上海市普陀區(qū)高三數(shù)學(xué)3月模擬練習(xí)(二模)試題(含解析) 試題

1、上海市普陀區(qū)2019屆高三3月模擬練習(xí)（二模）數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共4小題，共20.0分）1.已知球O的半徑為1，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，且每?jī)牲c(diǎn)間的球面距離均為，則球心O到平面ABC的距離為A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由題意得到OA、OB、OC兩兩垂直，結(jié)合幾何體，設(shè)為ABC所在平面截球所得圓的圓心，由勾股定理即可求出結(jié)果.【詳解】顯然OA、OB、OC兩兩垂直，如圖，設(shè)為ABC所在平面截球所得圓的圓心，且，為的中心由，可得故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到平面的距離，結(jié)合勾股定理即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.2.在中，若將繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是A

2、. B. C. D. 【答案】D【解析】如圖，繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體是以ACD為軸截面的圓錐中挖去一個(gè)以ABD為軸截面的校園追后剩余的部分.因?yàn)?，所?，所以.故選D.3.將函數(shù)圖象上的點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到點(diǎn)，若位于函數(shù)的圖象上，則A. ，s的最小值為B. ，s的最小值為C. ，s的最小值為D. ，s的最小值為【答案】C【解析】【分析】先由題意求出，再由將函數(shù)圖象上的點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到點(diǎn)，以及位于函數(shù)的圖象上，可表示出，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】將代入得：，進(jìn)而求出平移后的坐標(biāo)，將函數(shù)圖象上的點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到點(diǎn)()，若位于函數(shù)的圖象上，則，則，則，由得：當(dāng)時(shí)，s的最小值為，

3、故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換，熟記平移原則以及三角函數(shù)性質(zhì)即可，屬于常考題型.4.已知x，且，則存在，使得成立的構(gòu)成的區(qū)域面積為A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由目標(biāo)函數(shù)作出可行域，根據(jù)可得，由換元法令，則，可將存在，使得成立，轉(zhuǎn)化為存在，使得成立，進(jìn)而可確定x，所滿足的平面區(qū)域，繼而可求出結(jié)果.【詳解】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)槿切蜲AB，若存在，使得成立，則，令，則，則方程等價(jià)為，即，存在，使得成立，即，則對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)閱挝粓A的外部，由，解得，即，則三角形OAB的面積，直線的傾斜角為，則，即扇形的面積為，則構(gòu)成的區(qū)域面積為，故選：A【點(diǎn)

4、睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題，只需作出可行域，再根據(jù)題意確定x，所滿足的平面區(qū)域，即可求解，屬于?？碱}型.二、填空題（本大題共12小題，共54.0分）5.已知集合，則_【答案】【解析】【分析】先解將得到集合，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】或或，則，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查補(bǔ)集的運(yùn)算，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.6.已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位，則的虛部等于_【答案】-1【解析】【分析】先由復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】，的虛部等于故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.7.計(jì)算 _【答案】【解析】【分析】先對(duì)化簡(jiǎn)，再分子與分母同除以，即可求出結(jié)果.

5、【詳解】，原式故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查“”的極限問題，先將原式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可，屬于基礎(chǔ)題型.8.行列式中第2行第1列元素的代數(shù)余子式的值為，則_【答案】-14【解析】【分析】先由題意得到，再進(jìn)一步計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意得解得：故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查矩陣的計(jì)算，熟記概念和公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.9.被7除后的余數(shù)為_【答案】2【解析】【分析】先由化為，再由二項(xiàng)展開式展開即可得出結(jié)果.【詳解】被7除后的余數(shù)為2，故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，熟記二項(xiàng)展開式即可，屬于常考題型.10.某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)面積是_【答案】【解析】觀察三視

