第2章隨機(jī)信號與噪聲ppt課件

1、西西 北北 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)2019.1第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通 信 原 理第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-302第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析本章是本課程的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本章是本課程的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。研究內(nèi)容：研究內(nèi)容： 2.1 2.1 引言引言 2.2 2.2 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念 2.3 2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程 2.4 2.4 高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程 2.5 2.5 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 2.6 2.6 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程 2.7

2、 2.7 正弦波加窄帶隨機(jī)過程正弦波加窄帶隨機(jī)過程 2.8 2.8 高斯白噪聲和帶限白噪聲高斯白噪聲和帶限白噪聲第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3032.1 2.1 引引 言言通訊通訊-是在噪聲背景下信號通過通信系統(tǒng)的過程，是在噪聲背景下信號通過通信系統(tǒng)的過程，分析與研究通信系統(tǒng)，總是離不開對信號和噪聲的分析與研究通信系統(tǒng)，總是離不開對信號和噪聲的分析。分析。隨機(jī)信號：通信系統(tǒng)中用于表述信息的信號不可隨機(jī)信號：通信系統(tǒng)中用于表述信息的信號不可能是單一的、確定的，而是具有不確定性和隨機(jī)性。能是單一的、確定的，而是具有不確定性和隨機(jī)性。隨機(jī)噪聲：通信中存在

3、的各種干擾和噪聲，其波隨機(jī)噪聲：通信中存在的各種干擾和噪聲，其波形更是隨機(jī)的、不可預(yù)測的。形更是隨機(jī)的、不可預(yù)測的。隨機(jī)過程：盡管隨機(jī)信號和隨機(jī)噪聲是不可預(yù)測隨機(jī)過程：盡管隨機(jī)信號和隨機(jī)噪聲是不可預(yù)測的、隨機(jī)的，但它們具有一定的統(tǒng)計規(guī)律。從統(tǒng)計的、隨機(jī)的，但它們具有一定的統(tǒng)計規(guī)律。從統(tǒng)計學(xué)的觀點(diǎn)看，均可表示為隨機(jī)過程。學(xué)的觀點(diǎn)看，均可表示為隨機(jī)過程。 隨機(jī)過程是一類隨時間作隨機(jī)變化的過程，它隨機(jī)過程是一類隨時間作隨機(jī)變化的過程，它不能用確切的時間函數(shù)描述。不能用確切的時間函數(shù)描述。 統(tǒng)計學(xué)中的有關(guān)隨機(jī)過程的理論可以運(yùn)用到隨統(tǒng)計學(xué)中的有關(guān)隨機(jī)過程的理論可以運(yùn)用到隨機(jī)信號和噪聲分析中來。機(jī)信號和噪

4、聲分析中來。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-304 2.2 2.2 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念2.2.1 2.2.1 隨機(jī)過程的概念隨機(jī)過程的概念調(diào)查：調(diào)查： 假設(shè)有假設(shè)有n n臺性能相同的接收機(jī)，在同樣條件下不臺性能相同的接收機(jī)，在同樣條件下不加信號測試其輸出。（加信號測試其輸出。（n-n-足夠大的正整數(shù)）足夠大的正整數(shù)） 得到一系列噪聲波形得到一系列噪聲波形x1(t)x1(t)、x2(t)x2(t)、x3(t)x3(t)、.、xn(t) xn(t) 。 結(jié)果：理想時，波形似乎應(yīng)該一致，但實際不然。結(jié)果：理想時，波形似乎應(yīng)該一致，但實際不然

5、。找不到兩個完全相找不到兩個完全相同的波形！同的波形！第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-305討論：討論：每一個記錄每一個記錄xi(t)都是一個隨都是一個隨機(jī)起伏的時間函數(shù)隨機(jī)函機(jī)起伏的時間函數(shù)隨機(jī)函數(shù)。數(shù)。全部隨機(jī)函數(shù)的集合隨全部隨機(jī)函數(shù)的集合隨機(jī)過程：機(jī)過程： X(t) =x1(t), x2(t), , xn(t)每一條曲線每一條曲線xi(t)都是隨機(jī)過都是隨機(jī)過程的一個實現(xiàn)程的一個實現(xiàn)/樣本為確定樣本為確定的時間函數(shù)。的時間函數(shù)。在某一特定時刻在某一特定時刻t1觀察各臺接收機(jī)的輸出噪聲值觀察各臺接收機(jī)的輸出噪聲值x(t1) ，發(fā)，發(fā)現(xiàn)他們的值是不同

6、的現(xiàn)他們的值是不同的 是一個隨機(jī)量隨機(jī)變量）。是一個隨機(jī)量隨機(jī)變量）。角度角度1 1：對應(yīng)不同隨機(jī)試驗結(jié)果的時間過程的集合。：對應(yīng)不同隨機(jī)試驗結(jié)果的時間過程的集合。角度角度2 2：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-306討論：討論：在任一給定時刻在任一給定時刻t1上，每一個樣本函數(shù)上，每一個樣本函數(shù)xi (t)都有一個確定的都有一個確定的數(shù)值數(shù)值xi (t1)。但在同一時刻，不同樣本的取值。但在同一時刻，不同樣本的取值xi(t1) ，i=1，2，n卻是一個隨機(jī)變量。卻是一個隨機(jī)變量。換句話說，

