高高等數(shù)學(xué)六章積分法ppt課件

1、16.1.4 幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分記記dxxQxPmn )()(,)()()(xQxPxRmn ,)()()(,可可作作多多項項式式除除法法是是假假分分式式時時當(dāng)當(dāng)xQxPxRmnmn ,),()()()(:)(mlxPxrxQxPxPlmnn 表表示示為為將將,)()()()()()(,xQxPxrxQxPxRmlmn 于于是是.)()(,)(的的積積分分歸歸結(jié)結(jié)為為對對有有理理真真分分式式的的積積分分故故對對xQxPxRmlA. 有理函數(shù)的積分法有理函數(shù)的積分法2定理定理 3 設(shè)設(shè) 其中其中, , , , 是正整數(shù)是正整數(shù), a, , b, p, q, , r, s

2、是實數(shù)是實數(shù),且各二次式且各二次式x2+px+q, , x2+rx+s都不能再分解都不能再分解, 那么：那么：,)()()(mlxQxPxRml )()()()()(220srxxqpxxbxaxaxQm bxBaxAaxAaxAaxQxPxRml 12210)()(1)()()( 222221122)()()(qpxxNxMqpxxNxMbxBbxB .)()()(222222112 srxxSxRsrxxSxRsrxxSxRqpxxNxM 3故故, 對有理真分式對有理真分式歸結(jié)為對以下函數(shù)的積分：歸結(jié)為對以下函數(shù)的積分：,)()()(的的積積分分mlxQxPxRml ),1()()2(,)

3、1( naxAaxAn),1()()4(,)3(22 nqpxxCBxqpxxCBxn它們都可以積出來它們都可以積出來, 故有結(jié)論：故有結(jié)論：一切有理函數(shù)的原函數(shù)都可以用初等函數(shù)表示。一切有理函數(shù)的原函數(shù)都可以用初等函數(shù)表示。4例例1.解解:.3424dxxxx 343940134342224 xxxxxxxx)1)(3(39403439402 xxxxxx13 xBxA),3()1(3940: xBxAx故故有有,281:, 3Ax 得得令令,281 A,21:, 1Bx 得得令令,21 B5故故,于是于是,121328113434224 xxxxxxxdxxxx 3424dxxxxx)12

4、13281134(2 .|1|ln21|3|ln281132323Cxxxxx 6例例2.解解:.102122dxxxx dxxxx 102122dxxxx 1021222 22223) 1() 1(102)102(xxdxxxxd.31arctan31)102ln(2Cxxx 7例例3.解解:.)1()1(2622dxxxx ,11)1()1()1(262222 xDCxxBxAxxx,26)1)()1)(1()1(222xxDCxxxBxA 即即, 4:, 1 Ax得得令令, 64:, 0 DBx得得令令, 44448:, 1 DCBx得得令令, 29181520:, 2 DCBx得得令令

5、, 1, 3, 3: DCB解解得得8于是于是,故故,11313)1(4)1()1(262222 xxxxxxxdxxxx )1()1(2622dxxxxx 11313)1(422.arctan)1ln(23|1|ln3142Cxxxx 9例例4.解解:.)102(32222dxxxx 222223)1(19)102(2211xdxdxxxx原原積積分分dxxxx 22)102(22.10212Cxx ,tan31tx 令令 2223)1(xdx,sec32tdtdx 則則 ttdt442sec3sec3 tdt2cos271 dtt)2cos1(541Ctt )2sin21(541Cxxxx

6、 102118131arctan5412t31 x1022 xx10所以所以=dxxxx 22)102(322102112 xx.10213181931arctan54192Cxxxx 11對于普通對于普通m, 設(shè)設(shè) 有有dxpqpxNMxdxqpxxNMxmm4)2()(2224,22pqapxt令dtatMpNMtdxqpxxNMxmm)(2)(222Catmdtatatddtattmmm122222222)()1 (21)()(21)(. 112于是，于是，2.dtattataatdtJmmm)(1)(22222222112221212221222212)() 1(211)(1) 1(2

7、11)(11mmmmmmmJattamJaattdamJadtatttaJa121222) 1(232)() 1(2mmmJmamatamtJ其中，其中，cataatdtJarctan122113B. 三角有理函數(shù)的積分法三角有理函數(shù)的積分法其中其中, R(u,v)是是u,v的有理函數(shù)的有理函數(shù). dxxxR)cos,(sin,2tan,tx 令令2cos2sin2cos2sin22cos2sin2sin22xxxxxxx 2sin2coscos22xxx ,12,arctan22dttdxtx 則則，22122tan12tan2ttxx .112tan12tan12sec2tan122222

