學(xué)習(xí)者特征分析

1、諫程設(shè)計(jì)方聚亠口一M2正弦定理與余弦定理論計(jì)人：譚雄學(xué)習(xí)者特征分析一、學(xué)習(xí)者一般特征分析 ：高一是中學(xué)生進(jìn)入高中的開始， 學(xué)生在前面幾年的學(xué)習(xí)中已有一定的理解能力。 本學(xué)期 中，致力于綜合性學(xué)習(xí)能力，重在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自學(xué)，結(jié)合自己的理解能力，具體的看懂教 材中的內(nèi)容，能合理的理解運(yùn)用公式。1、高一的孩子思維活躍，模仿能力強(qiáng)。對(duì)新知事物滿懷探求的欲望；同時(shí)他們也具備了 一定的學(xué)習(xí)能力。2、學(xué)生在生活中已經(jīng)了解了一些關(guān)于三角形的知識(shí)，學(xué)生有了一定的學(xué)習(xí)認(rèn)知基礎(chǔ)。3、學(xué)生在抽象概括正弦定理和余弦定理時(shí)，可能在數(shù)學(xué)語(yǔ)言的描述上會(huì)有一定的困難，表 達(dá)上也可能不夠嚴(yán)密。4、學(xué)生需要更多探討的空間和交流的機(jī)

2、會(huì)，讓學(xué)生經(jīng)歷漸近思辯的過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生思維的 發(fā)展。二、學(xué)習(xí)者的初始水平分析1 、對(duì)學(xué)習(xí)者的初始技能進(jìn)行一個(gè)分析，來(lái)確定教學(xué)目標(biāo)完成教學(xué)。2 、初始技能分析要學(xué)會(huì)解決一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題、 充分掌握一般問(wèn)題題的解題思路、 學(xué)會(huì)運(yùn) 用正弦定理與余弦定理解決生活中的問(wèn)題3 、初始技能圖目標(biāo)：讓學(xué)生理解掌握正弦定理與余弦定理的運(yùn)用正弦定理的性質(zhì)正弦定理的定理余弦定理的性質(zhì)余弦定理的推導(dǎo) 余弦定理的定理正弦定理的推導(dǎo)回憶向量的基本定理教學(xué)起點(diǎn)高一年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)有了一部分的基礎(chǔ)知識(shí)，可以通過(guò)自己已有的知識(shí)推導(dǎo)正弦定 理與余弦定理。 此部分要學(xué)習(xí)的是正弦定理與余弦定理的運(yùn)用， 結(jié)合前兩面學(xué)習(xí)的向量定理 和三角函

3、數(shù)定理， 同學(xué)可以根據(jù)理解了正弦定理與余弦定理可解決實(shí)際問(wèn)題， 這樣可以讓學(xué) 生更好地理解正弦定理和余弦定理合理的運(yùn)用。5 、本節(jié)課所面對(duì)的教學(xué)對(duì)像是高一的學(xué)生，他們還處于思維活躍的階段，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 有濃厚的興趣。三、學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)風(fēng)格分析：1、學(xué)習(xí)風(fēng)格的內(nèi)容 學(xué)習(xí)風(fēng)格包含了很多的內(nèi)容， 下面將從學(xué)習(xí)的條件、 認(rèn)知方式、 人格因素和生理類型等幾個(gè) 方面介紹學(xué)習(xí)風(fēng)格的內(nèi)容。（1）學(xué)習(xí)的條件 : 是指影響學(xué)生注意力以及接收、記憶信息能力的一組內(nèi)外因素。了解學(xué) 生對(duì)學(xué)習(xí)條件的需求， 有助于教師正確地選擇教學(xué)媒體、 教學(xué)活動(dòng)和教學(xué)組織形式。 感知或 接受刺激的感覺(jué)通道、 學(xué)生感情方面的需要、 學(xué)生的社會(huì)