7、隨機(jī)過程在任意時刻換句話說，隨機(jī)過程在任意時刻t1的值的值X(t1)是一個隨機(jī)變量。是一個隨機(jī)變量。因此，又可以把隨機(jī)過程看作是在時間進(jìn)程中處于不同時刻因此，又可以把隨機(jī)過程看作是在時間進(jìn)程中處于不同時刻的隨機(jī)變量的集合。的隨機(jī)變量的集合。角度角度1 1：對應(yīng)不同隨機(jī)試驗結(jié)：對應(yīng)不同隨機(jī)試驗結(jié)果的時間過程的集合。果的時間過程的集合。角度角度2 2：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。概念的延伸。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-307概括：概括： 隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)的含義屬性有三點(diǎn)：的含義屬性有三點(diǎn)： （1X(t)是是t 的函數(shù)。的函

8、數(shù)。 （2X(t)在任一時刻在任一時刻 t1上的取值上的取值X(t1)不是確定的，是不是確定的，是一個隨機(jī)變量。即每一時刻上的函數(shù)值是按照一定的概一個隨機(jī)變量。即每一時刻上的函數(shù)值是按照一定的概率分布的。率分布的。 （3） X(t)的任一實現(xiàn)的任一實現(xiàn)xi (t)是一個確定函數(shù)，隨機(jī)性體是一個確定函數(shù)，隨機(jī)性體現(xiàn)在某一樣本出現(xiàn)的隨機(jī)上?，F(xiàn)在某一樣本出現(xiàn)的隨機(jī)上。 時間平均時間平均概率論：隨機(jī)變量分析分布函數(shù)和概率密度概率論：隨機(jī)變量分析分布函數(shù)和概率密度研究內(nèi)容隨機(jī)過程統(tǒng)計描述：研究內(nèi)容隨機(jī)過程統(tǒng)計描述： 1. 隨機(jī)過程的分布函數(shù)隨機(jī)過程的分布函數(shù) 2. 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征第

9、第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3082.2.2 2.2.2 隨機(jī)過程統(tǒng)計描述隨機(jī)過程統(tǒng)計描述僅觀察圖僅觀察圖2-12-1所給出的樣本函數(shù)，很難定量的描述這所給出的樣本函數(shù)，很難定量的描述這個隨機(jī)過程的變化規(guī)律。因此，需要從統(tǒng)計的意義上來個隨機(jī)過程的變化規(guī)律。因此，需要從統(tǒng)計的意義上來研究樣本波形，將它們所具有的共性，即相同的特性提研究樣本波形，將它們所具有的共性，即相同的特性提煉出來，這就是隨機(jī)過程的統(tǒng)計描述。煉出來，這就是隨機(jī)過程的統(tǒng)計描述。隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性是通過它的分布函數(shù)或數(shù)字特征隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性是通過它的分布函數(shù)或數(shù)字特征加以描述的。加以描

10、述的。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3091. 1. 隨機(jī)過程的分布函數(shù)隨機(jī)過程的分布函數(shù)設(shè)設(shè)X (t)X (t)表示一個隨機(jī)過程，它在任意時刻表示一個隨機(jī)過程，它在任意時刻t1t1的值的值X (t1)X (t1)是一是一個隨機(jī)變量，根據(jù)概率論的知識，隨機(jī)過程個隨機(jī)變量，根據(jù)概率論的知識，隨機(jī)過程X(t)X(t)的的-（1 1隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)X(t)的一維描述的一維描述-反映隨機(jī)過程在任一時刻反映隨機(jī)過程在任一時刻的取值統(tǒng)計特性。的取值統(tǒng)計特性。 一維分布函數(shù)一維分布函數(shù)11111(, )( )F x tP X tx 表示隨機(jī)變量表示隨機(jī)變量

11、X(t1)小于或等于某一數(shù)值小于或等于某一數(shù)值x1的概率。的概率。 一維概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù)1111111),(),(xtxFtxf若上式中的偏導(dǎo)存在的話。若上式中的偏導(dǎo)存在的話。11( )P X tx第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3010（2 2隨機(jī)過程隨機(jī)過程 (t) (t)的二維描述的二維描述-反映隨機(jī)過程在不同時刻反映隨機(jī)過程在不同時刻取值之間的關(guān)聯(lián)程度。取值之間的關(guān)聯(lián)程度。 二維分布函數(shù)二維分布函數(shù) 任意給定時刻任意給定時刻t1 t1 、t2t2， 和和 同時成立的概率：同時成立的概率：212121122(,; , ,)( ),(

12、)F x x t tPX tx X tx二維概率密度函數(shù)二維概率密度函數(shù)若上式中的偏導(dǎo)存在的話。若上式中的偏導(dǎo)存在的話。2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxf11( )X tx22( )X tx第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3011（3 3隨機(jī)過程隨機(jī)過程X (t)X (t)的多維描述的多維描述n n維分布函數(shù)維分布函數(shù) n維概率密度函數(shù)維概率密度函數(shù)12121122(,;,)( ),(),()nnnnnFxxxtttPX txX txX tx1212121212()()nnnnnnnnF xxxtttf xxxttt

13、x xx ， ， ； ， ， ， ； ， ，第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3012目的目的/意義：意義： 可以把隨機(jī)過程可以把隨機(jī)過程X(t)當(dāng)作一個多元的隨機(jī)變量來看待，當(dāng)作一個多元的隨機(jī)變量來看待，而用這個多元隨機(jī)變量而用這個多元隨機(jī)變量X(t1)，X(t2)，.，X(tn)的分布函數(shù)的分布函數(shù)或概率密度來描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性?；蚋怕拭芏葋砻枋鲭S機(jī)過程的統(tǒng)計特性。 顯然，顯然，n 越大，對隨機(jī)過程的描述越充分。越大，對隨機(jī)過程的描述越充分。統(tǒng)計獨(dú)立統(tǒng)計獨(dú)立: 對于任何對于任何n個隨機(jī)變量個隨機(jī)變量X(t1)，X(t2)，.，X(tn)，如果下式