8、2ttxxxx 14故故,例例1.dttttttRdxxxR222212)11,12()cos,(sin .)cos1)(sin2(cossin1dxxxxx 解解:,2tantx 令令dtttttttttt222222212)111)(122(11121 原原積積分分dttttt 122dtttt )1121(2Cttt )1ln(2.)12tan2ln(tan2tan2Cxxx 15例例2.解解:.cos1cos4dxxx dxxx 4cos1cos )cos1)(cos1(sin22xxxd )sin2(sinsin22xxxd )2(22sinttdttxdttt)211(2122 C

9、ttt |22|ln2212121.|2sin2sin|ln241sin21Cxxx 16例例3.解解:.sincoscossin44dxxxxx dxxxxx 44sincoscossindxxxx 22)2cos1(21)2cos1(212sin21dxxx 2cos12sin2)2(cos2cos11212xdx .)2arctan(cos21Cx 17C.簡單無理函數(shù)的積分法簡單無理函數(shù)的積分法例例1.dxxxx)11)(1(113例例2. 23)2(22xdxxxdtttdxttxtxx232333)1 (12,1)1 (222有或解：設(shè)23)2(22xdxxxCxxCttdt323

10、322838343數(shù)運算構(gòu)成的二元有理函和常數(shù)經(jīng)過有限次四則表示由變量yxyxR,),(型函數(shù)的不定積分ndcxbaxxR,.118例例3 342) 1() 11xx（型函數(shù)的不定積分),(. 22cbxaxxR)()(, 04) 122xtxxacbxaxacb則設(shè)如果22tatax則Cxxdtxxxdxxtxxxxxdx1232322)1 ()1 (22)1 (. 4222代入得：設(shè)求例(補充內(nèi)容，不要求掌握196.2 定積分的根本積分法定積分的根本積分法6.1.2 定積分的換元法定積分的換元法)()(,)(),(4xxfbaxxu 在在上上連連續(xù)續(xù)在在如如果果設(shè)設(shè)定定理理 則則上上連連續(xù)

11、續(xù)的的值值域域區(qū)區(qū)域域,I.)()()()()()( baxubaduufdxxxf 20例例1.解解:.cos1cos244 dxxx 244cos1cos dxxx 2422)sin2(sin)(sin xxxd 12222)2(sinttdttxdttt)211(21222 122|22|ln24121 ttt|2121|ln|222222|(ln241)12(21122 .3ln)21ln(2241)12(21 21例例2.解解:.sincos205 xdxx 205sincos xdxx)(coscos205 xxd 015sindtttx 105dtt.61|61106 t 205

12、sincos: xdxx法法二二)(coscos205 xxd.61|cos61206 x22定理定理5.證明證明:滿滿足足：若若上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè))(,)(txbaxf );(),(,)()1(tt 上上有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)或或在在;)(,),(,)2(btat 時時或或當(dāng)當(dāng);)(,)()3(ba .)()()( badtttfdxxf 則則dtttf)()( )()(tdtf dxxf )()()( .)(dxxfba 23例例1.解解:.12ln0 dxex,1tex 令令),0(),1ln(2 ttx即即,122 ttdx則則, 0,0 tx時時且且, 1,2ln tx時時 2ln0

13、1dxex 10212dtttt 102)111(2dtt10| )arctan(2tt ).41(2 24例例2.解解:.121023 dxxx,cos,sintdtdxtx 則則令令,6,21, 0,0 txtx時時時時當(dāng)當(dāng) 210231dxxx 603sincoscossin tdttttx 603sin tdt 602cos)cos1( tdt603| )cos31cos( tt .83332 25例例3.解解:.)42(21232 xxdx,)3()1(42222 xxx,arctan31tx 令令 6032sec33sec3 ttdt原原積積分分 60cos31 tdt.61|si

14、n3160 t26定理定理6證明證明:則則上上連連續(xù)續(xù)的的奇奇函函數(shù)數(shù)是是如如果果,)()1(llxf lldxxf. 0)(則則上上連連續(xù)續(xù)的的偶偶函函數(shù)數(shù)是是如如果果,)()2(llxf llldxxfdxxf.)(2)(0,)()1(上上連連續(xù)續(xù)的的奇奇函函數(shù)數(shù)是是設(shè)設(shè)llxf ),()(:,xfxfll 上上有有則則在在 lllldxxfdxxfdxxf00)()()(,)(0txdxxfl 令令對對tdtfdxxfll 00)1)()(tdtfl 0)(,)(0 xdxfl lldxxf. 0)(故故27奇函數(shù)奇函數(shù)例例4.4.求求解解: 原積分原積分.11cos1122 dxxxx