4、性需要、 學(xué)生對(duì)環(huán)境的要求以及來(lái) 自于學(xué)生情緒的要求等。（2）認(rèn)知方式：是指學(xué)生在感知、記憶和思維的過(guò)程中所偏愛(ài)的態(tài)度和方式，它表現(xiàn)出學(xué) 生在組織和加工信息過(guò)程中的個(gè)別差異， 反映了學(xué)生在知覺(jué)、 記憶、 思維以及解決問(wèn)題的能 力等方面的特征。（3）人格因素：有關(guān)人格因素對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)產(chǎn)生的影響，在教育心理學(xué)研究中，正受到越來(lái) 越多的重視。（4）生理類型：由于學(xué)生的生理類型存在著差異，所以有的學(xué)生在心理能力上表現(xiàn)為左腦 半球優(yōu)勢(shì)， 有的是右腦半球優(yōu)勢(shì)， 還有的是兩個(gè)半球的腦功能和諧發(fā)展。 腦科學(xué)研究的結(jié)果 表明，雖然大腦左右半球的結(jié)構(gòu)幾乎完全一樣，但是在功能上卻有所不同。2 、測(cè)定學(xué)習(xí)風(fēng)格的方法（1

5、）是觀察法，即通過(guò)教師對(duì)學(xué)生的日常觀察來(lái)確定；（2）是問(wèn)卷法，即按照學(xué)習(xí)風(fēng)格的具體內(nèi)容設(shè)計(jì)一個(gè)調(diào)查量表，讓學(xué)生根據(jù)自己的情況來(lái) 填寫。（3）是征答法，讓學(xué)生自己來(lái)陳述自己的學(xué)習(xí)風(fēng)格四、學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)分析 1 、所謂學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，是指直接推動(dòng)學(xué) 生進(jìn)行學(xué)習(xí)的一種內(nèi)部動(dòng)力， 是激勵(lì)和指引學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)的一種需要。 有人認(rèn)為， 對(duì)知識(shí)價(jià) 值的認(rèn)識(shí)和對(duì)學(xué)習(xí)的直接興趣、 對(duì)自身學(xué)習(xí)能力的認(rèn)識(shí)、 對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)的歸因， 是學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng) 機(jī)的主要內(nèi)容。學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)與學(xué)習(xí)的關(guān)系2 、學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和學(xué)習(xí)是相輔相成的關(guān)系。學(xué)習(xí)能產(chǎn)生動(dòng)機(jī)，而動(dòng)機(jī)又能推動(dòng)學(xué)習(xí)。一般 來(lái)說(shuō)， 動(dòng)機(jī)具有加強(qiáng)學(xué)習(xí)的作用。根據(jù)耶克斯多德森律，動(dòng)機(jī)中等程度的激發(fā)

6、或喚起，對(duì) 學(xué)習(xí)具有最佳的效果。動(dòng)機(jī)過(guò)強(qiáng)或過(guò)弱，不僅對(duì)學(xué)習(xí)不利，而且對(duì)保持也不利。3 、內(nèi)部動(dòng)機(jī)：正弦定理與余弦定理的學(xué)習(xí)內(nèi)容，再此同時(shí)，在生活中正弦定理與余弦 定理在生活中隨時(shí)隨地都會(huì)用到。 由此可見(jiàn)， 此章的內(nèi)容貼近學(xué)生生活， 高一的學(xué)生正是處 于對(duì)生活充滿好奇的年齡，正弦定理與余弦定理在生活中有很大的用處，學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)。4 、外部動(dòng)機(jī)：這一節(jié)的內(nèi)容是高考數(shù)學(xué)大題的考試重點(diǎn)，特別正弦定理與余弦定理的 運(yùn)用，在高考中考試的分值比例大。 此內(nèi)容的學(xué)習(xí)作為基礎(chǔ)知識(shí)解決生活中的問(wèn)題起到很重 要的作用?？梢栽黾訉W(xué)生對(duì)其外部動(dòng)機(jī)的興趣。學(xué)習(xí)需求分析一、學(xué)習(xí)現(xiàn)狀上課之前我們要了解每個(gè)學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)知識(shí)的接

