曲線與方程三個(gè)課時(shí)30701PPT課件

1、為什么為什么? ?復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧: 我們研究了直線和圓的方程.1.經(jīng)過點(diǎn)P(0,b)和斜率為k的直線L的方程為_2.在直角坐標(biāo)系中,平分第一、三象限的直線方程是_3.圓心為C(a,b) ,半徑為r的圓C的方程為_.x-y=0第1頁/共40頁點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等x=y（或x- y=0）第一、三象限角平分線l含有關(guān)系：lx-y=0 xy0（1）l上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程x-y=0的解（2）以方程x-y=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在 上l曲線條件方程坐標(biāo)系中,平分第一、三象限的直線方程是x-y=0思考思考? ?第2頁/共40頁圓心為C(a,b) ,半徑為r的圓C的方程為:222()()xaybr思考思考? ?

2、第3頁/共40頁滿足關(guān)系：（1）、如果00(,)M xy00(,)M xy是圓上的點(diǎn)，那么一定是這個(gè)方程的解0 xyM（2）、方程表示如圖的圓圖像上的點(diǎn)M與此方程 有什么關(guān)系？222()()xaybr222()()xaybr 的解，那么以它為坐標(biāo)的點(diǎn)一定在圓上。00(,)M xy（2）、如果是方程222()()xaybr第4頁/共40頁(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解;(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么,這個(gè)方程叫做曲線的方程曲線的方程; 這條曲線叫做方程的曲線方程的曲線.定義定義: :1.曲線的方程反映的

3、是圖形所滿足的數(shù)量關(guān)系; 方程的曲線反映的是數(shù)量關(guān)系所表示的圖形.f(x,y)=00 xy 一般地,在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系:說明說明: :第5頁/共40頁2.“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程 的解” ,闡明曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)，也就是說曲線上所有的點(diǎn)都符合這個(gè)條件而毫無例外.（純粹性）.3.“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”,闡明符合條件的所有點(diǎn)都在曲線上而毫無遺漏.（完備性）.由曲線的方程的定義可知:如果曲線C的方程是 f(x,y)=0，那么點(diǎn)P0(x0 ,y0)在曲線C 上的

4、 充要條件充要條件 是f(x0, y0)=0 第6頁/共40頁例1 :判斷下列命題是否正確解解:(1)不正確，不具備完備性，應(yīng)為x=3,(2)不正確,不具備純粹性，應(yīng)為y=1.(3)正確.(4)不正確,不具備完備性,應(yīng)為x=0(-3y0).(1)過點(diǎn)A（3，0）且垂直于x軸的直線的方程為x=3(2)到x軸距離等于1的點(diǎn)組成的直線方程為y=1(3)到兩坐標(biāo)軸的距離之積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為xy=1 (4) ABC的頂點(diǎn)A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D為BC中點(diǎn)，則中線AD的方程x=0第7頁/共40頁例2.證明與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k(k0)的點(diǎn)的軌跡方程是xy=k.的解。是

5、方程即所以軸的距離為與軸的距離為與因?yàn)辄c(diǎn)是軌跡上的任意一點(diǎn)，如圖，設(shè)證明：kxyyxkyxxyyxMyxM),(,),() 1 (00000000M第8頁/共40頁kyxkyxkxyyxM1111111,),()2(即即的解，是方程的坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)。點(diǎn)是常數(shù)到兩條直線的距離的積因此點(diǎn)到縱軸、橫軸的距離，正是點(diǎn)而11111,MkMMyx的點(diǎn)的軌跡方程。的積為常數(shù)。是與兩條坐標(biāo)軸的距離可知，由)0()2(),1 (kkkxy第9頁/共40頁 第一步，設(shè)第一步，設(shè) M (M (x0 0, ,y0 0) )是曲線是曲線C C上任一點(diǎn)，上任一點(diǎn)，證明證明( (x0 0, ,y0 0) )是是f(

6、(x, ,y)=0)=0的解；的解；歸納歸納: : 證明已知曲線的方程的方法和步驟證明已知曲線的方程的方法和步驟 第二步，設(shè)第二步，設(shè)( (x0 0, ,y0 0) )是是 f( (x, ,y)=0)=0的解，證明的解，證明點(diǎn)點(diǎn) M (M (x0 0, ,y0 0) )在曲線在曲線C上上. .第10頁/共40頁練習(xí)1:下列各題中，下圖各曲線的曲線方程是所列出的方程嗎？為什么？ (1)曲線C為過點(diǎn)A(1，1)，B(-1，1)的折線(如圖(1)其方程為(x-y)(x+y)=0; (2)曲線C是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線其方程為x+ =0; (3)曲線C是, 象限內(nèi)到x軸，y軸的距離乘積為1的點(diǎn)集其方程為y