14、，如果下式成立成立 fn(x1, x2, ., xn；t1, t2, ., tn) = f1(x1, t1)f1(x2, t2).f1(xn, tn)則稱這些變量是統(tǒng)計獨(dú)立的，否則就是不獨(dú)立的或相關(guān)的。則稱這些變量是統(tǒng)計獨(dú)立的，否則就是不獨(dú)立的或相關(guān)的。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-30132.2.隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征引言引言 問題：隨機(jī)過程的分布函數(shù)或概率密度族能夠完善問題：隨機(jī)過程的分布函數(shù)或概率密度族能夠完善 地刻畫隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性。但實際中：難；不用。地刻畫隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性。但實際中：難；不用。 措施：用隨機(jī)過程的數(shù)字特征

15、來描繪隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性，措施：用隨機(jī)過程的數(shù)字特征來描繪隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性，更簡單方便。更簡單方便。 方法：求隨機(jī)過程數(shù)字特征的方法有方法：求隨機(jī)過程數(shù)字特征的方法有“統(tǒng)計平均和統(tǒng)計平均和“時時間平均兩種。間平均兩種。 統(tǒng)計平均：對隨機(jī)過程統(tǒng)計平均：對隨機(jī)過程 X(t) X(t)某一特定時刻不同實現(xiàn)某一特定時刻不同實現(xiàn)的可能取值的可能取值X(ti)X(ti)隨機(jī)變量隨機(jī)變量 ，用統(tǒng)計方法得出的種種平均，用統(tǒng)計方法得出的種種平均值叫統(tǒng)計平均。值叫統(tǒng)計平均。 時間平均：對隨機(jī)過程時間平均：對隨機(jī)過程X(t)X(t)的某一特定實現(xiàn)的某一特定實現(xiàn)xi(t) xi(t) ，用數(shù)學(xué)分析方法對時間求平均得

16、出的平均值叫時間平均。用數(shù)學(xué)分析方法對時間求平均得出的平均值叫時間平均。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-30141( )( , )EX txfx t dx111111( )(, )E X tx fx t dx隨機(jī)過程在任意給定時刻隨機(jī)過程在任意給定時刻t的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。（1 1隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望均值）隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望均值）隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)X(t)在任意給定時刻在任意給定時刻t1t1的取值的取值X (t1)X (t1)是一個隨機(jī)變是一個隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為量，其數(shù)學(xué)期望為 式中式中 f1 (x1, t1) X(t1)的概率密度函數(shù)。的

17、概率密度函數(shù)。由于由于t1是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把 t1 直接寫為直接寫為t， x1改為改為x，這，這樣樣第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3015a (t )1( )()( )E X txf xt dxa t 記為，X (t)的均值是時間的確定函數(shù)，常記作的均值是時間的確定函數(shù)，常記作a ( t )，它表示隨機(jī)過程，它表示隨機(jī)過程的的n個樣本函數(shù)曲線的擺動中心，故又常被稱為統(tǒng)計平均或均個樣本函數(shù)曲線的擺動中心，故又常被稱為統(tǒng)計平均或均值。值。 第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3016（2 2方差

18、方差2( )( )( ) D X tEX ta t 2222222212( )2( ) = ( )( ) ( , ) ( )DXtEXta t XtatE Xta t EXtatE Xtatx fx t dxa t 均方值均方值均值平方均值平方方差常記為方差常記為 2( t )。這里也把任意時刻。這里也把任意時刻t1直接寫成了直接寫成了t 。由于由于所以，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機(jī)過程在時所以，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機(jī)過程在時刻刻 t 相對于均值相對于均值a ( t )的偏離程度。的偏離程度。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1

19、-3017（3 3協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過程不同時刻取值之間的相協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過程不同時刻取值之間的相互關(guān)系互關(guān)系假定：假定：X(t1)X(t1)和和X(t2)X(t2)分別是在分別是在t1t1和和t2t2時刻觀測得到的隨機(jī)變量。時刻觀測得到的隨機(jī)變量。（A A自相關(guān)函數(shù)同一隨機(jī)過程的相關(guān)程度自相關(guān)函數(shù)同一隨機(jī)過程的相關(guān)程度f2 (x1, x2; t1, t2) X (t)的二維概率密度函數(shù)。的二維概率密度函數(shù)?？梢钥闯?，可以看出，R(t1, t2)是兩個變量是兩個變量t1和和t2的確定函數(shù)。的確定函數(shù)。 （B協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)1212122121212()( )( )(,;)d dR

20、ttE X t X tx x fx x ttx x ,12112211222121212()( )( )( )( )( )( )()d dB ttEX ta tX ta txa txa tfxxttx x ， ； ，=R( t,)第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3018)()(),(),(212121tatattRttB1212(,)()()XYRttE XtY t相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系：相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系：1212() ( ) ( )R ttEtt,121122( ,) ( )( ) ( )( )B t tEta tta t特別：

21、若特別：若a(t) =0，那么，那么 B(t1, t2) = R(t1, t2)（C C互相關(guān)函數(shù)兩個不同隨機(jī)過程互相關(guān)函數(shù)兩個不同隨機(jī)過程X(t)X(t)、Y(t)Y(t)的相關(guān)程度的相關(guān)程度1212( , )( ) ( )0XYRt tE X t Y tX(t)和和Y(t)是不相關(guān)的是不相關(guān)的-正交的隨機(jī)過程。統(tǒng)計獨(dú)立的兩個正交的隨機(jī)過程。統(tǒng)計獨(dú)立的兩個隨機(jī)過程是不相關(guān)的。隨機(jī)過程是不相關(guān)的。相應(yīng)地：相應(yīng)地：R(t1, t2)稱為自相關(guān)函數(shù)。稱為自相關(guān)函數(shù)。特別：特別：第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3019 2.3 2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過

