多元函數(shù)微分學數(shù)學競賽輔導講座4

1、考試要求考試要求1.1.理解多元函數(shù)的概念理解多元函數(shù)的概念 二元函數(shù)的幾何意義。二元函數(shù)的幾何意義。 2.2.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念 有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 3.3.理解多元函數(shù)偏導數(shù)和全微分的概念，理解多元函數(shù)偏導數(shù)和全微分的概念，會求偏導會求偏導數(shù)和全微分，數(shù)和全微分，了解全微分存在的必要條件和充了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。分條件，了解全微分形式的不變性。4.4.理解方向?qū)?shù)和梯度的概念，并理解方向?qū)?shù)和梯度的概念，并掌握其計算方法。掌握其計算方法。5.5.掌握多元復合函數(shù)一階

2、、二階偏導數(shù)的求法。掌握多元復合函數(shù)一階、二階偏導數(shù)的求法。6.6.了解隱函數(shù)存在定理，了解隱函數(shù)存在定理，會求多元隱函數(shù)的偏導數(shù)會求多元隱函數(shù)的偏導數(shù) （包括二階偏導數(shù)）（包括二階偏導數(shù)）考試要求考試要求7.7.了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，面和法線的概念，會求它們的方程。會求它們的方程。8.8.了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。9.9.理解多元函數(shù)的極值和條件極值的概念，理解多元函數(shù)的極值和條件極值的概念， 掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件， 了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，了

3、解二元函數(shù)極值存在的充分條件， 會求二元函數(shù)的極值，會求二元函數(shù)的極值， 會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值， 會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。解決一些簡單的應用問題。0)0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(0 xfxffxx解析解析2225324)(4),(yxyyxyxyxfx 1)0 , 0()0 , 0(lim)0 , 0(0 yfyffxxyxy )0 , 0(),(,0)0 , 0(),(,)(),(2222yxyxyxyxxyyxf001sinlim)0 , 0()0 ,0(lim

4、)0 , 0(2200 xxxxfxffxxx)()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 解析解析01sin)(lim)0 , 0()0 , 0(lim222222000 yxyxyxyfxfzxyxyx )0 , 0(),(lim00 xxyxfyxf )0 , 0(),(lim00yyyxfyxf 0)0 , 0( yfxxyxyxyxz1ln233 解析解析243226xyxyxyxz xxxyyzln)1(322 2226xyyz yx)1( 32111rxrfrxrrfxg 解析解析5226222311rxrrfrxrfxg 5226222311ryrrfryrfyg 同理得

5、同理得可得可得3422221111rrfrrfygxg 2212xyxygfxzfxu yzffyzffxzyxu222222112112 xygxxyxyg231解析解析)(yxfxz )()(yyxfyz 解析解析代入得代入得0)()( yffy 又又 0 f因此因此0)()( yy 即有即有yCey )( 解析解析yzxyzfxu )(zxyzfxyzxyzfyxu )()(22)(3)()(2223xyzfxyzxyzfzyxxyzfzyxu 由已知得由已知得0)(3)( xyzfxyzxyzf令令xyzt 得微分方程得微分方程0)()(3 tftft可解得可解得32)(23)(xyz

6、xyzfu )()()()(yxyxyxyxxu 解析解析)()()()(22yxyxyxyxxu 同理求出同理求出yxu 222yu 比較可知比較可知2222yuxu 選選Bxxxu )2 ,(2)2 ,(xxxux 由由兩邊對兩邊對x求導得求導得12 yxuu兩邊再對兩邊再對x求導求導02)2(2 yyyxxyxxuuuu由已知由已知yyxxuu 又又yxxyuu 可得可得)1(0)2 ,(4)2 ,(5 xxuxxuxyxx由由兩邊再對兩邊再對x求導得求導得)2(2)2 ,(2)2 ,(xxxuxxuxyxx 由由(1)(2)可解得可解得,34)2 ,()2 ,(xxxuxxuyyxx

7、xxxuxy35)2 ,( 解析解析),(),(),(,),(,)(ttfttfttftfttftftyxyx )0 , 0()0 , 0()0 , 0()0 , 0()0(yxyxffff 2nmnm 解析解析 vuyxyx xzyxx yx 求出求出解出解出u 解析解析u yxyx解析解析22xu yxu 222yu 求出求出可得可得22222222)341(34 uaayuyxuxu0)341(6)(422222 ubbuabba06)(420341034122 abbabbaa可知可知解得解得1,3131, 1 baba或或uzyx解析解析 cossinsincossinzyx. uu

8、，求出求出222),(zyxuu 的微分方程。的微分方程。代入已知方程可得代入已知方程可得 ,u解析解析xzxyfzyxF11)11(),( 設設xzxyf11)11( 已知已知yxzz ，求求隱函數(shù)求隱函數(shù)求導問題導問題zyyzxxFFzFFz 解析解析),(000zyx設設切切點點為為)2 ,2 ,2(000zyxn 法向量法向量0)()()(000000 zzzyyyxxx切切平平面面為為 tztytxzyx2212112參參數(shù)數(shù)方方程程直直線線).0 , 2 , 0(),2 , 0 , 2(直線上兩點直線上兩點切平面過已知直線則過切平面過已知直線則過).0 , 1 , 1()1 , 1

