全等三角形軸對稱和等腰三角形教師版

1、第一講軸對稱和等腰三角形知識點睛等腰三角形1 等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形2 等邊三角形的定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形3 等腰三角形的性質(zhì)：(1)兩腰相等(2)兩底角相等(3)“三線合一”，即頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(4)是軸對稱圖形，底邊的垂直平分線是它的對稱軸線段的垂直平分線：性質(zhì)定理：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等判定定理：與線段的兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，線段的垂直平分線可以看做是和線段兩個端點距離相等的所有點的集合4 等腰三角形的判定：(1)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形(2)有兩個角相等的

2、三角形是等腰三角形5 等邊三角形的性質(zhì)：三邊都相等，三個角都相等，每一個角都等于6 等邊三角形的判定： (1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形 (2)三個角都相等的三角形是等邊三角形 (3)有一個角是的等腰三角形是等邊三角形7 等腰直角三角形的性質(zhì)：頂角等于，底角等于，兩直角邊相等等腰直角三角形的判定：(1)頂角為的等腰三角形(2)底角為的等腰三角形軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形這條直線就是它的對稱軸這時我們就說這個圖形關于這條直線(或軸)對稱如下圖，是軸對稱圖形兩個圖形軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重

3、合，那么就是說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點如下圖，與關于直線對稱，叫做對稱軸和，和，和是對稱點軸對稱圖形和兩個圖形軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系：軸對稱圖形兩個圖形軸對稱區(qū)別圖形的個數(shù)1個圖形2個圖形對稱軸的條數(shù)一條或多條只有1條聯(lián)系二者都的關于對稱軸對稱的對稱軸的性質(zhì)：對稱軸所在直線經(jīng)過對稱點所連線段的中點，并且垂直于這條線段即：如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線類似地，軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線線段的垂直平分線：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線如圖

4、，直線經(jīng)過線段的中點，并且垂直于線段，則直線就是線段的垂直平分線線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等如圖，點是線段垂直平分線上的點，則線段垂直平分線的判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上成軸對稱的兩個圖形的對稱軸的畫法：如果兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應點所連線段的垂直平分線因此，我們只要找到一對對應點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個圖形的對稱軸成軸對稱的兩個圖形的主要性質(zhì)：成軸對稱的兩個圖形全等如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點連線的垂直平分線軸對稱變換的方法應用：軸對稱變換是通過

5、作圖形關于一直線的對稱圖形的手段，把圖形中的某一圖形對稱地移動到一個新的位置上，使圖形中的分散條件和結(jié)論有機地聯(lián)系起來常用的輔助線有角平分線條件時的各種輔助線，本質(zhì)上都是對稱變換的思想軸對稱變換應用時有下面兩種情況：圖形中有軸對稱圖形條件時，可考慮用此變換；圖形中有垂線條件時，可考慮用此變換重、難點重點：探索等腰三角形“等邊對等角”和“三線合一”的性質(zhì)，這兩個性質(zhì)對于平面幾何中的計算，以及以后的證明都有很大的幫助 難點：等腰三角形關于底和腰，底角和頂角的計算問題，由于等腰三角形底和腰，底角和頂角性質(zhì)性質(zhì)特點很容易混淆，而且他們在用法和討論上很有考究，只能在練習中加以訓練。運用軸對稱變換來解決實

6、際題目，以及軸對稱的生活中的實際運用例題精講板塊一、等腰三角形及軸對稱的認識【例1】 下列兩個命題：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等；如果一個等腰三角形有一個內(nèi)角是，那么這個等腰三角形一定是等邊三角形則以下結(jié)論正確的是( )A只有命題正確 B只有命題正確C命題、都正確 D命題、都不正確【解析】 C【例2】 如圖，在 中，于請你再添加一個條件，就可以確定是等腰三角形你添加的條件是 【解析】 或平分或【例3】 (2006年揚州中考)如圖，在中，、分別是、上的點，與交于點，給出下列四個條件：；(1)上述四個條件中，哪兩個條件可判定是等腰三角形(用序號寫出所有情況)；(2)選擇第小題中的一種情形，

7、證明是等腰三角形【解析】 (1)，四種情況可判定是等腰三角形(2)下面以兩個條件證明是等腰三角形，是等腰三角形【例4】 (08年廣東省)下列圖形中是軸對稱圖形的是 ( )【解析】 C 【例5】 (09湖南株洲)下列四個圖形中，不是軸對稱圖形的是( )A B C D【解析】 【例6】 (2004瀘州)下列各種圖形不是軸對稱圖形的是( )【解析】 C【補充】如圖，它們都是對稱圖形，請觀察并指出哪些是軸對稱圖形，哪些圖形成軸對稱【解析】 軸對稱圖形：1，3，4，6，8，10成軸對稱的圖形有：2，5，7，9【例7】 (上海)正六邊形是軸對稱圖形，它有 條對稱軸【解析】 點撥：可以畫出例圖進行分析，明確