15、x 112211dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù)01121022 dxxx 10222)1(1)11(2dxxxx 102)11(dxx 102122dxx.22 單位圓的面積單位圓的面積28例例5.求求解解:.cos1sin02 dxxxx 02cos1sindxxxx 2222)2()2(cos1)2sin()2( tdttttx 222sin1cos)2( dtttt 222sin1cos2 dttt 222sin1cos dtttt0sin1cos202 dttt.4| )arctan(sin220 t29定理定理7.證明證明:首先由積分對積分區(qū)間的可加性得首先由積分對

16、積分區(qū)間的可加性得:為為周周期期的的且且是是以以上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)Txf,),()( :,都都成成立立則則對對任任意意的的實實數(shù)數(shù)周周期期函函數(shù)數(shù)a TaaTdxxfdxxf.)()(0 TaaTTaTadxxfdxxfdxxfdxxf,)()()()(00 TaTdxxf)( aTtxdtTtf0)( adttf0)( adxxf0,)( aadxxfdxxf00, 0)()(而而 TaaTdxxfdxxf.)()(030定理闡明定理闡明:周期為周期為T的延續(xù)函數(shù)的延續(xù)函數(shù), 在任一長度為在任一長度為T的閉區(qū)間上的的閉區(qū)間上的定積分均相等定積分均相等. 即與積分區(qū)間的起點無關(guān)即與積分區(qū)間的

17、起點無關(guān).則則為為周周期期的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)是是以以設(shè)設(shè)推推論論,)(Txf TnTnkkTTkdxxfndxxfdxxf001)1(.)()()(31例例6.求求解解:.| )1cos(ln|12 nedxx),1sin(ln1 )1cos(lnxxx 12| )1cos(ln| nedxx 12| )1sin(ln1| nedxxx,1lntx 令令,tex 即即 02)( |sin| nttdtete原積分原積分 ndtt20|sin| 0|sin|2dttn 0sin2tdtn.4n 32例例7. 證明證明解解:.sincos2020 xdxxdxnn,2tx 令令)2()2(cos

18、cos0220 tdtxdxnn 02sin tdtn 20sin tdtn 20.sin xdxn33例例8.解解:,)(證證明明上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)baxf 00)(sin2)(sindxxfdxxxf.cos1sin02 dxxxx并并求求, tx 令令 00)()sin()()(sin tdtftdxxxf則則 0)(sin)(dttft 00)(sin)(sindtttfdttf 00)(sin)(sindxxxfdxxf 00)(sin2)(sindxxfdxxxf故故34利用前面的結(jié)論得利用前面的結(jié)論得:此題是例此題是例5的解法二的解法二 0022cos1sin2cos1sind

19、xxxdxxxx 02cos1cos2xxd 0| )arctan(cos2x .4)44(22 356.2.2 定積分的分部積分法定積分的分部積分法在在a,b積分得積分得:)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu dxxvxudxxvxudxxvxubababa)()()()( )()( dxxvxuba)()( 即即.)()(| )()(dxxvxuxvxubaba ).()(| )()()()(xduxvxvxuxdvxubababa 36例例1.求求解解:.)1ln(34432 dxxx 34432)1ln(dxxx 3443234432)1ln(| )1ln(xxxdxxx

20、 3443212ln433ln34dxxx34432|12ln433ln34x .1252ln433ln34 37例例2.求求解解:.1arcsin210 dxxx,arcsinx令令,sin2tx 即即 2101arcsindxxx 402cossin2sin1 tdtttt 40sin2 tdtt 40cos2 ttd)cos|cos(24040 tdttt)|sin224(240 t )2282(2 .422 38例例3.求求解解:).(sin20為正整數(shù)為正整數(shù)nxdxn 20sin xdxInn 201sinsin xdxxn 201cossin xxdn 202201cossin)1(cos|cos(sin xdxxnxxxnn 2022cossin)1( xdxxnn 2022)sin1(sin)1( dxxxnn)sinsin)(1(20202 xdxxdxnnn,)1()1(2nnInIn ,)1