現(xiàn)代數(shù)學與中學數(shù)學

1、現(xiàn)代數(shù)學與中學數(shù)學西南大學 張廷艷專題1： 圖形1.圖形的定義及分類2.圖形的一般性質(zhì)3.圖形的組合問題4.中學歐拉定理及推廣5.圖及應用：回路和一筆畫問題 一.圖形的定義及分類1.什么是圖形？ 1 1）點、線、面、體這些可幫助人們有效的刻畫錯綜復雜的世界，它們都稱為幾何圖形（geometric figure）。從實物中抽象出的各種圖形統(tǒng)稱為幾何圖形。有些幾何圖形的各部分不在同一平面內(nèi)，叫做立體圖形（solid figure）。有些幾何圖形的各部分都在同一平面內(nèi)，叫做平面圖形(Plane figure) 2 2） 幾何體的概念：幾何體的概念：幾何體簡稱體，像正方體、球體、棱椎體等都是幾何體。包

2、圍著體的是面，面有平面和曲面兩種，面與面相交的地方形成線，線與線相交的地方叫做點。3 3）用運動的觀點來理解點，線，面，體。點動成線，線動成面，面動成體。 一.圖形的定義及分類2.圖形的分類幾何圖形一般分為立體圖形和平面圖形1 1）立體幾何圖形）立體幾何圖形可以分為以下幾類：第一類：柱體；包括：圓柱和棱柱，棱柱又可分為直棱柱和斜棱柱，棱柱體按底面邊數(shù)的多少又可分為三棱柱、四棱柱、N棱柱；第二類：錐體；包括：圓錐體和棱錐體，棱錐分為三棱錐、四棱錐以及N棱錐；第三類：旋轉(zhuǎn)體：包括：圓柱；圓臺；圓錐；球；球冠；弓環(huán)；圓環(huán)；堤環(huán)；扇環(huán)；棗核形；第四類：截面體：包括：棱臺；圓臺；斜截圓柱；斜截棱柱；斜截

3、圓錐；球缺等一.圖形的定義及分類2.圖形的分類2 2）平面幾何圖形也可分為四類：）平面幾何圖形也可分為四類：1.圓形（包括正圓，橢圓）2.多邊形：三角形（分為一般三角形，直角三角形，等腰三角形，等邊三角形）、四邊形（分為不規(guī)則四邊形，梯形【分為直角梯形和等腰梯形】，平行四邊形，平行四邊形又分：矩形，菱形，正方形）、五邊形、六注：正方形既是矩形也是特殊的菱形。3.弓形（由直線和圓弧構(gòu)成的圖形，包括優(yōu)弧弓，劣弧弓，拋物線弓等）。4.多弧形（包括月牙形，谷粒形，太極形葫蘆形等）二.圖形的一般性質(zhì)1.圖形的性質(zhì)：在平面幾何中，一個長方形G 具有以下性質(zhì)：p1對角線相等，四角相等(皆為直角)；p2對邊平

4、行，對角相等，對角線互相平分；p3邊界為首尾相連的四條線段；p4邊界封閉；p5單連通(中間沒有“洞”)p6維數(shù)為2二.圖形的一般性質(zhì)2.圖形的變換不變性：現(xiàn)對圖形G 進行下列變換，看它的性質(zhì)有何變化：(1)運動(平移、旋轉(zhuǎn)和對稱)，性質(zhì)p1p6都不改變，故這些性質(zhì)都是運動不變性(2)仿射變換(平行投影到另一平面)，性質(zhì)p2p6仍然保持，性質(zhì)p1不再保持(3)射影變換(中心投影到另一平面)，性質(zhì)p3p6仍然保持，而性質(zhì)p1、p2不再保持(4)設想這個長方形畫在一張橡皮薄膜上，橡皮膜不僅可以任意彎曲，而且可以在任意方向上伸縮如果拉動像皮膜(只要不撕破)作為一種變換(橡皮變換)，那么，不僅p1、p2