6、圖可知：該幾何體為底面半徑為2，高為6的圓錐，則母線長(zhǎng)為，故側(cè)面積為，故答案為.11.已知，則_【答案】【解析】【分析】利用兩角差正切公式即可得到結(jié)果.【詳解】,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的正切公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12.從5名同學(xué)中任選3人擔(dān)任上海進(jìn)博會(huì)志愿者，則“甲被選中，乙沒有被選中”的概率是_【答案】【解析】【分析】先求出“從5名同學(xué)中任選3人擔(dān)任上海進(jìn)博會(huì)志愿者”所包含的基本事件總數(shù)，再求出滿足“甲被選中，乙沒有被選中”的基本事件數(shù)，即可求出結(jié)果.【詳解】從5名同學(xué)中任選3人擔(dān)任上海進(jìn)博會(huì)志愿者，基本事件總數(shù)，“甲被選中，乙沒有被選中”包含的基本事件有，“甲被選中

7、，乙沒有被選中”的概率故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型，熟記概率計(jì)算公式即可求解，屬于?？碱}型.13.如果的展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，那么展開式中的所有項(xiàng)的系數(shù)之和是_【答案】【解析】二項(xiàng)式的展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則,令可得展開式中的所有項(xiàng)的系數(shù)之和是.14.若關(guān)于x、y的二元一次方程組至少有一組解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】先將方程組化為二元一次方程組，根據(jù)題意求出直線與直線平行時(shí)的值，即可得出滿足題意的m的取值范圍?！驹斀狻筷P(guān)于x，y的二元一次方程組，即二元一次方程組，若直線與直線平行，則，解得若關(guān)于x、y的二元一次方程組至少有一組解，則，

8、即故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查兩條直線的位置關(guān)系，方程組有實(shí)根可轉(zhuǎn)化為兩直線有交點(diǎn)的問題來處理，屬于?？碱}型.15.已知，且，則_【答案】【解析】【分析】先由題意確定與夾角，確定兩向量同向，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由，得，；又，；，且；則，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積和向量共線問題，熟記向量的夾角公式和向量共線定理即可，屬于基礎(chǔ)題型.16.已知函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)x，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)解析式作出函數(shù)圖像，分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，分別求出的范圍即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，其圖象如圖：分2種情況討論：，當(dāng)時(shí)，若存在唯一

9、的整數(shù)x，使得不等式成立，即有唯一的整數(shù)解，又，則此時(shí)有，當(dāng)時(shí)，則，若存在唯一的整數(shù)x，使得不等式成立，即有唯一的整數(shù)解，又由，則此時(shí)有，綜合可得：或；則a的取值范圍為；故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的圖像和性質(zhì)，通常需要用到分類討論的思想來處理，屬于?？碱}型.三、解答題（本大題共5小題，共76.0分）17.已知正方體的棱長(zhǎng)為4，E、F分別是棱AB、的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EF、E、E、E.求三棱錐的體積；求直線與平面所成角的大小結(jié)果用反三角函數(shù)值表示【答案】（1）；（2）【解析】【分析】先由題意連結(jié)EF、E、E、E，根據(jù)三棱錐的體積公式可得進(jìn)而可求出結(jié)果； 以D為原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為

10、x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的法向量，根據(jù)兩向量夾角的余弦值即可求出結(jié)果.【詳解】正方體的棱長(zhǎng)為4，E、F分別是棱AB、的中點(diǎn)，連結(jié)EF、E、E、E.三棱錐的體積以D為原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，0，2，4，2，2，0，設(shè)平面的法向量y，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，直線與平面所成角的大小為【點(diǎn)睛】本題主要考查棱錐的體積公式以及空間向量的方法求線面角的問題，熟記公式即可求體積；對(duì)于線面角的求法，通常需要建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的法向量，即可求解，屬于?？碱}型.18.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大

11、值為10求a的值及的解析式；設(shè)，若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷出函數(shù)的最大值，進(jìn)而可求出a的值及的解析式；根據(jù)(1)的結(jié)果得到，再由不等式在上有解，得到在上有解，令，即可得到在上有解，結(jié)合配方法可求出結(jié)果.【詳解】，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，故，解得：，故；由，若不等式在上有解，則在上有解，即在上有解，令，則在上有解，當(dāng)時(shí)，于是，故實(shí)數(shù)t的范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，通常需要用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性和最值等，屬于?？碱}型.19.如圖所示，某城市有一條從正西方AO通過市中心O后向東北O(jiān)B的公