22、程2.3.1 2.3.1 平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念1.1.定義定義若一個隨機(jī)過程若一個隨機(jī)過程X(t)X(t)，它的任意，它的任意n n維分布或概率密維分布或概率密度函數(shù)與時間起點(diǎn)無關(guān)，即對于任意的正整數(shù)度函數(shù)與時間起點(diǎn)無關(guān)，即對于任意的正整數(shù)n n和和所有實數(shù)所有實數(shù)，有，有則稱則稱X(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程。是平穩(wěn)隨機(jī)過程。),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-30202.2.性質(zhì)該定義表明：平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性不隨時間性質(zhì)該定義表明：平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而改

23、變。特別是：的推移而改變。特別是：一維分布函數(shù)與時間一維分布函數(shù)與時間t t無關(guān)：無關(guān)：3.3.數(shù)字特征數(shù)字特征),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；)(),(11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxf1 111( )( )E X tx f x dxa12111221212( , )( )()( ,; )d d( )R t tE X t X tx x fx xx xR 而二維分布函數(shù)只與時間間隔而二維分布函數(shù)只與時間間隔 = t2 t1有關(guān)：有關(guān)：可見：（可見：（1其均值與其均值與t無關(guān)，為常數(shù)無關(guān)，為常數(shù)a； （2自相關(guān)函數(shù)只與時間

24、間隔自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，為有關(guān)，為R()。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3021嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)字特征：嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)字特征： （1其均值與其均值與t無關(guān)，為常數(shù)無關(guān)，為常數(shù)a； （2自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)。有關(guān)。 4.廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程 把同時滿足把同時滿足1和和2的隨機(jī)過程定義為廣義平穩(wěn)隨機(jī)的隨機(jī)過程定義為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。過程。意義：意義：具有各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機(jī)過程十分有趣，非常有用。具有各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機(jī)過程十分有趣，非常有用。通信系統(tǒng)中所遇到的信號與噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)、具通信系統(tǒng)中所

25、遇到的信號與噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)、具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程。有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-30222.3.2 2.3.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性問題的提出問題的提出 隨機(jī)過程的數(shù)字特征均值、相關(guān)函數(shù)是對隨機(jī)隨機(jī)過程的數(shù)字特征均值、相關(guān)函數(shù)是對隨機(jī)過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計平均，但在實際中常常很過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計平均，但在實際中常常很難測得大量的樣本。難測得大量的樣本。 問題：能否從一次試驗而得到的一個樣本函數(shù)問題：能否從一次試驗而得到的一個樣本函數(shù)x(t)x(t)來決定平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢來決定

26、平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢? ?回答是肯定的：回答是肯定的： 平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下具有一種十分有用的平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下具有一種十分有用的特性特性-“-“各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性”（或稱（或稱“遍歷性遍歷性”）。具有）。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過程，其數(shù)字特征均為統(tǒng)計平均完各態(tài)歷經(jīng)性的過程，其數(shù)字特征均為統(tǒng)計平均完全可由隨機(jī)過程中的任一實現(xiàn)的時間平均值來代替。全可由隨機(jī)過程中的任一實現(xiàn)的時間平均值來代替。 條件？條件？第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3023各態(tài)歷經(jīng)性條件各態(tài)歷經(jīng)性條件設(shè)：設(shè)： xi(t)是平穩(wěn)過程是平穩(wěn)過程X(t)的任意一次實現(xiàn)樣本），則其

27、時的任意一次實現(xiàn)樣本），則其時間均值和時間相關(guān)函數(shù)分別定義為：間均值和時間相關(guān)函數(shù)分別定義為：如果平穩(wěn)過程使下式成立如果平穩(wěn)過程使下式成立/2/2/2/21( )lim( )d1( )( ) ()lim( ) ()dTTTTTTax tx ttTRx t x tx t x ttT)()(RRaa則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3024“各態(tài)歷經(jīng)的含義各態(tài)歷經(jīng)的含義 隨機(jī)過程中的任何一次實現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀隨機(jī)過程中的任何一次實現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)，其任一樣本都蘊(yùn)含著平穩(wěn)

28、隨機(jī)過程的全部統(tǒng)計信息。態(tài)，其任一樣本都蘊(yùn)含著平穩(wěn)隨機(jī)過程的全部統(tǒng)計信息。 各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的特點(diǎn)益處各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的特點(diǎn)益處 在求解各種統(tǒng)計平均均值或自相關(guān)函數(shù)等時，無需作無在求解各種統(tǒng)計平均均值或自相關(guān)函數(shù)等時，無需作無限多次的考察，只要獲得一次考察，用一次實現(xiàn)的限多次的考察，只要獲得一次考察，用一次實現(xiàn)的“時間平時間平均值代替過程的均值代替過程的“統(tǒng)計平均值即可，從而使測量和計算統(tǒng)計平均值即可，從而使測量和計算問題大為簡化。問題大為簡化。注：具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定注：具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號和噪聲，一般

29、均能滿成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。足各態(tài)歷經(jīng)條件。)()(RRaa第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3025 例例2-12 設(shè)一個隨機(jī)相位的正弦波為設(shè)一個隨機(jī)相位的正弦波為其中，其中，A和和c均為常數(shù)；均為常數(shù)；是在是在(0, 2)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。試討論量。試討論X(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。( )cos()cX tAt202022001( )( )cos()d2(coscossinsin )d2coscos dsinsin d 02ccccca tE X tAtAttAt

