數(shù)學精華課件解排列組合問題的十七種常用策略PPT課件

1、:第1頁/共37頁例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字 五位奇數(shù). 解:由于末位和首位有特殊要求,應該優(yōu)先安 排,以免不合要求的元素占了這兩個位置先排末位共有_ 然后排首位共有_最后排其它位置共有_13C13C14C14C34A34A由分步計數(shù)原理得=28813C14C34A第2頁/共37頁1.1.7 7種不同的花種在排成一列的花盆里種不同的花種在排成一列的花盆里, ,若兩若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？里，問有多少不同的種法？25451440A A練習題第3頁/共37頁例例2. 72. 7人站成一排人站成

2、一排 , ,其中甲乙相鄰且丙丁相其中甲乙相鄰且丙丁相 鄰鄰, , 共有多少種不同的排法共有多少種不同的排法. .甲乙乙丙丙丁丁由分步計數(shù)原理可得共有由分步計數(shù)原理可得共有種不同的排法種不同的排法55A22A22A=480解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成 一個復合元素，同時丙丁也看成一個一個復合元素，同時丙丁也看成一個 復合元素，再與其它元素進行排列，復合元素，再與其它元素進行排列， 同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排。同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排。 . .第4頁/共37頁55A第二步將第二步將4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的6 6個元素中間包含首尾兩

3、個空位共有個元素中間包含首尾兩個空位共有種種 不同的方法不同的方法 46A由分步計數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有 種55A46A相相相相獨獨獨獨獨獨第5頁/共37頁某班新年聯(lián)歡會原定的某班新年聯(lián)歡會原定的5 5個節(jié)目已排個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目節(jié)目. .如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（么不同插法的種數(shù)為（ ）30練習題某人射擊某人射擊8槍，命中槍，命中4槍，槍，4槍命中恰好有槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為（槍連在一起的情形的不同種數(shù)為（

4、）20第6頁/共37頁四四. .定序問題倍縮空位插入策略定序問題倍縮空位插入策略例例4.74.7人排隊人排隊, ,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人順序一定共有多人順序一定共有多 少不同的排法少不同的排法解:( (倍縮法倍縮法) )對于某幾個元素順序一定的排列對于某幾個元素順序一定的排列問題問題, ,可先把這幾個元素與其他元素一起可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列進行排列, ,然后用總排列數(shù)除以然后用總排列數(shù)除以這幾個元這幾個元素之間的全排列數(shù)素之間的全排列數(shù), ,則共有不同排法種數(shù)則共有不同排法種數(shù)是：是： 7733AA（空位法空位法）設(shè)想有）設(shè)想有7 7把椅子讓除甲乙丙以外把椅子讓除甲乙丙以

5、外的四人就坐共有的四人就坐共有 種方法，其余的三個種方法，其余的三個位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 種坐法，則共有種坐法，則共有 種種 方法方法 47A147A思考思考: :可以先讓甲乙丙就坐嗎可以先讓甲乙丙就坐嗎? ?第7頁/共37頁（插入法插入法) )先排甲乙丙三個人先排甲乙丙三個人, ,共有共有1 1種排法種排法, ,再再 把其余把其余4 4四人四人依次依次插入共有插入共有 方法方法定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理空模型處理練習題1010人身高各不相等人身高各不相等, ,排成前后排，每排排成前后排，每排5 5人人, ,要要求從左至右身高

6、逐漸增加，共有多少排法？求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？510C4*5*6*7第8頁/共37頁五五. .重排問題求冪策略重排問題求冪策略例例5.5.把把6 6名實習生分配到名實習生分配到7 7個車間實習個車間實習, ,共有共有 多少種不同的分法多少種不同的分法解解: :完成此事共分六步完成此事共分六步: :把第一名實習生分配把第一名實習生分配 到車間有到車間有 種分法種分法. .7 7把第二名實習生分把第二名實習生分配配 到車間也有到車間也有7 7種分法，種分法，依此類推依此類推, ,由分步由分步計計數(shù)原理共有數(shù)原理共有 種不同的排法種不同的排法67允許重復的排列問題的特點是以元素為研究

7、允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限不同的元素沒有限制地安排在制地安排在m個位置上的排列數(shù)為個位置上的排列數(shù)為 種種n nm m第9頁/共37頁 某某8 8層大樓一樓電梯上來層大樓一樓電梯上來8 8名乘客名乘客, ,他們他們 到各自的一層下電梯到各自的一層下電梯, ,下電梯的方法下電梯的方法（ ）87練習題第10頁/共37頁例例7.87.8人排成前后兩排人排成前后兩排, ,每排每排4 4人人, ,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排, ,丁在后排丁在后排, ,共