5、不再保持，p3也不能保持，但是p4p6卻仍然不變 二.圖形的一般性質(zhì)2.圖形的變換不變性：總之，長方形G 的性質(zhì)p1p6是運動不變性(或歐氏幾何性質(zhì))，p2p6是仿射不變性(或仿射性質(zhì))，p3p6是射影不變性(或射影性質(zhì)) ，p4p6是拓撲不變性(或拓撲性質(zhì))因此，所謂圖形的拓撲性質(zhì)，就是圖形經(jīng)過拓撲變換(如上述拉動橡皮膜)而不改變的性質(zhì)圖形邊界的封閉性、內(nèi)部連通性、維數(shù)等，都是圖形的拓撲性質(zhì)圖形的拓撲性質(zhì)，是其最一般的本質(zhì)屬性故拓撲學又叫“橡皮幾何學” 三.圖形的組合問題1.組合論和組合幾何組合論的研究對象是有限集及其子集，其基本問題主要有三個：(1)存在問題有限集M 中具有某種性質(zhì)p 的子

6、集或元素是否存在？(2)計數(shù)問題具有某種性質(zhì)p 的子集(或元素)如果存在，有多少個？或最多(少)有多少個？(3)優(yōu)化問題在存在的子集中，找出符合某種附加條件(優(yōu)化條件)的子集(或元素)關(guān)于圖形的組合問題，通常稱為組合幾何問題，它經(jīng)常出現(xiàn)在中學生數(shù)學競賽和其他數(shù)學活動中，如凸集與凸包，覆蓋與剖分，圖形計數(shù)與集裝，地圖染色等三.圖形的組合問題2凸集與凸包凸集：假設對任意兩點A，BM，都有 ，則這樣的平面或空間點集M 稱為凸集，通常所說的平面凸多邊形、空間凸多面體，都是凸集，其他如半平面、半空間等也是凸集凸包：一個平面有限點集M，包含M 中所有點的最小的多邊形，稱為M利用凸包可以解決一些組合幾何問題

7、三.圖形的組合問題例1 平面上任意四點，若無三點共線，則在兩兩連線段中，至少有一條線段被另兩點所決定的直線交于內(nèi)點 界上，也只能在某一邊上因此可設D 點不在AB、AC 上，那么AD 所決定的直線一定交BC 于內(nèi)點三.圖形的組合問題例2 平面上任給五點，無三點共線以它們?yōu)轫旤c的三角形(頂點三角形)中，至少有三個非銳角三角形 B 和C，則 ABC、BCD 為鈍角(非銳角)三角形又在四邊形ACDE 中至少有一個內(nèi)角為非銳角，例如D，則CDE 為非銳角三角形總共至少有三個非銳角三角形 四邊形ABCD 的內(nèi)角中至少有一個非銳角，決定一個非銳角頂點三角形AEB、BEC、CED 和DEA 中至少有一個非銳角

8、，又決定一個非銳角頂點三角形，最后，AEC 和BED 中至少有一個是非銳角，再決定一個非銳角頂點三角形 ADC、ADE 與CDE 中至少有兩個非銳角，決定兩個非銳角頂點三角形 在AEB 與BEC 中至少有一個非銳角，又決定一個非銳角頂點三角形 三.圖形的組合問題3.圖形的優(yōu)化組合將有限集元素按某種要求或狀態(tài)安排的問題，是存在性問題的特例；往往要具體給出一種安排(構(gòu)造)合理安排又與優(yōu)化問題相關(guān)：從滿足一般狀態(tài)的安排中，找出符合某種附加條件的優(yōu)化組合例3 在半徑為2 的圓內(nèi)，不重疊地放置邊長為1 的正方形，問最多能放幾個？ 解 ：如圖621，疊放8 個單位正方形，證明它們能包含在一個半徑為2 的圓

9、內(nèi)作四邊形(梯形)ABCD 的外接圓，O 為圓心，證明OEOA=OD2設OH=x，則OG=3-x，從而四.中學歐拉定理及推廣1.中學歐拉定理： 任意凸多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E 和面數(shù)F，滿足(歐拉公式) V-EF=2 (1)（ 數(shù)）事實上，歐拉公式不僅對凸多面體成立，對如圖610(a)、(b)這樣的非凸多面體也成立因此，歐拉公式的適用范圍可以擴大 四.中學歐拉定理及推廣歐拉公式只涉及多面體表面頂點、棱和面的數(shù)目，而與多面體內(nèi)部無關(guān)，因此，可以就多面體的表面閉多面形，來討論歐拉公式的推廣一個閉多面形K，是指由有限個平面多邊形(凸的或非凸的)拼合成的圖形，滿足：(1)每兩個頂點，由一條棱或一條由棱

