第五章梁彎曲時的位移(含能量法教學)

1、 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 (Displacements of Bending Beam) 廖東斌廖東斌 編制編制 1345191106113451911061 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移1.1.工程實踐中的彎曲變形問題工程實踐中的彎曲變形問題 在工程中，對某些受彎構件，要求變形不能在工程中，對某些受彎構件，要求變形不能過大，即要求構件有過大，即要求構件有足夠的剛度足夠的剛度，以保證正常，以保證正常工作。工作。 在另外一些情況下，卻要求構件具有較大在另外一些情況下，卻要求構件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。的彈性變形，以滿足特定的工作需要。變形過大的

2、變形過大的不利影響不利影響（工程實例）（工程實例） 搖臂鉆床的搖臂等變形過大，就會影響搖臂鉆床的搖臂等變形過大，就會影響零件的加工精度，甚至會出現(xiàn)廢品。零件的加工精度，甚至會出現(xiàn)廢品。 橋式起重機的橫梁變形過大橋式起重機的橫梁變形過大, ,則會使小車則會使小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。 傳動軸的支座處轉(zhuǎn)角過大，軸承發(fā)生磨損。傳動軸的支座處轉(zhuǎn)角過大，軸承發(fā)生磨損。P2P2P變形的變形的有利方面有利方面（工程實例）（工程實例）撓度撓度w：橫截面形心處的鉛垂位移。橫截面形心處的鉛垂位移。轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 ：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。梁對稱彎曲時用什么梁對稱彎曲

3、時用什么參數(shù)參數(shù)表示軸線的表示軸線的變形變形?wzEIxMx)()(1?w撓度撓度w：橫截面形心處的鉛垂位移。橫截面形心處的鉛垂位移。轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 ：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。撓曲線撓曲線(deflection curve) 變形后的軸線。變形后的軸線。工程實例工程實例控制截面的撓度、控制截面的撓度、控制橋墩的水平位移控制橋墩的水平位移工程中測量撓度的方法、儀器工程中測量撓度的方法、儀器精密水準儀、全站儀、精密水準儀、全站儀、GPSGPS、機電百分表、光、機電百分表、光電方法等電方法等w撓曲線方程：撓曲線方程：轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角方程：)(xfw )(tanxfw 2321/)

4、(ww 曲線曲線 w = f (x) 的曲率為的曲率為梁純彎曲時曲率由幾何關系得梁純彎曲時曲率由幾何關系得zEIxMx)()(1wwwx 23211/)()(zEIxMx)()(1)(xMwEIz 問題的關鍵：問題的關鍵：考慮上式中的取考慮上式中的取正正還是取還是取負？負？考慮小變形條件：考慮小變形條件：MwEI M 0 xy0 wMMMMM 00 wxy問題的關鍵：問題的關鍵：考慮上式中的取考慮上式中的取正正還是取還是取負？負？思考思考: :與小撓度微分方程與小撓度微分方程 相對應的相對應的坐標系為？坐標系為？ （ ）)(xMwEIz xxxyyy(a)(b)(c) 教材中采用教材中采用（a

5、)圖圖坐標系坐標系)(xMwEI Cxd )x(MwEIDCxxdxd )x(MEIw2. 積分法求彎曲變形積分法求彎曲變形式中式中積分常數(shù)積分常數(shù)C、D由由邊界條件邊界條件確定確定彎矩方程不分段時彎矩方程不分段時彎矩方程分彎矩方程分n段段時，積分常數(shù)個數(shù)為時，積分常數(shù)個數(shù)為2n由邊界條件確定的方程需要由邊界條件確定的方程需要2n個個方法的局限性：方法的局限性：外力復雜或多跨靜定梁時計算量過大外力復雜或多跨靜定梁時計算量過大光滑連續(xù)條件：光滑連續(xù)條件：FCccccww邊界條件邊界條件約束條件約束條件:兩端鉸處撓度為零。兩端鉸處撓度為零。邊界條件邊界條件邊界條件邊界條件xylq例例1.已知梁的抗

6、彎剛度為已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡。試求圖示簡支梁在均布載荷支梁在均布載荷q作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定曲線方程，并確定max和和wmax。解：解：222)(xqxqlxM 222xqxqlwEI CxqxqlwEI 3264DCxxqxqlEIw 432412由邊界條件：由邊界條件：000 wlxwx時時，時時，得：得：0,243 DqlCxqlxyAB最大轉(zhuǎn)角和最大撓度：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度：xqlxyABAB)2(24332lxlxEIqxw EIqlwwlx384542max （）（ ）轉(zhuǎn)角為正時，表示其轉(zhuǎn)向和由轉(zhuǎn)角為正時，表示其轉(zhuǎn)向和由x軸軸轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向

