直線的傾斜角和斜率張帆

1、引言: 通過坐標系把點和坐標、曲線和方程通過坐標系把點和坐標、曲線和方程聯(lián)系起來，這一方法是用代數(shù)方法研究幾聯(lián)系起來，這一方法是用代數(shù)方法研究幾何問題的基礎(chǔ)，它的產(chǎn)生對于促進教學(xué)的何問題的基礎(chǔ)，它的產(chǎn)生對于促進教學(xué)的發(fā)展起到了巨大的作用。發(fā)展起到了巨大的作用。 在本章中，我們將學(xué)習(xí)平面直角坐標在本章中，我們將學(xué)習(xí)平面直角坐標系中直線和圓的方程的知識，一般曲線方系中直線和圓的方程的知識，一般曲線方程的概念，以及用坐標的方法研究幾何問程的概念，以及用坐標的方法研究幾何問題的初步知識。這些知識是進一步學(xué)習(xí)圓題的初步知識。這些知識是進一步學(xué)習(xí)圓錐曲線方程、導(dǎo)數(shù)和微分等知識的基礎(chǔ)。錐曲線方程、導(dǎo)數(shù)和微分

2、等知識的基礎(chǔ)。此外，還要學(xué)習(xí)線性規(guī)劃的初步此外，還要學(xué)習(xí)線性規(guī)劃的初步知識，它是直線方程的一個直接應(yīng)用。知識，它是直線方程的一個直接應(yīng)用。(一一)復(fù)習(xí)一次函數(shù)及其圖象復(fù)習(xí)一次函數(shù)及其圖象已知一次函數(shù)已知一次函數(shù)y=2x+1，試判斷點試判斷點A(1，3)和點和點B(2，1)是否在函數(shù)圖象上是否在函數(shù)圖象上初中我們是這樣解答的：A(1,3)的坐標滿足函數(shù)式，點A在函數(shù)圖象上B(2，1)的坐標不滿足函數(shù)式，點B不在函數(shù)圖象上。 判斷點判斷點A在函數(shù)圖象上的理論依據(jù)是：在函數(shù)圖象上的理論依據(jù)是：滿足函數(shù)關(guān)系式的點都在函數(shù)的圖象上；滿足函數(shù)關(guān)系式的點都在函數(shù)的圖象上； 判斷點判斷點B不在函數(shù)圖象上的理論

3、依據(jù)是：不在函數(shù)圖象上的理論依據(jù)是：函數(shù)圖象上的點的坐標應(yīng)滿足函數(shù)關(guān)系式函數(shù)圖象上的點的坐標應(yīng)滿足函數(shù)關(guān)系式 簡言之，就是函數(shù)圖象上的點與滿足函簡言之，就是函數(shù)圖象上的點與滿足函數(shù)式的有序數(shù)對具有一一對應(yīng)關(guān)系數(shù)式的有序數(shù)對具有一一對應(yīng)關(guān)系(二二)直線的方程直線的方程思考： 直角坐標平面內(nèi)，一次函數(shù)的圖象都直角坐標平面內(nèi)，一次函數(shù)的圖象都是直線嗎？是直線嗎？直線都是一次函數(shù)的圖象嗎？直線都是一次函數(shù)的圖象嗎？一次函數(shù)的圖象是直線，直線不一定是一次函數(shù)的圖象是直線，直線不一定是一次函數(shù)的圖象，如直線一次函數(shù)的圖象，如直線 x=a 連函數(shù)都連函數(shù)都不是不是一次函數(shù)一次函數(shù)y=kx+b，x=a都可以看

4、作二都可以看作二元一次方程，這個方程的解和它所表示元一次方程，這個方程的解和它所表示的直線上的點一一對應(yīng)的直線上的點一一對應(yīng)直線的方程和方程的直線以一個方程的解為坐標的點都是某條以一個方程的解為坐標的點都是某條直線上的點；反之，這條直線上的點直線上的點；反之，這條直線上的點的坐標都是這個方程的解這時，這的坐標都是這個方程的解這時，這個方程就叫做這條個方程就叫做這條直線的方程；直線的方程；這條這條直線就叫做這個直線就叫做這個方程的直線方程的直線顯然，直線的方程是比一次函數(shù)包含對象更廣顯然，直線的方程是比一次函數(shù)包含對象更廣泛的一個概念泛的一個概念(三三)進一步研究直線方程的必要性進一步研究直線方