8、有多少排法共有多少排法解解:8人排前后兩排人排前后兩排,相當于相當于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以 把椅子排成一排把椅子排成一排. 先在前先在前4個位置排甲乙兩個位置排甲乙兩個特殊元素有個特殊元素有_種種,再排后再排后4個位置上的個位置上的特殊元素有特殊元素有_種種,其余的其余的5人在人在5個位置個位置上任意排列有上任意排列有_種種,則共有則共有_種種.前排后排后排24A14A55A24A55A14A一般地一般地,元素分成多排的排列問題元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究再分段研究.第11頁/共37頁例例8.8.有有5 5個不同的小球個不同的小球, ,裝入裝

9、入4 4個不同的盒內(nèi)個不同的盒內(nèi), , 每盒至少裝一個球每盒至少裝一個球, ,共有多少不同的裝共有多少不同的裝 法法. .解解: :第一步從第一步從5 5個球中選出個球中選出2 2個組成復合元共個組成復合元共 有有_種方法種方法. .再把再把5 5個元素個元素( (包含一個復合包含一個復合 元素元素) )裝入裝入4 4個不同的盒內(nèi)有個不同的盒內(nèi)有_種方法種方法. .25C44A根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有_25C44A第12頁/共37頁練習題一個班有一個班有6 6名戰(zhàn)士名戰(zhàn)士, ,其中正副班長各其中正副班長各1 1人人現(xiàn)從中選現(xiàn)從中選4 4人完成四種不同的任務人

10、完成四種不同的任務, ,每人每人完成一種任務完成一種任務, ,且正副班長有且只有且正副班長有且只有1 1人人參加參加, ,則不同的選法有則不同的選法有_ _ 種種192192第13頁/共37頁例例9.9.用用1,2,3,4,51,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù) 其中恰有兩個偶數(shù)夾其中恰有兩個偶數(shù)夾1,1,這兩個奇數(shù)之這兩個奇數(shù)之 間間, ,這樣的五位數(shù)有多少個？這樣的五位數(shù)有多少個？解：把解：把,當作一個小集團與排隊當作一個小集團與排隊共有共有_種排法，再排小集團內(nèi)部共有種排法，再排小集團內(nèi)部共有_種排法，由分步計數(shù)原理共有種排法，由分步計數(shù)原理共有_種排法種排

11、法.22A2222A A2222A A22A31245小集團小集團小集團排列問題中，先整體后局小集團排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進行處理。部，再結(jié)合其它策略進行處理。第14頁/共37頁.計劃展出計劃展出10幅不同的畫幅不同的畫,其中其中1幅水彩畫幅水彩畫,幅油畫幅油畫,幅國畫幅國畫, 排成一行陳列排成一行陳列,要求同一要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為端，那么共有陳列方式的種數(shù)為_2. 5男生和女生站成一排照像男生和女生站成一排照像,男生相鄰男生相鄰,女女生也相鄰的排法有生也相鄰的排法有_種種255255A

12、A A254254A A A第15頁/共37頁九.元素相同問題隔板策略例例10.有有1010個運動員名額，在分給個運動員名額，在分給7 7個班，每個班，每班至少一個班至少一個, ,有多少種分配方案？有多少種分配方案？ 解：因為解：因為10個名額沒有差別，把它們排成個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成個空隙。一排。相鄰名額之間形成個空隙。在個空檔中選個位置插個隔板，在個空檔中選個位置插個隔板，可把名額分成份，對應地分給個可把名額分成份，對應地分給個班級，每一種插板方法對應一種分法班級，每一種插板方法對應一種分法共有共有_種分法。種分法。一班二班三班四班五班六班七班69C11mnC第1

13、6頁/共37頁練習題1.1.1010個相同的球裝個相同的球裝5 5個盒中個盒中, ,每盒至少一每盒至少一個，有多少裝法？個，有多少裝法？49C第17頁/共37頁例例11.從從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三這十個數(shù)字中取出三 個數(shù)，使其和為不小于個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)的偶數(shù),不同的不同的 取法有多少種？取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很的偶數(shù)很 困難困難,可用總體淘汰法?？捎每傮w淘汰法。 這十個數(shù)字中有這十個數(shù)字中有5 5個偶數(shù)個偶數(shù)5 5個奇數(shù)個奇數(shù), ,所取的三個數(shù)含有所取的三個數(shù)含有3 3個偶個偶數(shù)的取法有數(shù)