7、受能力不一樣， 所以我們需要做一個(gè)調(diào) 查，以了解學(xué)生的現(xiàn)狀和需要解決的問(wèn)題。調(diào)查方法我們采用以下三種方法：1、問(wèn)卷調(diào)查、 我們事先制定一份關(guān)于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)問(wèn)卷和學(xué)習(xí)方法等內(nèi)容的問(wèn)題， 讓我們初步了解學(xué)生的情況。2、考試調(diào)查、此方法主要我們調(diào)查學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)、技能等方面知識(shí)，我們事先需制訂一份 試卷，題型主要針對(duì)已學(xué)過(guò)的知識(shí)，對(duì)學(xué)習(xí)者進(jìn)行初步的了解。3、交流調(diào)查、課前我們先對(duì)每一個(gè)學(xué)生先以前學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行梳理，同時(shí)對(duì)學(xué)生提問(wèn)，通過(guò)提的問(wèn)題大體了解學(xué)生學(xué)習(xí)掌握的知識(shí)和沒(méi)有掌握的知識(shí)。二、達(dá)到期望的狀況期望達(dá)到的狀況是指學(xué)習(xí)者應(yīng)當(dāng)具備的能力素質(zhì)。 該教學(xué)設(shè)計(jì)的對(duì)象為高一學(xué)生， 對(duì)于 他們，期望

8、達(dá)到的狀況不能一概而論。面對(duì)不同的學(xué)生，期望值也就不一樣的。例如：社會(huì) 與學(xué)校之間就會(huì)產(chǎn)生差異、家長(zhǎng)與學(xué)生之間也會(huì)產(chǎn)生差異。1、本章我們講的內(nèi)容是正弦定理與余弦定理，那么老師的期望值上完課后能，讓學(xué)生 能合理的運(yùn)用正弦定理和余弦定理解決題目，同時(shí)解決生活中的一些問(wèn)題。2、家長(zhǎng)的期望值學(xué)生在學(xué)習(xí)了此章內(nèi)容后能解決高考考到這章的內(nèi)容，高考考出一個(gè) 好的成績(jī)。同時(shí)增加自己的綜合運(yùn)用能力。三、學(xué)習(xí)需求總結(jié)1、知識(shí) 讓學(xué)生們掌握正弦定理與余弦定理在高考考題中的應(yīng)用， 及其重要性， 本章的主要目標(biāo)就是 讓學(xué)生們理解和掌握正弦定理與余弦定理的性質(zhì)和定理，利用學(xué)習(xí)的知識(shí)解決問(wèn)題2、情感培養(yǎng)學(xué)生們的創(chuàng)新能力：

9、培養(yǎng)學(xué)生的理性思維能力、培養(yǎng)學(xué)生們的邏輯思維能力； 。在生活 中擁有較強(qiáng)的思維邏輯能力，有助于我們?cè)谟鲆?jiàn)各種問(wèn)題的時(shí)候的能夠合理的解決。3、技能 數(shù)學(xué)是一門非常有邏輯思維能力的學(xué)科， 它能夠幫助我們提高邏輯思維能力， 生活中的很多 生活常識(shí)都會(huì)遇到數(shù)學(xué)知識(shí)， 并能夠解決生活中遇到的實(shí)際問(wèn)題， 有學(xué)生認(rèn)為， 學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)生 活沒(méi)有太大的幫助， 我們要讓學(xué)生們認(rèn)識(shí)到這是一種錯(cuò)誤的觀點(diǎn)， 我們要善于運(yùn)用所學(xué)習(xí)的 數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決生活中的實(shí)際中問(wèn)題。把學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際的生活中去。四、總目標(biāo) 讓學(xué)生們學(xué)會(huì)正弦定理與余弦定理的數(shù)學(xué)知識(shí)，在高考中能利用此章的內(nèi)容解決考到 此章相關(guān)的內(nèi)容題目。 同時(shí)解決實(shí)