30、t 【解】（【解】（1先求先求X(t)的統(tǒng)計平均值。的統(tǒng)計平均值。均值：均值：與與t 無關(guān)無關(guān)第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3026 僅只與時間間隔僅只與時間間隔 有關(guān)。有關(guān)。所以：所以：X(t)是廣義平穩(wěn)過程。是廣義平穩(wěn)過程。自相關(guān)函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)：1212122212122221210221( , )( )( ) cos()cos()cos()cos()2 21cos()cos()2 222cos()02cccccccR t tE X t X tE AtAtAEttttAAttttdAtt)(cos2),(221RAttRc令令t2 t1 = ，

31、得到，得到第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3027220)cos(1limTTcTdttATa222222221( )limcos()cos()limcoscos(22 )2cos2TccTTTTcccTTTcRAtAtdtTAdttdtTA( )( )aaRR結(jié)論：隨機(jī)相位正弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。結(jié)論：隨機(jī)相位正弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。（2求求X(t)的時間平均值的時間平均值綜上，有綜上，有第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-30282.3.3 2.3.3 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)特別重要，由于：平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)特別重要，

32、由于：平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性，如數(shù)字特征等，可通過相平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性，如數(shù)字特征等，可通過相關(guān)函數(shù)來描述；關(guān)函數(shù)來描述；相關(guān)函數(shù)揭示了隨機(jī)過程的頻譜特性。相關(guān)函數(shù)揭示了隨機(jī)過程的頻譜特性。（1 1平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的定義：平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的定義：1212( )( , )( )( )RR t tE X t X t（2平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)特別：均值為特別：均值為0時，有時，有 R(0) = 22(0)( )RE Xt)()( RR( )(0)RR22( )( )REX ta 2)()0( RR 的偶函數(shù)的偶函數(shù) R()的上界，的上界，R()在在 = 0有有最大值

33、。最大值。 X(t)的平均功率的平均功率 X(t)的直流功率的直流功率 X(t)的交流功率的交流功率1）2）3）4）5）第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-30292） - R() 的上界。的上界。證：由于證：由于 從而從而 222( )() = ( )()2( )()= (0)(0)2 ( )=2 (0)( )0 EX tX tE XtXtX t X tRRRRR2( )() 0 EX tX t( )(0)RR所以，得所以，得( )(0)RR對性質(zhì)對性質(zhì)2）、）、4）、）、5證明如下。證明如下。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理

34、2022-1-30304） -X(t)的直流功率。的直流功率。證：證：注：這里利用了當(dāng)注：這里利用了當(dāng)時時X(t)與與X(t+)變得沒有依賴關(guān)系，變得沒有依賴關(guān)系，即統(tǒng)計獨(dú)立，且認(rèn)為即統(tǒng)計獨(dú)立，且認(rèn)為X(t)不含有周期分量。不含有周期分量。5） -方差為方差為X(t)的交流功率。的交流功率。證：由證：由22( )lim( )lim ( )()( ) ()( )RRE X t X tE X t E X tEX ta ，平穩(wěn)22( )( )REX ta 222222222( )( )( )( ) ( )2( ) = ( )2 = (0)D X tE X ta tE X taE XtaX taE X

35、taaRa2(0)( )RR證畢。證畢。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-30312.3.4 2.3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度PX() PX() 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)R()R()的又一重要性質(zhì)。的又一重要性質(zhì)。 設(shè)：設(shè)：X(t)X(t)平穩(wěn)，平穩(wěn)，R()R()絕對可積絕對可積()Rd 那么那么在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個非常重要的工具，它在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域和時域兩種分析方法的基本關(guān)系式。是聯(lián)系頻域和時域兩種分析方法的基本關(guān)系式。意義：平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間互為意

36、義：平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間互為傅里葉關(guān)系。傅里葉關(guān)系。 d1d2jXjXPReRPe簡記為：簡記為：( )( )XRP維納維納- -辛欽關(guān)系辛欽關(guān)系第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3032證明：由信號與系統(tǒng)課程知道，對于任意確定功率信號證明：由信號與系統(tǒng)課程知道，對于任意確定功率信號x(t)，其功率譜密度為其功率譜密度為式中，式中， 是是x(t)的短截函數(shù)的短截函數(shù)xT(t)的的頻譜函數(shù)。對于功率型平穩(wěn)隨機(jī)過程頻譜函數(shù)。對于功率型平穩(wěn)隨機(jī)過程而言，它的任一實現(xiàn)的功率譜密度也而言，它的任一實現(xiàn)的功率譜密度也可以由上式確定?？梢杂缮鲜酱_

37、定。2( )( )limTxTXPT( )TX但一般而言，不同實現(xiàn)具有不同的譜密度。因此，某一實現(xiàn)的但一般而言，不同實現(xiàn)具有不同的譜密度。因此，某一實現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看作是對所有實現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計平均，即看作是對所有實現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計平均，即2( )( )( )limTXxTEXPE PT第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3033 1dd2jjXXPReRPe2( )( )limTxTXPT2( )( )( )limTXxTEXPE PT我們還知道，非周期的功

38、率型確知信號的自相關(guān)函數(shù)與其功我們還知道，非周期的功率型確知信號的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對傅里葉變換。這種關(guān)系對平穩(wěn)隨機(jī)過程同樣率譜密度是一對傅里葉變換。這種關(guān)系對平穩(wěn)隨機(jī)過程同樣成立，也就是說，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度成立，也就是說，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度PX()與其自與其自相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)R()也是一對傅里葉變換，即也是一對傅里葉變換，即)()(fPR第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3034討論：討論：（1對功率譜密度進(jìn)行積分，可得平穩(wěn)過程的總功率：對功率譜密度進(jìn)行積分，可得平穩(wěn)過程的總功率：(0)( )XRPf df從頻域的角度給出了過程