7、y y軸的時針相軸的時針相同；撓度為同；撓度為正正時時，表示其方向和表示其方向和y y軸正向相同。軸正向相同。)46(24332lxlxEIqw EIqlBA243max xylPAB例例2.2.已知梁的抗彎剛度為已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示懸臂梁。試求圖示懸臂梁在集中力在集中力P作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定并確定maxmax和和wmax。解解：)()(xlPxM lPxPwEI CxlPxPwEI22DCxxlPxPEIw2326由邊界條件：由邊界條件：000w,wx時時，得：得：0 DCxylPABx梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓

8、曲線方程分別為：)2(2lxEIxP )3(62lxEIxPw 最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：EIPlB22max EIPlwwB33max xylPABxBEIPlB22 EIPlwB33 另解另解：PxxM )(xPwEI CxPwEI 22DCxxPEIw 36邊界條件：邊界條件：0, 0 wwlx，時EIPlC22 xyPABxEIPlD33 )(xMwEI 梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：EIlPEIxP2222 EIlPEIxlPEIxPw326323 最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：EIPlB22max E

9、IPlwwB33max BxyPABxxyl2FABCl2例例3已知梁的抗彎剛度為已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁。試求圖示簡支梁在集中力在集中力F作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定并確定max和和 wmax。解：解：xFxMAC2)( ：段xFwEI2 CxFwEI 24DCxxFEIw 312由邊界條件由邊界條件：00 wx，時得得：0 D由對稱條件：由對稱條件：02 wlx時，時，得得：162FlC xyl2FABCl2x思考：思考：0 c ?AC段段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：)4(1622lxEIF )34(4

10、822lxEIxFw 最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：EIPlBA162max EIPlwwlx4832max xyl2FABCl2x四四. .用疊加法計算梁的變形用疊加法計算梁的變形 在材料服從胡克定律、且變形很小的前提在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下下, ,載荷與它所引起的變形成線性關系。載荷與它所引起的變形成線性關系。 若計算幾個載荷共同作用下在某截面上若計算幾個載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計算各載荷單獨作引起的變形，則可分別計算各載荷單獨作用下的變形，然后疊加。用下的變形，然后疊加。 當梁上同時作用幾個載荷時，各個載荷所引當梁上同時作用幾個載荷

11、時，各個載荷所引起的變形是各自獨立的，互不影響。起的變形是各自獨立的，互不影響。 如圖示，要計算三種載荷作用下在某截面如如圖示，要計算三種載荷作用下在某截面如C截面撓度，則可截面撓度，則可直接查表直接查表：各載荷單獨作用：各載荷單獨作用下的撓度，然后疊加（下的撓度，然后疊加（代數(shù)和代數(shù)和）。）。 如果如果不能直接查表不能直接查表，則要采用分段剛化等方，則要采用分段剛化等方法化成可查表形式。法化成可查表形式。逐段剛化法：逐段剛化法：變形后：變形后：ABAB BC BCC C點的位移為：點的位移為：wc c2LwwwwBBcBcBACw 、例例4.4.用疊加法求用疊加法求解：解：EIl q3845

12、4EIlP483EIlm162CwAEIl q243EIlP162EIlm3BEIl q243EIlP162EIlm3（ ）（ ）（ ）解：解：BPaEI 22maEI20mPa4例例6.求外伸梁求外伸梁C處的位移。處的位移。LaCABP解：解：ABCP剛化EI=PCfc1BC引起的位移引起的位移c1EIpafc331EIpac221剛化剛化AB剛化剛化BC， AB部分引起的位移部分引起的位移CABP剛化EI=fc2B2PPaB2aEIPaLafBc322EIpaLB3221cccfff21ccc 例例7. 求圖示變截面梁求圖示變截面梁B、C截面的撓度截面的撓度 。解：解：)EI(aPa)EI

13、(PawB222323 EIPa1253EIaPa)EI(PaB2222 順順時時針針EIPa432EIPaEIPaawwBBC23333 思考思考:梁橫截面為邊長為梁橫截面為邊長為a的正方形，彈性模量為的正方形，彈性模量為E1；拉桿橫截面為直徑為；拉桿橫截面為直徑為d的圓，彈性模量為的圓，彈性模量為E2。求求:拉桿的伸長及拉桿的伸長及AB梁中點的撓度。梁中點的撓度。 在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱為形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱為彈性應變能彈性應變能，簡，簡稱稱應變能應變能 ( (又稱又稱變形能變形能) )。 WV 物體在外力作