5、程的必要性通過研究一次函數(shù)，我們對直線的方程已通過研究一次函數(shù)，我們對直線的方程已有了一些了解，但有些問題還沒有完全解有了一些了解，但有些問題還沒有完全解決，如決，如y=kx+b中中k的幾何含意、已知直線的幾何含意、已知直線上一點和直線的方向上一點和直線的方向,怎樣求直線的方程、怎樣求直線的方程、怎樣通過直線的方程來研究兩條直線的位怎樣通過直線的方程來研究兩條直線的位置關(guān)系等置關(guān)系等,都有待于我們繼續(xù)研究都有待于我們繼續(xù)研究 問題問題1 1：在直角坐標系中，過點P的一條直線繞P點旋轉(zhuǎn)，不管旋轉(zhuǎn)多少周，它對x軸的相對位置有幾種情形？畫圖表示?？偨Y(jié)：有四種情況，如圖?？捎弥本€ 與x軸所成的角來描述

6、。我們規(guī)定，直線向上的方向與x軸的正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線和x軸平行或重合時，它的傾斜角為0。lpoyxlypoxlpoyxlpoyxl.pXYO.X.pYO（1）X.pYOX.pYO（1）（2）X.pYOX.pYOX.pYO（1）（2）（3）X.pYOX.pYOX.pYO（1）（2）（3）.p(4)(四四)直線的傾斜角直線的傾斜角 在平面直角坐標系中,對于一條與x軸相交的直線,如果把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為,那么就叫做直線的傾斜角傾斜角.當(dāng)直線和x軸平行或重合時,我們規(guī)定直線的傾斜角為0o ,因此因此,傾斜角的取值范圍是傾斜

7、角的取值范圍是 0o180o直線傾斜角的定義有下面三個要點：直線傾斜角的定義有下面三個要點：(1)直線和直線和x軸的交點；軸的交點；(2)直線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)；直線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)；(3)最小正角最小正角X.pYOX.pYOX.pYOX.pYO（1）（2）（4）（3）900oo009000018090問題問題2：下列圖中標出的直線的傾斜角對不對？如果不對，違背了定義中的哪一條？xyoxyoxyoxyo（1）（2）（3）（4）問題問題3：直線的傾斜角能不能是：直線的傾斜角能不能是0？能不能是銳角？能不？能不能是銳角？能不能是直角？能不能是鈍角？能不能是平角？能否大于平角？能是直角？能不能是鈍角？

8、能不能是平角？能否大于平角？（通過問題3的分析可知傾斜角的取值范圍是0 180，在此范圍內(nèi)，坐標平面上的任何一條直線都有唯一的傾斜角。而每一個傾斜角都能確定一條直線的方向，傾斜角直觀地表示了直線對x軸正方向的傾斜程度。）提問提問：XpYO.(x,y)Qtank2(五五)直線的斜率直線的斜率定義及表達式：定義及表達式： 傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。常用k表示，即 k = tan當(dāng) =0 時，k = 0；當(dāng) 090時, k 0當(dāng) =90 時， k不存在；當(dāng)90 180時, k 0五、直線的斜率五、直線的斜率給出給出一個描述直線方程的量一個描述直線方程的量直線的斜率直線

9、的斜率 傾斜角不是 90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。斜率通常用k表示，即：tank問題問題4：當(dāng) =0時，k值如何？ 當(dāng)0 90時，k值如何？ 當(dāng) =90時，k值如何？ 當(dāng)90 180時，k值如何？X.pYOX.pYOX.pYOX.pYO（1）（2）（4）（3）900ooK0K0K不存在不存在K=01 2 3330tantan111okl的斜率解：oool120309022的傾斜角360tan)60180tan(120tan22ooookl 的斜率課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：1.已知直線的傾斜角，求直線的斜率：已知直線的傾斜角，求直線的斜率：3(1)0(2)60(3)90(4)4ooo

10、(1)0k (2)3k (3)不存在(4)12.已知直線的傾斜角的取值范圍，利用正切函數(shù)的已知直線的傾斜角的取值范圍，利用正切函數(shù)的性質(zhì)，討論直線斜率及其絕對值的變化情況：性質(zhì)，討論直線斜率及其絕對值的變化情況：(1)090(2)90180oooo（1）當(dāng)）當(dāng)090oo時，直線斜率等于直線斜率的絕對值，時，直線斜率等于直線斜率的絕對值，且屬于集合且屬于集合(0,+),直線的斜率及其絕對值隨著直線的傾斜直線的斜率及其絕對值隨著直線的傾斜角的增大而增大，當(dāng)角的增大而增大，當(dāng)無限接近于無限接近于90o時，直線的斜率時，直線的斜率k無無限趨近于限趨近于+.(2)當(dāng)當(dāng)90180oo時，直線的斜率小于時，直線的斜率小于0，變化范圍為，變化范圍為(-,0),隨著傾斜角在開區(qū)間隨著傾斜角在開區(qū)間(90o,180o)內(nèi)逐漸增加，直線內(nèi)逐漸增加，直線斜率的絕對值從正無窮大逐漸增加而無限趨近于斜率的絕對值從正無窮大逐漸增加而無限趨近于0。 當(dāng)當(dāng)90180oo時，直線斜率的絕對值的變化范圍為時，直線斜率的絕對值的變化范圍為(0，+),隨著傾斜角在