9、 , 0(和和點點代入切平面方程可得切代入切平面方程可得切. 0202 yxzy和和從而可得切平面方程從而可得切平面方程zyxFyxz 22222222解析解析0),(MzyxFFFn ),(0000zyxM設切點為設切點為. 0202 yxzy和和從而可得切平面方程從而可得切平面方程)1 , 1 , 2()1, 2 , 2(可可得得切切點點平平行行于于 n解析解析 0 ,22,222jilyxzyxlf2202)22(2222 在在約約束束條條件件本本問問題題即即求求yxu22 下下的的最最大大值值122222 zyx用拉格朗日乘數(shù)法求用拉格朗日乘數(shù)法求)122(22222 zyxyxL 設

10、設向向?qū)?shù)數(shù)最最大大函函數(shù)數(shù)沿沿著著梯梯度度方方向向的的方方解析解析度的模度的模方向?qū)?shù)的最大值為梯方向?qū)?shù)的最大值為梯),(gradzyxffff 梯度梯度)22 ,4 ,34(grad)1,2, 1(cbbacaf 02204034cbbaca即有即有6422grad)1,2, 1( cbf解析解析),(gradyxfff 梯梯度度),(gradyxggg ),(),(yxgyxfF 設設00 mM和和最最小小值值有有最最大大值值在在有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域上上連連續(xù)續(xù)必必結(jié)結(jié)論論顯顯然然成成立立。即即得得若若, 0, 00)1( yxFFFmMmM 若若)2(，必必有有一一個個不不為為的的

11、邊邊界界上上因因在在0,0mMFD 為為極極值值點點，處處取取得得，內(nèi)內(nèi)某某點點必必在在或或即即00PPDmM故故有有從從而而, 0)()(00 PFPFyx)(grad)(grad00PgPf 解析解析件判斷是否取得極值。件判斷是否取得極值。求出駐點，利用充分條求出駐點，利用充分條C選選故不是最小值。故不是最小值。因因, 0)0 , 0(4)8, 2( ff取取得得極極小小值值。，唯唯一一駐駐點點, 02, 04)0 , 0(2 ABAC上。上。無極值，故只能在邊界無極值，故只能在邊界內(nèi)內(nèi)在在, 02 BACD解析解析 000),(00 yyxxffyx處處在在解析解析0000000 yyx

12、xfff時時，時時，或或若若 0000 yyxxxfff 若若D選選解析解析)1 ,2(),1 ,2( 內(nèi)求出駐點內(nèi)求出駐點在在D上求出可能的最值點上求出可能的最值點的邊界的邊界在在422 yxD)23,25(),0 , 2(),2 , 0( )0 , 0(0上求出可能的最值點上求出可能的最值點的邊界的邊界在在 yD值和最小值。值和最小值。比較函數(shù)值，確定最大比較函數(shù)值，確定最大最最小小0002226zyxcbaV 解析解析最最大大000zyxu 下下最最大大值值。在在約約束束條條件件本本題題需需求求1222222 czbyaxxyzu的的最最小小值值求求2d), 3,(),1,2 ,(222

13、21111xxxLxxxL 上點上點上點上點解析解析2122122122)1()23()( xxxxxxd到到平平面面的的距距離離上上點點),(zyxS解析解析22221222 zyxd在在約約束束條條件件即即求求2)222( zyxu下下的的最最小小值值。044222 zyx的的距距離離到到平平面面上上點點0),( zzyxC解析解析zd 在在約約束束條條件件即即求求2zu 下下的的最最值值。和和5302222 zyxzyx證證必必有有最最大大值值和和最最小小值值。在在凸凸多多邊邊形形上上連連續(xù)續(xù)，則則u，處之值大于邊界上之值處之值大于邊界上之值在多邊形形心在多邊形形心Gu。最最大大值值點點

14、也也是是極極大大值值點點故故最最大大值值在在內(nèi)內(nèi)部部取取得得，即即得得結(jié)結(jié)論論。在在此此點點處處, 0 yuxu件判斷是否取得極值。件判斷是否取得極值。求出駐點，利用充分條求出駐點，利用充分條解析解析分四個象限討論分四個象限討論先確定先確定),(, 0yxff 解析解析1)0 , 1(20, 01min21 fyxfDxfDyx內(nèi)內(nèi)在在內(nèi)內(nèi)在在內(nèi)內(nèi)在在2)2 , 0(20, 02min43 fxyfDxfDyx內(nèi)內(nèi)在在內(nèi)內(nèi)在在內(nèi)內(nèi)在在2)2, 0(20, 03min65 fyxfDxfDyx內(nèi)內(nèi)在在內(nèi)內(nèi)在在內(nèi)內(nèi)在在1)0 , 1(20, 04min87 fyxfDxfDyx內(nèi)內(nèi)在在內(nèi)內(nèi)在在內(nèi)內(nèi)在在1.)0 , 1( f故最小值故最小值有最大值和最小值。有最大值和最小值。在閉區(qū)域上連續(xù)，則必在閉區(qū)域上連續(xù)，則必f解析解析)(),(, 0)0 , 0()1(22yxyxff 設設若若0)0 , 0(1)0 , 0(122122 ffyxyx .),0 , 0(0122取取得得內(nèi)內(nèi)一一點點的的最最大大值值在在故故PDyx )(),(, 0)0 , 0()2(22yxyxff 設設若若0)0 ,