8、正邊形有條對稱軸板塊二、等腰三角形的性質(zhì)【例8】 (2008烏魯木齊)某等腰三角形的兩條邊長分別為和，則它的周長為( )A或【解析】 【補充】已知等腰三角形的周長為，一腰長是底邊長的倍，則腰長是( ) A B C D【解析】 B【例9】 (2008沈陽)若等腰三角形中有一個角等于，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為()A或或【解析】 【補充】(2007重慶中考)已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為( )A B C或 D【解析】 當?shù)妊切蔚捻斀菫殁g角時，內(nèi)角的度數(shù)之比為 ，此時頂角為；當頂角為鈍角時，內(nèi)角的度數(shù)之比為 ，此時頂角為故選【例10】 (2007四川自貢中

9、考)若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角為，則該三角形的一個底角為( )A B C或 D或【解析】 C【補充】(2006自貢)從等腰三角形底邊上任意一點分別作兩腰的平行線，與兩腰所圍成的平行四邊形的周長等于三角形的( )A兩腰長的和周長一半周長 一腰長與底邊長的和【解析】 A【例11】 (05年青島中考題)已知等腰三角形的周長為12，腰長為，求的取值范圍【解析】 ，且，解得【例12】 已知是等腰一腰上的高，且，求三個內(nèi)角的度數(shù)【解析】 若為鈍角三角形時，為頂角時，三內(nèi)角大小為140，20，20；若為鈍角三角形時，為底角時，三內(nèi)角大小為100，40，40；若為銳角三角形時，為頂角，三內(nèi)角大小為4

10、0，70，70【例13】 在中，求【解析】 設，則，在中，可得，【例14】 的兩邊和的垂直平分線分別交于、，若，求【解析】 根據(jù)題意可得：，則即，解得【例15】 如圖，點是等邊內(nèi)一點，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得，連接，則是等邊三角形；當為多少度時，是等腰三角形？【解析】 分三種情況討論：要使，需，要使，需，要使，需綜上所述：當?shù)亩葦?shù)為或或時，是等腰三角形【例16】 如圖，為等邊三角形，延長到，又延長到，使，連接，求證：為等腰三角形【解析】 延長到，使得，連接為等邊三角形， 又為等邊三角形 ， 板塊三、軸對稱在幾何最值問題中的應用【例17】 已知點在直線外，點為直線上的一個動點，探究是否存在一個定

11、點，當點在直線上運動時，點與、兩點的距離總相等，如果存在，請作出定點；若不存在，請說明理由【解析】 點與點重合，或者點是點關于直線的對稱點【例18】 如圖，在公路的同旁有兩個倉庫、，現(xiàn)需要建一貨物中轉(zhuǎn)站，要求到、兩倉庫的距離和最短，這個中轉(zhuǎn)站應建在公路旁的哪個位置比較合理？【解析】 答案見右上圖【例19】 (”五羊杯”邀請賽試題)如圖，角內(nèi)有點，在角的兩邊有兩點、(均不同于點)，求作、，使得的周長的最小【解析】 見右上圖【補充】如圖，、為的邊、上的兩個定點，在上求一點，使的周長最短【解析】 見右上圖【例20】 已知如圖，點在銳角的內(nèi)部，在邊上求作一點，使點到點的距離與點到的邊的距離和最小【解析

12、】 見右上圖【補充】已知：、兩點在直線的同側(cè)， 在上求作一點，使得最小【解析】 見右上圖【補充】已知：、兩點在直線的同側(cè)，在上求作一點，使得最大【解析】 見右上圖家庭作業(yè)【習題1】 (2007雙柏中考)等腰三角形的兩邊長分別為4和9，則第三邊長為 【解析】 當腰長為9時，三邊長為4、9、9；當腰長為4時，三邊長為4、4、9 ，不符合三角形的三邊關系，故腰長為9【習題2】 (1997年北京市競賽題)等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成和兩部分，則這個等腰三角形的底邊的長為( )A B C或 D無法確定【解析】 設腰長為，底邊長為，此題可分為兩類，或，第一類無解；第二類解為，故選【習題3】 已知等腰三角形的周長為20，腰長為，求的取值范圍【解析】 ，且，解得【習題4】 (2001年江蘇中考題)如下圖所示，中，在上，求的度數(shù)【解析】 設，則，由外角定理得，即