10、際生活中有關(guān)正弦定理與余弦定理的問(wèn)題， 激發(fā)學(xué)生們利 用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中遇到的問(wèn)題， 讓學(xué)生們學(xué)會(huì)自學(xué)的能力， 讓學(xué)生們有自主喜歡的學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)的興趣，這就是本節(jié)課所要達(dá)成的目標(biāo)附錄 1：中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度與方法調(diào)查問(wèn)卷尊敬的同學(xué)： 您好，現(xiàn)在我們?cè)谧鲆粋€(gè)關(guān)于中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度與方法調(diào)查問(wèn)卷 狀 況的調(diào)查。請(qǐng)不必有顧慮。請(qǐng)認(rèn)真閱讀問(wèn)題和答案 ，以了解你們現(xiàn)在的學(xué)習(xí)實(shí) 際學(xué)習(xí)態(tài)度與方法的情況，請(qǐng)您認(rèn)真填寫，從各選項(xiàng)中選擇最適合你的一個(gè)選 項(xiàng)，填寫在每道題目后面的括號(hào)里。 非常感謝你配合我們的調(diào)查。 1、你認(rèn)為學(xué)習(xí)最主要是為了什 么？A、為了滿足家長(zhǎng)的要求和期望B、為了得到老師或他人的表?yè)P(yáng)和認(rèn)可

11、C、為了能考上大學(xué)，以后能有一份好工作D、為了學(xué)習(xí)知識(shí)，將來(lái)成為一個(gè)有用的人2、學(xué)習(xí)時(shí)，你感覺(jué)怎樣？A、有趣，很喜歡B、比較輕松，能接受C、辛苦，但還能堅(jiān)持D、乏味、厭煩3、對(duì)自己目前的數(shù)學(xué)成績(jī)，你感覺(jué)怎樣？ A、很滿意 B、比較滿意 C、不太滿意 D、很不滿意4、你感 覺(jué) 得 到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)壓力嗎？A、壓力很大B、有一點(diǎn)壓力C、沒(méi)什么壓力D、不確定5、你聽(tīng)數(shù)學(xué)課的效果怎么樣？A、都能聽(tīng)懂B、大部分能聽(tīng)懂C、能聽(tīng)懂一點(diǎn)D、完全聽(tīng)不懂6、在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到你不懂或不理解的問(wèn)題，你通常會(huì)怎么辦？A、向老師請(qǐng)教B、與同學(xué)討論C、自己慢慢琢磨D、放棄7、你怎樣完成數(shù)學(xué)作業(yè)的呢？A、做作業(yè)中遇到困難經(jīng)常不

12、能完成，也不會(huì)問(wèn)同學(xué)、老師B、只講究速度做完就完事C、做作業(yè)遇到困難需要與同學(xué)討論才能完成D、能自己快速準(zhǔn)確的完成8、你是怎樣處理數(shù)學(xué)課的復(fù)習(xí)與作業(yè)的關(guān)系呢？A、不復(fù)習(xí)只完成作業(yè)B、邊做作業(yè)遇到有不懂的馬上看書或筆記C、先做作業(yè)再針對(duì)遇到的問(wèn)題看書、筆記，或問(wèn)同學(xué)、老師D、整理好課程內(nèi)容，認(rèn)真理解重點(diǎn)、難點(diǎn)之后再寫作業(yè)9、面臨 數(shù) 學(xué) 考 試 時(shí) 你 會(huì)到？A、心情放松B、有一點(diǎn)緊張C、非常緊張D、不確定10、試 卷 或 作 業(yè) 發(fā) 下 來(lái) 后 何 時(shí) 訂 呢？A、從不訂正B、回家訂正C、老師講評(píng)時(shí)D、立即11、關(guān)于復(fù)習(xí)你是怎樣做的呢？A、在平時(shí)、測(cè)驗(yàn)和考試前都不復(fù)習(xí)B、老師強(qiáng)調(diào)要復(fù)習(xí)才會(huì)復(fù)習(xí)