39、平均功率的計算方法。從頻域的角度給出了過程平均功率的計算方法。（2各態(tài)歷經(jīng)過程的任一實現(xiàn)的功率譜密度等于過程的功各態(tài)歷經(jīng)過程的任一實現(xiàn)的功率譜密度等于過程的功率譜密度：率譜密度： 1dd2jjXXPReRPe即，任一實現(xiàn)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個過程的譜特性。即，任一實現(xiàn)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個過程的譜特性。( )( )XxPP( )( )RR【證】對各態(tài)歷經(jīng)過程，有【證】對各態(tài)歷經(jīng)過程，有 兩邊同取傅里葉變換，得兩邊同取傅里葉變換，得 此即此即 ( ) ( )F RF R( )( )XxPP第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3035【解】由例【解】由

40、例2-1已經(jīng)得知隨相信號是一個平穩(wěn)過程，且其相關(guān)已經(jīng)得知隨相信號是一個平穩(wěn)過程，且其相關(guān)函數(shù)為函數(shù)為20( )cos2AR 例例2-3 試求隨相正弦波試求隨相正弦波X(t) = Acos(ct + )的自相關(guān)函數(shù)、的自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和和平均功率。功率譜密度和和平均功率。又由又由 ( )( )XRP)()(cosccc2( ) ()()2XccAP 21(0)( )22XASRPd得得 功率譜密度功率譜密度 平均功率平均功率 第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3036 2.4 2.4 高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程 通信中最重要也是最常見通信中最重要也是最

41、常見的過程。的過程。2.4.1 2.4.1 高斯過程的定義高斯過程的定義若隨機(jī)過程若隨機(jī)過程X(t)X(t)的任意的任意n n維分布維分布n=1,2,n=1,2,）均服從）均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。 n n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式見維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式見 式式2.4.12.4.1） （2.4.32.4.3）特點(diǎn)：高斯過程的特點(diǎn)：高斯過程的n n維分布只依賴各個隨機(jī)變量的均維分布只依賴各個隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對于高斯過程，只值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對于高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。需要研究它的數(shù)字

42、特征就可以了。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3037特別情況下，當(dāng)特別情況下，當(dāng)n=1時，式時，式2.4-1簡單為簡單為 21111211()1( , )exp22xaf x t此即為高斯過程此即為高斯過程X(t)在時刻在時刻t1取值所得隨機(jī)變量取值所得隨機(jī)變量X(t1)的一維概的一維概率密度函數(shù)，顯見其為正態(tài)的。式中，率密度函數(shù)，顯見其為正態(tài)的。式中，a1為為X(t1)的均值，的均值， 為為X(t1)的方差。的方差。（2.4-4）一維時：一維時：21第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-30382.4.2 2.4

43、.2 高斯過程的重要性質(zhì)由定義可分析出高斯過程的重要性質(zhì)由定義可分析出（1 1高斯過程若廣義平穩(wěn)，則必狹義平穩(wěn)高斯過程若廣義平穩(wěn)，則必狹義平穩(wěn) 。（2 2高斯過程中的隨機(jī)變量高斯過程中的隨機(jī)變量X(t1)X(t1)、X(t2)X(t2)、X(t3)X(t3)、之間若不相關(guān)，則它們也必是統(tǒng)計獨(dú)立的。之間若不相關(guān)，則它們也必是統(tǒng)計獨(dú)立的。意義：這種情況下，隨機(jī)過程極其復(fù)雜的意義：這種情況下，隨機(jī)過程極其復(fù)雜的n維正態(tài)概率密度函維正態(tài)概率密度函數(shù)表示轉(zhuǎn)化為數(shù)表示轉(zhuǎn)化為n個簡單的一維分布的乘積。個簡單的一維分布的乘積。（3若干個高斯過程之和仍是高斯過程。從信號角度。若干個高斯過程之和仍是高斯過程。從信

44、號角度。（4高斯過程經(jīng)線性變換后，仍是高斯過程。從系統(tǒng)角高斯過程經(jīng)線性變換后，仍是高斯過程。從系統(tǒng)角度。度。212122/2112112221()1()exp2(2 )()1= exp() ()22njjnnnnnjjjjnjjnnjjjxafxxxtttxaf xtf xtf xt， ， ， ； ， ， ， )，（2.4.5）第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3039221()( )exp(2.4.6)22xafx 則稱則稱x為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變?yōu)榉恼龖B(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量。量。 a均值，均值，2方差方差 。2.4.3

45、 2.4.3 高斯隨機(jī)變量高斯隨機(jī)變量高斯過程在任一時刻上的取值為高斯隨機(jī)變量。在分析高斯過程在任一時刻上的取值為高斯隨機(jī)變量。在分析系統(tǒng)抗噪聲性能時要反復(fù)用到。系統(tǒng)抗噪聲性能時要反復(fù)用到。1. 1. 定義定義/ /概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量x x的概率密度函數(shù)可表示成的概率密度函數(shù)可表示成曲線：曲線：第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3040性質(zhì)：性質(zhì)：1對稱于直線對稱于直線x=a; 2在在 內(nèi)單調(diào)上升，內(nèi)單調(diào)上升，在在 內(nèi)單調(diào)下降，且內(nèi)單調(diào)下降，且在在a點(diǎn)處達(dá)到極大值點(diǎn)處達(dá)到極大值;),(a),( a1( )1( )( )2aaf