14、用下發(fā)生變形，物體的變形物體在外力作用下發(fā)生變形，物體的變形能在數(shù)值上等于外力在加載過程中在相應位能在數(shù)值上等于外力在加載過程中在相應位移上所做的功，即移上所做的功，即1 1、軸向拉伸和壓縮、軸向拉伸和壓縮PPllWV lP 21EAlFEAlPN2222lNEAxFV2d2 一般地一般地2 2、扭轉(zhuǎn)、扭轉(zhuǎn)WV mm m21ppIGlTIGlmm2212lpIGxTV2d2 一般地一般地3 3、彎曲、彎曲WV lIExMV2d212m12mmlEIm lEIM lEI2222一般地一般地純彎曲：純彎曲：11WVlsGAxFkV2d2 VdVG22 dAdsIAkAzz2)(dxGAFkls22

15、dISFzzs 橫力彎曲時剪力影響：橫力彎曲時剪力影響： 一般地一般地lIExM2d2llplNIExMIGxTAEdxFV2d2d2222 對橫力彎曲的梁，截面上彎矩和剪力，當高對橫力彎曲的梁，截面上彎矩和剪力，當高跨比較大（長梁）時，跨比較大（長梁）時，剪切變形能影響較小，可剪切變形能影響較小，可忽略不計忽略不計，對短梁應考慮剪切變形的影響。，對短梁應考慮剪切變形的影響。長梁應變能：長梁應變能：lIExMV2d2 組合變形應變能：組合變形應變能：iFiiFV lIExMV2d2 iiFV dxMMEIMili.dxFMEIMili.0q0AMAMx321)(0 xxxlqMxMAlxqMA

16、3061dxMxMEIxMlAA0)()( lxqMxMA3061)(1)(AMxMdxlxqEIdxlxqMEIllA030300611)61(1EIlq2430( )EIlqwA30401x2x11Fx)x(M Fa)x(M 20)(1xFNF)x(FN 2 11011101dxF)x(FEA)x(FdxF)x(MEI)x(MNaNaCy 22022202dxF)x(FEA)x(FdxF)x(MEI)x(MNaNa 102021021dxEAFdxEIFadxEIFxaaaCy EAFaEIFl 343EIFlCx23 例例10.求中點求中點C的位移。的位移。ABCF11IE 21IE2l

17、2l考慮如何用考慮如何用疊加法疊加法有一定難度，用有一定難度，用能量法能量法解解很很容易容易。2)(FxxM 2, 0lx dxFxMIExMlCy )()(201111320112964IEFldxIEFxl ABCF11IE 21IE2l2lx)()()()(11xMFxMFxMFxMnnii lIExxMV2)d(2 dxFxMEIxMili)(.)(liidxEIxMxM)()(莫爾積分莫爾積分)(xMi只在只在i處處加相應單位力加相應單位力后的彎矩方程后的彎矩方程)(xM的彎矩方程的彎矩方程liNNlPiliidxEAxFxFdxGIxTxTdxEIxMxM)()()()()()(n

18、jjjNNjiEAlFF1jNF只在只在i處處加相應單位力加相應單位力后的彎矩方程后的彎矩方程例例11.11.已知懸臂梁長為已知懸臂梁長為l, ,彎曲剛度為彎曲剛度為EI , , 受力受力大小為大小為F , ,計算自由端計算自由端B處撓度和轉(zhuǎn)角。處撓度和轉(zhuǎn)角。FABlFABx1ABxFxxM)()(xM)(xMxxM)(lBdxEIxMxMw0)()(ldxEIFx02EIFl33FABx)(xM1ABx)(xMFxxM)(1)(xMlBdxEIxMxM0)()( EIFldxEIFxl220( )1x2x11Fx)x(M Fa)x(M 20)(1xFNF)x(FN 21x2x11x)x(M

19、01 )x(FNa)x(M 212 )x(FN lNNllcydxEAxFxFdxEIxMxMdxEIxMxM022202220111)()()()()()(11)(FxxM FaxM )(20)(1 xFNFxFN )(211)(xxM 0)(1 xFNaxM )(21)(2 xFN llldxEAFdxEIFadxEIFx020220121EAFaEIFl 343 在應用莫爾積分求在應用莫爾積分求梁梁位移時，需計算下列位移時，需計算下列形式的積分：形式的積分：liidxEIxMxM)()( 對于等直桿，對于等直桿，EI=const=const，可以提到積分號，可以提到積分號外，故只需計算積

20、分外，故只需計算積分lidxxMxM)()(直桿直桿 圖必定是直線或折線。圖必定是直線或折線。 tg)( xxMi)(xMi)(xMi)(xMCMlidxxMxM)()(ldxxxM)(tan ldxxxM)(MCx MCMCliMxdxxMxM tan)()(liidxEIxMxM)()(EIMMCi CMM M圖圖分段面積分段面積C圖圖形心形心MM圖圖中對應于中對應于C下縱坐標下縱坐標EAlFFEIMjjNNjMCi 在在平面剛架平面剛架, ,組合結構組合結構時，用下列形式計算時，用下列形式計算注意注意: : 分段必須為分段必須為直線段直線段M在取面積的圖中找形心在取面積的圖中找形心, ,