13、C、平時(shí)不復(fù)習(xí)，測(cè)驗(yàn)和考試前會(huì)復(fù)習(xí)D、在平時(shí)、測(cè)驗(yàn)和考試前都會(huì)認(rèn)真復(fù)習(xí)12、你與同學(xué)之間的學(xué)習(xí)交流情況是A、不與其他同學(xué)探討學(xué)習(xí)方面問(wèn)題B、有同學(xué)經(jīng)常對(duì)自已學(xué)習(xí)有幫助C、經(jīng)常與其他同學(xué)探討學(xué)習(xí)心得D、經(jīng)常幫助其他同學(xué)從13、在數(shù)學(xué)學(xué)科上，你通常A、完全按老師的要求進(jìn)行，沒(méi)有主動(dòng)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究B、主要精力放在解題上，沒(méi)有對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行認(rèn)真復(fù)習(xí)C、既注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)，又注意解題及解題后的反思、總結(jié)D、主動(dòng)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究，并經(jīng)常與同學(xué)一起討論、交流14、你的 學(xué) 習(xí) 效 率 怎樣？A、很高B、比較高C、比較低D、很低15、你課后復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的基本情況是A、 沒(méi)多少時(shí)間復(fù)習(xí)B、 無(wú)不懂則不復(fù)習(xí)C 、全

14、面復(fù)習(xí)，整理筆記D 、作業(yè)后復(fù)習(xí)再次感謝你配合我們填寫此次問(wèn)卷，謝謝！附錄 2：正弦定理和余弦定理講義第一課時(shí) 正弦定理（ 一 ） 課題引入C 轉(zhuǎn)動(dòng)。 A圖如圖 11-1 ，固定 ABC的邊 CB及 B，使邊 AC繞著頂點(diǎn) 思考： C的大小與它的對(duì)邊 AB的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 顯然，邊 AB的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角 C的大小的增大而增大。能否 用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來(lái)？ C（ 二 ） 探索新知在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有 asinA，bs

15、in B，又 sinC1c,ccAc則 a b ccbcsin A sin B sin Cb sin從而在直角三角形 ABC中， a sinAc B sin CCaB（圖 思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？ 讓學(xué)生進(jìn)行討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖，當(dāng) ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊 AB上的高是 數(shù)的定義，有 CD=asin B bsin A, 則 a bCD，根據(jù)任意角三角函同理可得 sincC 從而 a bb， sin B ，sin A sin B sin Csin A sin Ba圖（讓學(xué)生思考：是否可以用其它方法證明這一等式？證明二：（等積法）在

16、任意斜 ABC當(dāng)中1B bcsin A2 a=b=c sinA sinB sinCS ABC= ab sin C acsin 22 兩邊同除以 1 abc 即得：2 證明三：（外接圓法） 如圖所示， a a sin A sinD 同理 b =2R，sinB 由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。 證明四：（向量法）CD2R （R 為外接圓的半徑 ）c sinC2R過(guò) A 作單位向量 j 垂直于 AC由 AC+ CB= AB兩邊同乘以單位向量 j 得 j ?（ AC + CB ）= j ?AB則 j ?AC+j?CB=j ?AB| j|?| AC |cos90 +| j|?| CB

17、 |cos(90C)=|j| ?| AB |cos(90 A) asinC csinAa=csinA sinC同理，若過(guò) C作 j 垂直于 CB 得：從而c = bsinC sinBba=b=csinA sinB sinCsin A sin B sin C類似可推出，當(dāng) ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。（讓學(xué)生課 后自己推導(dǎo)）從上面的研究過(guò)程，可得以下定理正弦定理： 在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，a b csin A sin B sin C（ 三 ） 理解定理（1） 正弦定理說(shuō)明同一三角形中， 邊與其對(duì)角的正弦成正比， 同一正數(shù)，即存在正數(shù) k 使a ksin A，b