12、路，現(xiàn)要修一條地鐵L，在OA，OB上各設(shè)一站A，B，地鐵在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為，設(shè)地鐵在AB部分的總長(zhǎng)度為按下列要求建立關(guān)系式：設(shè)，將y表示成的函數(shù)；設(shè)，用m，n表示y把A，B兩站分別設(shè)在公路上離中心O多遠(yuǎn)處，才能使AB最短？并求出最短距離【答案】y=，；（2）【解析】【分析】先過O作于H，結(jié)合題意用表示出和，進(jìn)而可求出結(jié)果；根據(jù)等面積原理得到，進(jìn)而可得出結(jié)果；(2)分別求出兩種方案下的AB的值，比較大小即可得出結(jié)果.【詳解】過O作于H由題意得，且即,即；由等面積原理得即選擇方案一：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，而所以選擇方案二：因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，即?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)【點(diǎn)睛】本題主要考

13、查解三角形的應(yīng)用，熟記余弦定理和正弦定理等即可，屬于?？碱}型.20.已知?jiǎng)又本€l與橢圓C：交于，兩個(gè)不同的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若直線l過點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線l的距離為，求直線l的方程；若的面積，求證：和均為定值；橢圓C上是否存在三點(diǎn)D、E、G，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】（1）見解析；（3）見解析【解析】【分析】先設(shè)直線方程為，根據(jù)原點(diǎn)到直線l的距離為，列出方程即可求出，進(jìn)而可得出結(jié)果；分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理等即可證明結(jié)論成立；先假設(shè)存在，使得，結(jié)合(2)中的結(jié)果推出矛盾即可.【詳解】設(shè)直線方程為，原點(diǎn)到直線l的距離為，解得時(shí)，此

14、時(shí)直線方程為，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，所以，在橢圓上，又，由得，此時(shí)，；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，是直線l的方程為，將其代入得，即，又，點(diǎn)O到直線l的距離為，又，即整理得，此時(shí)，；綜上所述，結(jié)論成立橢圓C上不存在三點(diǎn)D，E，G，使得，證明：假設(shè)存在，使得由得，；，解得；因此u，只能從中選取，v，只能從中選取，因此點(diǎn)D，E，G，只能在這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)，而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過原點(diǎn)，與矛盾所以橢圓C上不存在滿足條件的三點(diǎn)D，E，G【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的應(yīng)用，需要熟記點(diǎn)到直線的距離公式，并且在處理直線與曲線的問題時(shí)，通常需要聯(lián)立直線與曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理求

15、解，屬于?？碱}型.21.已知無窮數(shù)列的各項(xiàng)都不為零，其前n項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列滿足，其中t為正整數(shù)求；若不等式對(duì)任意都成立，求首項(xiàng)的取值范圍；若首項(xiàng)是正整數(shù)，則數(shù)列中的任意一項(xiàng)是否總可以表示為數(shù)列中的其他兩項(xiàng)之積？若是，請(qǐng)給出一種表示方式；若不是，請(qǐng)說明理由【答案】(1) .(2) .(3) 數(shù)列中的任意一項(xiàng)總可以表示為數(shù)列中的其他兩項(xiàng)之積.理由見解析.【解析】分析：（1）令，則，即，可得又由與的關(guān)系可得，從而數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，由此可得（2）由可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列；數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，由此可得然后由題意討論可得（3）由（2）得數(shù)列的各項(xiàng)都是正整數(shù)假設(shè)結(jié)論成立，即，即，所以，取，取，故，不妨設(shè)是偶數(shù)，則一定是整數(shù)，討論可得不論為奇數(shù)還是偶數(shù)，上式都有解，即假設(shè)成立詳解：（1）令，則，即，又，所以；由，得，兩式相減得，又，故，所以（2）由（1）知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列；數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列故所以當(dāng)時(shí)奇數(shù)時(shí)，即，即對(duì)任意正奇數(shù)恒成立，所以，解得當(dāng)時(shí)偶數(shù)時(shí)，即，即對(duì)任意正偶數(shù)恒成立，所以，解得綜合得（3）