46、 x dxf x dxf x dx，3） 4a 表示分布中心，表示分布中心，表示集中的程度。表示集中的程度。一定時，一定時，。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-30412. 2. 正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布函數(shù)（1 1一般表示式一般表示式22222/21()( )e( )d1()expdddxpd22122d2xxxx atf zzzazazaF xzetztzt，令，則這個積分不易計算，常引入誤差函數(shù)或這個積分不易計算，常引入誤差函數(shù)或Q函數(shù)可查表來表函數(shù)可查表來表述。述。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3042（3

47、 3用誤差函數(shù)表示用誤差函數(shù)表示 正態(tài)分布函數(shù)常表示成與誤差函數(shù)相聯(lián)系的形式。正態(tài)分布函數(shù)常表示成與誤差函數(shù)相聯(lián)系的形式。 1 1誤差函數(shù)定義誤差函數(shù)定義20( )2xzerf xedzxzdzexerfxerfc22)(1)(誤差函數(shù)：誤差函數(shù)：互補(bǔ)誤差函數(shù)：互補(bǔ)誤差函數(shù)：22/221()1( )exp222x axtzaF xdzedt附錄附錄B第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-30432 2誤差函數(shù)的性質(zhì)誤差函數(shù)的性質(zhì)誤差函數(shù)是遞增函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：誤差函數(shù)是遞增函數(shù)，它具有如下性質(zhì)： ()( )erfxerf x( )1erf ()2( )e

48、rfcxerfc x0)(erfc21( )1xerfc xexx，互補(bǔ)誤差函數(shù)是遞減函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：互補(bǔ)誤差函數(shù)是遞減函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：202( )xzerf xedzxzdzexerfxerfc22)(1)(第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-30443 3用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)22220( )( )( )( )11()exp22211211()222xaxaxaxatFxfz dzfz dzfz dzzadzedtxaerf 20,222( )xzzat dzdterf xedz1111( )2222()1()

49、22211()2xaxaerferfxcaerfcF x 或：或：第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3045（2 2用用Q Q函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù) Q Q函數(shù)定義：函數(shù)定義：2/21( )2txQ xedt22( )zxerfc xedzQ函數(shù)和函數(shù)和erfc函數(shù)的關(guān)系：函數(shù)的關(guān)系： 221)(xerfcxQ)2(2)(xQxerfcaxQaxerfcxF12211)(Q函數(shù)和分布函數(shù)函數(shù)和分布函數(shù)F(x)的關(guān)系：的關(guān)系：112)()2(xaerfcF xQ函數(shù)值也可以從查表得到。函數(shù)值也可以從查表得到。第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲

50、分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3046 2.5 2.5 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2.5.1 2.5.1 輸出過程的表達(dá)式輸出過程的表達(dá)式線性系統(tǒng)復(fù)習(xí)：線性系統(tǒng)復(fù)習(xí)： 設(shè)：線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)和網(wǎng)絡(luò)函數(shù)分別為設(shè)：線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)和網(wǎng)絡(luò)函數(shù)分別為 ：h(t)h(t)、H() H() 。周知：線性系統(tǒng)響應(yīng)周知：線性系統(tǒng)響應(yīng)y(t)等于輸入信號等于輸入信號x(t)與沖擊響應(yīng)與沖擊響應(yīng)h(t)的卷的卷積，即：積，即：確知信號通過確知信號通過線性系統(tǒng)：線性系統(tǒng)：( )( )* ( )( ) ()y tx th thx td第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪

51、聲分析通信原理2022-1-3047了解：了解： 上式對于確知信號是沒有問題的。上式對于確知信號是沒有問題的。 當(dāng)輸入是隨機(jī)過程當(dāng)輸入是隨機(jī)過程X (t)的任意一個實現(xiàn)時，也應(yīng)成立。即，的任意一個實現(xiàn)時，也應(yīng)成立。即，如果把如果把x(t)看作是輸入隨機(jī)過程看作是輸入隨機(jī)過程X (t)的某一個樣本，則的某一個樣本，則y(t)將將是輸出隨機(jī)過程是輸出隨機(jī)過程Y(t)的一個相應(yīng)的樣本。的一個相應(yīng)的樣本。 這一關(guān)系可以拓寬到包含所有樣本的隨機(jī)過程。即當(dāng)輸這一關(guān)系可以拓寬到包含所有樣本的隨機(jī)過程。即當(dāng)輸入是隨機(jī)過程入是隨機(jī)過程X(t)時，便有輸出隨機(jī)過程時，便有輸出隨機(jī)過程Y(t)。且有：。且有： 隨機(jī)

52、信號通過隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)：線性系統(tǒng)：( )( )* ( )( ) ()y tx th thx td( )( )* ( )( ) ()Y tX th thX td第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-30482.5.2 2.5.2 輸出隨機(jī)過程輸出隨機(jī)過程 Y(t) Y(t)的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性義務(wù)：假設(shè)義務(wù)：假設(shè)X(t)X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，且已知其統(tǒng)計特性，為平穩(wěn)隨機(jī)過程，且已知其統(tǒng)計特性，求求Y(t)Y(t)的統(tǒng)計特性。的統(tǒng)計特性。注：考察一個實現(xiàn)就夠了。注：考察一個實現(xiàn)就夠了。假設(shè)：假設(shè)：X(t) X(t) 是平穩(wěn)的輸入隨機(jī)過程，且是平穩(wěn)的輸入隨

53、機(jī)過程，且均值均值aX aX ，自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)RX(RX() ) ，功率譜密度功率譜密度 PX( PX() ) ；求輸出過程求輸出過程Y(t)Y(t)的統(tǒng)計特性：均值、自相關(guān)函數(shù)、功率的統(tǒng)計特性：均值、自相關(guān)函數(shù)、功率譜以及概率分布。譜以及概率分布。( )( )* ( )( )()Y tX th thX td第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-30491.Y(t)1.Y(t)的均值的均值結(jié)論：線性系統(tǒng)輸出過程的均值，是輸入過程均值與系統(tǒng)結(jié)論：線性系統(tǒng)輸出過程的均值，是輸入過程均值與系統(tǒng)直流增益的乘積。直流增益的乘積。 輸出過程的均值與時間無關(guān)。輸出過