7、= 。10 xy-110 xy-11-2210 xy-11-221y第11頁/共40頁練習(xí)2:下述方程表示的圖形分別是下圖中的哪一個(gè)？ - =0 xy|x|-|y|=0 x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCD第12頁/共40頁第13頁/共40頁2. 練習(xí)：(1) 設(shè)A(2,0)、B(0,2)， 能否說線段AB的方程為x+y-2=0? (2) 方程x2-y2=0表示的圖形是_1.復(fù)習(xí)曲線的方程和方程的曲線的概念3.證明已知曲線的方程的方法和步驟第14頁/共40頁 上一節(jié)，我們已經(jīng)建立了曲線的方程.方程的曲線的概念.利用這兩個(gè)重要概念，就可以借助于坐標(biāo)系，用坐標(biāo)

8、表示點(diǎn)，把曲線看成滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡，用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）所滿足的方程f(x,y)=0表示曲線，通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì).這一節(jié)，我們就來學(xué)習(xí)這一方法.M點(diǎn), )x y坐標(biāo)(按某中規(guī)律運(yùn)動(dòng)C曲線, x y的制約條件( , )0f x y 方程幾何意義代數(shù)意義“數(shù)形結(jié)合” 數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)第15頁/共40頁1解析幾何與坐標(biāo)法：我們把借助于坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法叫做坐標(biāo)法. 在數(shù)學(xué)中，用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識(shí)形成了一門叫解析幾何的學(xué)科.因此，解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.2平面解析幾何研究的主要問題：（1）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；

9、（2）通過方程，研究平面曲線的性質(zhì).說明：本節(jié)主要討論求解曲線方程的一般步驟.第16頁/共40頁法二法二: :若沒有現(xiàn)成的結(jié)論怎么辦若沒有現(xiàn)成的結(jié)論怎么辦? ? 需要掌握一般性的方法需要掌握一般性的方法 第17頁/共40頁 | MBMAMP 2222) 7() 3() 1() 1( yxyx.由兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)M所適合條件可表示為：將上式兩邊平方，整理得： x+2y7=0 我們證明方程是線段AB的垂直平分線的方程.（1）由求方程的過程可知，垂直平分線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程解；（2）設(shè)點(diǎn)M1的坐標(biāo)（x1,y1）是方程的解，即: x+2y17=0 x1=72y1解法二:設(shè)M(x,y)是線段AB

10、的垂直平分線上任意一點(diǎn),也就是點(diǎn)M屬于集合問題1.設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，(3,7)，求線段AB的垂直平分線的方程.第18頁/共40頁; )136(5 )1()28( )1()1(121212121211 yyyyyxAM,)136(5 )7()24( )7()3(11121212121211BMAMyyyyyxBM 即點(diǎn)M1在線段AB的垂直平分線上.由(1)、(2)可知方程是線段AB的垂直平分線的方程.點(diǎn)M1到A、B的距離分別是這種求曲線的方程的方法叫：直接法第19頁/共40頁由上面的例子可以看出，求曲線（圖形）的方程，一般有下面幾個(gè)步驟：說明：一般情況下，化簡(jiǎn)前后方程的解集是相同的

11、，步驟（5）可以省略不寫，如有特殊情況，可適當(dāng)予以說明.另外，根據(jù)情況，也可以省略步驟（2），直接列出曲線方程.(1)用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)寫出適合條件p的點(diǎn)M集合P=M|p(M)(3)用坐標(biāo)表示條件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式；(5)說明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上.第20頁/共40頁例2.已知一條直線l和它上方的一個(gè)點(diǎn)A，點(diǎn)A到l的距離是2,一條曲線也在l的上方，它上面的每一點(diǎn)到A的距離減去到l的距離的差都是2,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求這條曲線的方程.取直線l為x軸,過點(diǎn)A且垂直于直線l的直線為y軸,建立

12、坐標(biāo)系xOy,解：2MAMB22(0)(2)2xyy218yx21(0)8yxx2)列式3）代換4)化簡(jiǎn)5）審查(0,2)AMB1）建系設(shè)點(diǎn)因?yàn)榍€在x軸的上方，所以y0, 所以曲線的方程是 設(shè)點(diǎn)M(x,y)是曲線上任意一點(diǎn)，MBx軸，垂足是B，第21頁/共40頁 通過上述兩個(gè)例題了解坐標(biāo)法的解題方法，明確建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是求解曲線方程的基礎(chǔ)；同時(shí)，根據(jù)曲線上的點(diǎn)所要適合的條件列出等式，是求曲線方程的重要環(huán)節(jié)重要環(huán)節(jié)，在這里常用到一些基本公式，如，等，因此先要了解上述知識(shí)，必要時(shí)作適當(dāng)復(fù)習(xí).第22頁/共40頁第23頁/共40頁思考思考:(37P練習(xí)第練習(xí)第 3 題題) 如圖如圖,已知點(diǎn)已知點(diǎn)