18、 ksin B，c ksin C； b sin B且比例系數(shù)為(2 ) sina A sinbB sinc C等價(jià)于 sinaA sin A sin B sin C sin A 從而知正弦定理的基本作用為：b sin B sin Cacsin A sin Ca bsinasinBsinA42.9sin81.80sin32.0080.1(cm) ；已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如A； sin B ； 已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如sin A asin B 。 b一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作 解三角形 。 （ 四 ） 例題剖析例

19、 1在 ABC 中，已知 A 32.00 ，B 81.80 ，a 42.9 cm，解三角形。 （ 課本 p3， 例 1）解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C 1800 (A B)1800 (32.00 81.80) 66.20根據(jù)正弦定理，根據(jù)正弦定理，asinCsinA42.9sin66.2 0sin32.0074.1(cm).例 2在 ABC 中，已知 a 20 cm， b 28cm， A 400 ，解三角形（角度精確到 10 ，邊長(zhǎng)精確到 1cm）。（ 課本 p4，例 4）解：根據(jù)正弦定理， 因?yàn)?0 < B <1800 ，所以 B 640，或B 1160.sinBbsinAa28s

20、in400200.8999.(1) 當(dāng)B 640 時(shí)，C 1800 (A B) 1800 (400 640) 760 ，asinCsinA20sin760sin40 030(cm).(2) 當(dāng)B 1160 時(shí)，C 1800 (A B) 1800 (400 1160) 240 ，asinCsinA20sin240sin40013(cm).評(píng)述：例 1，例 2 都使用正弦定理來(lái)解三角形，在解三角形過(guò)程中都使用三角形內(nèi)角和定理， 可見(jiàn)，三角形內(nèi)角和定理在解三角形中的重要應(yīng)用。 應(yīng)注意已 知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。（ 五 ） 課堂練習(xí)第 5 頁(yè)練習(xí)第 1（1） 、 2（1）

21、題 （ 六 ） 課時(shí)小結(jié) （ 讓學(xué)生歸納總結(jié) ）（1） 定理的表示形式：a b csin A sin B sin Cabcsin A sin B sin Ckk0；或a ksin A， b ksin B，c ksin C(k 0)（2） 正弦定理的應(yīng)用范圍：已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角第二課時(shí) 余弦定理（ 一 ） 課題引入如圖，在 ABC中，設(shè) BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和 C，求邊 c。 b（圖 （ 二 ） 探索新知聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法，可用什么途徑來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？ 用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因 A、B 均未知，所以較難求邊 c

22、。由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題如圖11-5，設(shè)CB a，CA b，AB c，那么 c=a-b ，2|c| =c ? c=(a-b) ? (a-b)=a ? a + b ? b -2a ? b從而c2 a2 b2 2abcosC同理可證2 2 2a2 b2 c2 2bccos A（ 圖 11-5）b2 a2 c2 2ac cos B于是得到以下定理余弦定理 ：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與 它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2 b2 c2 2bc cos Ab2 a2 c2 2ac cos B222c a b 2abcos C讓學(xué)生思考： 這個(gè)式子中

23、有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量， 可以 求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？（由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：b22 c2 a2bc222acb2ac222baccosAcosBcosC2ba（ 三 ） 理解定理從而知余弦定理及其推論的基本作用為： 已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；已知三角形的三條邊就可以求出其它角。讓學(xué)生思考： 勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系， 余弦定理 則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？（由學(xué)生總結(jié)）若 ABC中， C=900 ，則cosC 0，這時(shí) c2 a2 b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。 （ 四 ） 例題剖析例1 在ABC中，已知 B=60 cm，C=34 cm，A=41°，解三角形（角