54、程的均值與時間無關(guān)。 000( )()( )()()0XXYEhX tdhE X tdahdE Y ta Ha與與t無關(guān)。無關(guān)。( )( )()Y thX td對對兩邊取統(tǒng)計平均，有兩邊取統(tǒng)計平均，有第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-30502. Y(t)2. Y(t)的相關(guān)函數(shù)的相關(guān)函數(shù)根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義000 00 0( ,)( ) ()( )()d( )()()()d( ) ( )d d( ) ( )d d(XYYR t tE Y t Y tEhX thX thE X tXhthRhR 僅與僅與有關(guān)。有關(guān)。綜上綜上: Y(t)

55、: Y(t)平穩(wěn)。平穩(wěn)。( )( )()Y thX td第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3051由由進(jìn)行傅里葉變換，得進(jìn)行傅里葉變換，得( )( ) ( )()d dYXRhhR ( )( )( ) ( )()d ddjYYjXPRedhhRe 3.Y(t)3.Y(t)的功率譜密度的功率譜密度令令 = + -，代入上式，得到，代入上式，得到即即( )( )( )( )jjjYXPhedhedRed2( )( )( )( )( )( )YXXPHHPHP結(jié)論：結(jié)論：-運(yùn)用：由運(yùn)用：由PY()的反傅里葉變換求的反傅里葉變換求RY( ) 。第第2 2章章 隨

56、機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3052由于已假設(shè)由于已假設(shè)X(t)是高斯型的，所以上式右端的每一項在任一時是高斯型的，所以上式右端的每一項在任一時刻上都是一個高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時刻刻上都是一個高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時刻上得到的隨機(jī)變量就是無限多個高斯隨機(jī)變量之和輸上得到的隨機(jī)變量就是無限多個高斯隨機(jī)變量之和輸出過程也為高斯過程。出過程也為高斯過程。注：與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變。注：與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變。4. Y(t)4. Y(t)的概率分布函數(shù)的概率分布函數(shù)結(jié)論：結(jié)論：證：從積分原理看證：從積

57、分原理看可以表示為：可以表示為：0( )lim()()kkkkkY thX t( )( ) ()Y thX td第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3053 2.6 2.6 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程窄帶過程窄帶過程2.6.12.6.1窄帶隨機(jī)過程的概念窄帶隨機(jī)過程的概念1.1.什么叫窄帶隨機(jī)過程？什么叫窄帶隨機(jī)過程？ 頻譜：所占頻帶較窄，滿足頻譜：所占頻帶較窄，滿足f fcf fc的隨機(jī)過的隨機(jī)過程叫。程叫。 時域：用示波器觀察，看到某個實現(xiàn)的波形時域：用示波器觀察，看到某個實現(xiàn)的波形幅度和相位隨機(jī)緩慢變化的近似正弦。幅度和相位隨機(jī)緩慢變化的近似正弦。第第

58、2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-3054221( )= ( )cos( )( )(t)= ( )sin( )( )( )( )( )( )( )( )cscssca tttX tattX ttatatX tattgX ta 同相分量正交分的的量隨機(jī)包絡(luò)的的隨機(jī)相位問：窄帶隨機(jī)過程的同相及正交分量是低頻的還是高頻的問：窄帶隨機(jī)過程的同相及正交分量是低頻的還是高頻的?可以看出：可以看出： X(t)的統(tǒng)計特性由的統(tǒng)計特性由(t)和和(t)或或ac(t)和和as(t)的統(tǒng)計特性確定。的統(tǒng)計特性確定。 若若X(t)的統(tǒng)計特性已知，則的統(tǒng)計特性已知，則(t)和和(t)

59、或或ac(t)和和as(t)的統(tǒng)計的統(tǒng)計特性也隨之確定。特性也隨之確定。( )( )cos(t),( )cos(t)sin( )0cccsctX ttta ttat2. 2. 表達(dá)式兩種！表達(dá)式兩種！( ) t( ) t( )ca t( )sa t圖2-5 窄帶高斯過程矢量圖第第2 2章章 隨機(jī)信號與噪聲分析隨機(jī)信號與噪聲分析通信原理2022-1-30552.6.2 2.6.2 已知已知X(t)X(t)的統(tǒng)計特性，求的統(tǒng)計特性，求ac(t)ac(t)、as(t)as(t)的統(tǒng)計特的統(tǒng)計特性性僅給出結(jié)論，詳細(xì)證明見教材。僅給出結(jié)論，詳細(xì)證明見教材。結(jié)論：結(jié)論：假設(shè)：假設(shè)：X(t)X(t)是均值為

60、是均值為0 0、方差為、方差為22、窄帶、平穩(wěn)、高斯隨、窄帶、平穩(wěn)、高斯隨機(jī)過程。機(jī)過程。那么：（那么：（1 1ac(t)ac(t)、as(t)as(t)同樣是平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程；同樣是平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程； （2 2ac(t)ac(t)、as(t)as(t)的均值與的均值與X(t)X(t)的相同，皆為的相同，皆為0 0，即即(0)=(0)=0 ,(,)= () ()css ca aa acscsRRf a af af a （3ac(t)、as(t)的方差與的方差與X(t)的相同，皆為的相同，皆為2 ，即，即( )( )( )0csE a tE a tE X t（4在同一時刻即在同一時刻即=0上得到