14、的取法有_,_,只含有只含有1 1個偶數(shù)的取法個偶數(shù)的取法有有_,_,和為偶數(shù)的取法共有和為偶數(shù)的取法共有_再淘汰和小于再淘汰和小于10的偶數(shù)共的偶數(shù)共_符合條件的取法共有符合條件的取法共有_ 35C1255CC9 90130130150150170170350352132132152150240244134130260261255CC35C+- 9- 91255CC35C+第18頁/共37頁1.1.我們班里有我們班里有5858位同學位同學, ,從中任抽從中任抽5 5人人, ,正、正、副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種抽法有多少種? ?練習題2.2

15、.從從4 4名男生和名男生和3 3名女生中選出名女生中選出4 4人參加某個座人參加某個座 談會，若這談會，若這4 4人中必須既有男生又有女生，則人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有不同的選法共有_ _ 5555858CC第19頁/共37頁十一十一. .平均分組問題除法策略平均分組問題除法策略例12. 6本不同的書平均分成本不同的書平均分成3堆堆,每堆每堆2本共有本共有 多少分法？多少分法？解解: 分三步取書得分三步取書得 種方法種方法,但這里出現(xiàn)但這里出現(xiàn) 重復計數(shù)的現(xiàn)象重復計數(shù)的現(xiàn)象,不妨記不妨記6本書為本書為ABCDEF 若第一步取若第一步取AB,第二步取第二步取CD,第三步取第三步

16、取EF 該分法記為該分法記為(AB,CD,EF),則則 中還有中還有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有共有 種取法種取法 ,而而 這些分法僅是這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法一種分法,故共故共 有有 種分法。種分法。222642CCC222642CCC33A222642CCC33A平均分成的組平均分成的組,不管它們的順序如何不管它們的順序如何,都是一都是一種情況種情況,所以分組后要一定要除以所以分組后要一定要除以 (n為均為均分的組數(shù)分的組數(shù))避免重復計數(shù)。避免重復計數(shù)。nnA第20頁/共37頁1 將將13

17、個球隊分成個球隊分成3組組,一組一組5個隊個隊,其它兩組其它兩組4 個隊個隊, 有多少分法？有多少分法？544138422C C CA2.2.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入入4 4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排班安排2 2名，則不同的安排方案種數(shù)為名，則不同的安排方案種數(shù)為_ 2226422290ACC A第21頁/共37頁十二. 合理分類與分步策略例例13.13.在一次演唱會上共在一次演唱會上共1010名演員名演員, ,其中其中8 8人能人能 能唱歌能唱歌,5,5人會跳舞人會跳舞, ,現(xiàn)要演出一個現(xiàn)

18、要演出一個2 2人人 唱歌唱歌2 2人伴舞的節(jié)目人伴舞的節(jié)目, ,有多少選派方法有多少選派方法? ?解：10演員中有演員中有5人只會唱歌，人只會唱歌，2人只會跳舞人只會跳舞 3人為全能演員。人為全能演員。以只會唱歌的以只會唱歌的5 5人是否人是否選上唱歌人員為標準進行研選上唱歌人員為標準進行研究究只會唱只會唱的的5 5人中沒有人選上唱歌人員共有人中沒有人選上唱歌人員共有_種種, ,只會唱的只會唱的5 5人中只有人中只有1 1人選上唱歌人人選上唱歌人員員_種種, ,只會唱的只會唱的5 5人中只有人中只有2 2人人選上唱歌人員有選上唱歌人員有_種，由分類計數(shù)種，由分類計數(shù)原理共有原理共有_種。種。

19、2233CC112534CCC2255C C2233CC112534CCC2255C C+ + +第22頁/共37頁解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。第23頁/共37頁練習題2. 3 3成人成人2 2小孩乘船游玩小孩乘船游玩,1,1號船最多乘號船最多乘3 3人人, 2, 2 號船最多乘號船最多乘2 2人人,3,3號船只能乘號船只能乘1 1人人, ,他們?nèi)芜x他們?nèi)芜x 2 2只船或只船或3 3只船只船, ,但小孩不能單獨乘一只船但小孩不能單獨乘一只船, , 這這3 3人共有多

