對著鏡像點P4擊在BA上就能射向P3.ABCOPQxy(0,12) (25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)F 2、為了保證白球能對著P4點且擊在BA上，白球應該放在什么區(qū)域？ 3、白球放在該區(qū)域是否能保證經BA反

24、彈后能擊在BC上？ 4、白球是否擊在BC上任何地方都能反彈后又擊在CO上？比如放在圖中所示的點處？ABCOPQxy(0,12) （25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)E 5、白球應該對著P3擊在BC上的什么地方才能保證經BC反彈后能擊在CO上？作直線P2O交CB于E點， E點坐標為(15,12).(15,12)FABCOPQxy(0,12) （25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)E (15,12)D (25,4) 6、白球應

25、該對著P4擊在BA上的什么地方才能保證經BA反彈后能擊在EC上？作直線P3E交BA于D點， D點坐標為(25,4).ABCOPQxy(0,12) （25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)E(15,12)QD(25,4)(20,0) 7、白球應該放在什么區(qū)域才能保證對著P4擊在DA上？H作直線P4D，交AO于H， H點的坐標(20,0).ABCOPQxy(0,12) （25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)E(15,12)DH(25,4)(20,0)最終結論：白球應放在三角形DAH以內的區(qū)域.（但不能放在HD、DA邊上） （2）P球有沒有一些位置是Q球無論在什么位置出發(fā)，按上述次序從四壁反彈后都無法擊中的？如沒有，加以證明；如有，找出這些位置的范圍. ABCOPQxy(0,12)（25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8