13、C 的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(2 , 2) , 過點(diǎn)過點(diǎn) C 直線直線 CA與與 x 軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn) A,過點(diǎn)過點(diǎn) C 且與直線且與直線 CA 垂直的直線垂直的直線 CB與與 y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn) B,設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) M 是線段是線段 AB 的中點(diǎn)的中點(diǎn),求點(diǎn)求點(diǎn) M的的軌跡方程軌跡方程. xy0CBAM( , )x y第24頁/共40頁第25頁/共40頁求曲線（圖形）的方程步驟：求曲線（圖形）的方程步驟：說明：一般情況下，化簡(jiǎn)前后方程的解集是相同的，步驟（5）可以省略不寫，如有特殊情況，可適當(dāng)予以說明.另外，根據(jù)情況，也可以省略步驟（2），直接列出曲線方程.(1)用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）表示曲線上任意一點(diǎn)M

14、的坐標(biāo)；(2)寫出適合條件p的點(diǎn)M集合P=M|p(M)(3)用坐標(biāo)表示條件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式；(5)說明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上.第26頁/共40頁解:練習(xí)1.22yx yx 的的2.B第27頁/共40頁B3.4.到F(2，0)和y軸的距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是_ 解:設(shè)動(dòng)點(diǎn)為(x，y)，則由題設(shè)得| |x x| |y y2 2x x2 22 2化簡(jiǎn)得:y2=4(x-1)這就是所求的軌跡方程. .y2=4(x-1)第28頁/共40頁5. 在三角形ABC中，若|BC|=4，BC邊上的中線AD的長(zhǎng)為3，求點(diǎn)A的軌跡方程.設(shè)A(x

15、，y)，又D(0，0)，所以3 3y yx x| |A AD D| |2 22 2化簡(jiǎn)得 :x2+y2=9 (y0)這就是所求的軌跡方程.解:取B、C所在直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系.第29頁/共40頁1.直接法直接法: 求軌跡方程最基本的方法, 直接通過建立x, y之間的關(guān)系, 構(gòu)成 F(x, y)=0 即可.直接法 定義法 代入法 參數(shù)法求軌跡方程的常見方法求軌跡方程的常見方法:2.定義法定義法：（待定系數(shù)法）利用所學(xué)過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做定義法這種方法要求題設(shè)中有定點(diǎn)與定直線及兩定點(diǎn)距離之和或差

16、為定值的條件，或利用平面幾何知識(shí)分析得出這些條件（下面的課中講）第30頁/共40頁3.代入法:這個(gè)方法又叫相關(guān)點(diǎn)法或坐標(biāo)代換法.即利用動(dòng)點(diǎn)P(x,y)是定曲線F(x,y)=0上的動(dòng)點(diǎn),另一動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依賴于P(x,y)，那么可尋求關(guān)系式x=f(x,y),y=g(x,y)后代入方程F(x,y)=0中，得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.第31頁/共40頁例、已知ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三個(gè)頂點(diǎn)C在曲線y=3x2-1上移動(dòng),求ABC的重心的軌跡方程.（代入法）第32頁/共40頁4.參數(shù)法參數(shù)法: 選取適當(dāng)?shù)膮?shù),分別用參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y,得出軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即得其普通方程。歸納：選參數(shù)時(shí)必須首先考慮到制約動(dòng)點(diǎn)的各種因素，然后再選取合適的參數(shù)，常見的參數(shù)有角度、直線的斜率、點(diǎn)的坐標(biāo)、線段長(zhǎng)度等。第33頁/共40頁xy0ABCMl例、經(jīng)過原點(diǎn)的直線l與圓 相交于兩個(gè)不同點(diǎn)A A、B B，求線段ABAB的中點(diǎn)M M的軌跡方程. .226490 xyxy消參法第34頁/共40頁1.1.求曲線的方程的一般步驟： 設(shè)（建系設(shè)點(diǎn)） 找（找等量關(guān)系） 列（列方程） 化（化簡(jiǎn)方程） 驗(yàn)（以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)） - M(x,y)- P=M|M滿