20、少乘船方法人共有多少乘船方法. .第24頁/共37頁十三十三. .構(gòu)造模型策略構(gòu)造模型策略例例14. 14. 馬路上有編號為馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9的的 九只路燈九只路燈, ,現(xiàn)要關(guān)掉其中的現(xiàn)要關(guān)掉其中的3 3盞盞, ,但不能關(guān)但不能關(guān) 掉相鄰的掉相鄰的2 2盞或盞或3 3盞盞, ,也不能關(guān)掉兩端的也不能關(guān)掉兩端的2 2 盞盞, ,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：把此問題當作一個排隊模型在解：把此問題當作一個排隊模型在6 6盞盞 亮燈的亮燈的5 5個空隙中插入個空隙中插入3 3個不亮的燈個不亮的燈 有有_

21、 _ 種種35C一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決第25頁/共37頁練習題某排共有某排共有1010個座位，若個座位，若4 4人就坐，每人左右人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？120第26頁/共37頁十四十四. .實際操作窮舉策略實際操作窮舉策略例例15.15.設(shè)有編號設(shè)有編號1,2,3,4,51,2,3,4,5的五個球和編號的五個球和編號1,21,2 3,4,5 3,4,5的五個盒子的五個盒子, ,現(xiàn)將現(xiàn)將5 5個球投入這五個球投入這五 個盒子內(nèi)個盒子內(nèi), ,要求每

22、個盒子放一個球，并且要求每個盒子放一個球，并且 恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,.,. 有多少投法有多少投法 解：從從5個球中取出個球中取出2個與盒子對號有個與盒子對號有_種種 還剩下還剩下3球球3盒序號不能對應，盒序號不能對應， 利用實際操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5號球號球, 3,4,5號盒號盒3號球裝號球裝4號盒時，則號盒時，則4,5號球有只有號球有只有1種種裝法裝法3 3號盒號盒4 4號盒號盒5 5號盒號盒34525C第27頁/共37頁十四十四. .實際操作窮舉策略實際操作窮舉策略例例15.15.設(shè)有編號設(shè)有編號1,2,3,4,51,2

23、,3,4,5的五個球和編號的五個球和編號1,21,2 3,4,5 3,4,5的五個盒子的五個盒子, ,現(xiàn)將現(xiàn)將5 5個球投入這五個球投入這五 個盒子內(nèi)個盒子內(nèi), ,要求每個盒子放一個球，并且要求每個盒子放一個球，并且 恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,.,. 有多少投法有多少投法 解：從從5個球中取出個球中取出2個與盒子對號有個與盒子對號有_種種 還剩下還剩下3球球3盒序號不能對應，盒序號不能對應，25C利用實際操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5號球號球, 3,4,5號盒號盒3號球裝號球裝4號盒時，則號盒時，則4,5號球有只有號球有只有1種種裝法裝法

24、,25C 同理同理3號球裝號球裝5號盒時號盒時,4,5號球有也號球有也只有只有1種裝法種裝法,由分步計數(shù)原理有由分步計數(shù)原理有2 種種 第28頁/共37頁練習題 同一寢室同一寢室4 4人人, ,每人寫一張賀年卡集中起來每人寫一張賀年卡集中起來, , 然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張 賀年卡不同的分配方式有多少種？賀年卡不同的分配方式有多少種？(9)第29頁/共37頁十五十五. 分解與合成策略分解與合成策略例例16. 3003016. 30030能被多少個不同的偶數(shù)整除能被多少個不同的偶數(shù)整除分析：先把分析：先把3003030030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式分

25、解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式 30030=230030=23 35 5 7 7 11111313依題依題 意可知偶因數(shù)必先取意可知偶因數(shù)必先取2,2,再從其余再從其余5 5個個 因數(shù)中任取若干個組成乘積，所有因數(shù)中任取若干個組成乘積，所有 的偶因數(shù)為：的偶因數(shù)為：2 22 22 22 22=322=32例17.正方體的8個頂點可連成多少對異面 直線第30頁/共37頁解：我們先從8個頂點中任取4個頂點構(gòu)成四 面體共有_每個四面體有_對異面直線,正方體中的8個頂點可連成_對異面直線481258C3 3358=174分解與合成策略是排列組合問題的一種最分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略基本的解題策略, ,把一個復雜問題分解成幾把一個復雜問題分解成幾個小問題逐一解決個小問題逐一解決, ,然后依