21、另圖找對應的縱坐標另圖找對應的縱坐標 M分段為直線段時分段為直線段時, ,也可以也可以EIMMCi 找縱坐標的圖必須為找縱坐標的圖必須為直線段直線段 頂點頂點頂點頂點23lh13lh二次拋物線二次拋物線參考用圖參考用圖 例例13.13.已知懸臂梁長為已知懸臂梁長為l, ,彎曲剛度為彎曲剛度為EI , , 受分受分布力集度為布力集度為q , ,計算自由端計算自由端B處轉(zhuǎn)角。處轉(zhuǎn)角。qAlB1AMEIMwCMB M22ql82qlEIql63 EIlql12312 M1qAlB1AM22ql82qlMl43lEIMwWCMB CEIllql432312 EIql84 例例14.求中點求中點C的位移

22、。的位移。ABCF11IE 21IE2l2l前面前面例例10用用卡氏第二定理卡氏第二定理解過，現(xiàn)用圖乘法解過，現(xiàn)用圖乘法解。解。2)(FxxM 2, 0lx dxFxMIExMlCy )()(201111320112964IEFldxIEFxl ABCF11IE 21IE2l2lxM4/ l1162421IEllPlw 11396IEPl M4/Pl（用單位力法求解）用單位力法求解）MNF EAFaEIFaEAaFEIaFaaFaCy 3413221322maxmaxlwlw許可撓跨比和許可轉(zhuǎn)角，它們決定于構件正常許可撓跨比和許可轉(zhuǎn)角，它們決定于構件正常工作時的要求。工作時的要求。五、梁的剛度

23、計算五、梁的剛度計算剛度條件：剛度條件：500483lwEIPlwmax250048lEIP kN.117PmaxmaxMWzPlWz460MPa 711.kN 影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載荷情況有關，而且還與梁的材料、截面尺載荷情況有關，而且還與梁的材料、截面尺寸、形狀和梁的跨度有關。所以，要想提高寸、形狀和梁的跨度有關。所以，要想提高彎曲剛度，就應從上述各種因素入手。彎曲剛度，就應從上述各種因素入手。增大梁的抗彎剛度增大梁的抗彎剛度EI；減小跨度或增加支承；減小跨度或增加支承；改變加載方式和支座位置。改變加載方式和支座位置。選擇題練習選擇題練習

24、 、 、 、 、分析：分析： yE RrErRrEyE maxmax 、 、 、 、分析：分析：zEIxMx)()(1 3 3、與小撓度微分方程與小撓度微分方程 相對應的坐相對應的坐標系為標系為 （ ） ？)(xMwEIz xy(a)xy(b)xy(c) (d) xy 、 分析：分析：y坐標向下為右邊負號坐標向下為右邊負號CABaqaaaD 、 、 、 、 、 、分析：分析：FAB 、 、 、 、分析：分析：EIFlwB33 FAB 、 、 、 、分析：分析：EIFlwB33 llFABCllFABCFEIFlB2 EIFlB232 0 B EIFlB353 4Pam 0 B EIPlB322

25、 EIPlB232 EIPlB2 、 、 、 、分析：分析：EIqlw84 、 、 、 、分析：分析： 分析：分析：113max148IEFlw 223max248IEFlw 112max116IEFl 222max216IEFl 2211IEIE cbxaxy 2 13.13.已知懸臂梁長為已知懸臂梁長為l, ,彎曲剛度為彎曲剛度為EI , , 受力大受力大小為小為F , ,用圖乘法計算自由端用圖乘法計算自由端B處撓度和轉(zhuǎn)角。處撓度和轉(zhuǎn)角。FABl1ABlPllMMEIPlEIlPlwB3332221 ()FABl1ABlPl1MMEIPlEIPlB212221 FABl14.14.已知懸臂梁長彎曲剛度為已知懸臂梁長彎曲剛度為EI , , 受力如圖受力如圖 , ,用圖乘法計算自由端用圖乘法計算自由端B處撓度和轉(zhuǎn)角。處撓度和轉(zhuǎn)角。FABFllFABFllAB1llFlMMl2EIFlEIlFllFlwB611332221232 FABFllEIFllEIFlEIFlEIlFwB611233)2(3233 疊加法疊加法ABFllFABll15.15.已知懸臂梁長彎曲剛度為已知懸臂梁長彎曲剛度為EI , , 受力如圖受力如圖 , ,用卡氏用卡氏第二定理計算自由端第二定理計算自由端B處撓度時，有（處撓度時，有（ ）。）。FABFllA.A.彎矩方程不分段。彎矩方