10、組成的折線連接；(2)每兩個面，或者有一個公共棱，或者有一個公共頂點，或者沒有公共頂點；(3)每條棱是兩個面的公共邊；(4)每個頂點都是錐形頂點 四.中學歐拉定理及推廣2. =2是不是所有的多面形的示性數(shù)都是2 呢？ 如圖 圖611(a)的示性數(shù)為0，圖(b)的示性數(shù)為-23.歐拉定理推廣 每個能“繃”到帶n 個把的球面Pn上的閉多面形K的示性數(shù)是2-2n，即(n=0，1，2，)4.歐拉定理推廣 每個能“繃”在帶n 個“交叉帽”的球面Qn(n=1，2，)上的閉多面形的示性數(shù)為2-n綜上，任意閉多面形的示性數(shù)不超過2，示性數(shù)是閉多面形的分類標志五.圖及應用：回路和一筆畫問題1什么是圖由若干個點及

11、連接其中某些點對的線(可以是直線，也可以是曲線)組成的有限圖形，叫做圖，其中點稱為頂點，線稱為邊圖可以是平面的，也可以是空間的一個立方體，若只著眼于它的頂點和邊的話，它就是一個圖三維空間的圖，如圖623(a)，假如它的邊是橡皮筋做的，拉開一個面，再將它壓到底面上，就得到一個平面的圖，如圖623(b)五.圖及應用：回路和一筆畫問題2圖的應用：哥尼斯堡七橋問題例4 (七橋問題)帕瑞格河從哥尼斯堡(現(xiàn)屬俄羅斯)城中流過， 河中有兩個島A、C，河上共有七座橋(如圖624 所示)現(xiàn)問：一個人能否一次走過七座橋，而每座橋只走一次？如果能夠辦到，那么他能否仍舊回到原來的出發(fā)地？問題轉(zhuǎn)化：這個圖能否一筆畫成，

12、 而每條線只畫一次？如能一筆畫成，終點能否與起點重合？五.圖及應用：回路和一筆畫問題3圖的應用：回路和一筆畫設圖G=(V，E)的一部分頂點和邊組成圖G=(V，E)，圖G=(V，E)中共有一個頂點的邊，稱為鄰邊，同一邊的兩個頂路，或鏈若一條鏈的起點和終點重合，則稱為回路特別地，若回路G=G，則稱G 為歐拉回路；若鏈G=G，則稱G 為歐拉鏈歐拉圖判定準則 ：一個連通圖是歐拉鏈的充要條件是，它的奇頂點的個數(shù)為2 或0；當且僅當奇頂點的個數(shù)為0(即沒有奇頂點)時，它是歐拉回路 ？五.圖及應用：回路和一筆畫問題由此得到一筆畫的準則：由此得到一筆畫的準則：凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以

13、把任一偶點為起點，最后一定能以這個點為終點畫完此圖。凡是只有兩個奇點的連通圖（其余都為偶點），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點終點。其他情況的圖都不能一筆畫出。(奇點數(shù)除以二便可算出此圖需幾筆畫成。) ？五.圖及應用：回路和一筆畫問題思考題：思考題： 在圓周上有n 個點(n2)，每兩點連成一條線段，能否一筆畫出所有線段？ ？專題2：數(shù)列中學數(shù)列的常見問題：中學數(shù)列的常見問題：1.對任意寫出的k 個實數(shù)值a1，a2，ak，是否都存在通項公式f(n)，使對前k 項，恰好有f(n)an(n=1，2，k)？其次，如果該數(shù)列有通項公式存在，通項公式是否唯一？2.求線性遞歸數(shù)列的通項

14、3.數(shù)列的差分與簡單的差分方程 ？一、數(shù)列及通項公式在中學課本里，為了培養(yǎng)學生的觀察能力和歸納能力，常給出數(shù)列的前幾項，要求學生觀察出數(shù)列的通項公式但是，數(shù)列有無窮多項，僅僅知道它的前若干項的值是不能唯一確定一個數(shù)列的所謂用觀察法求數(shù)列的通項公式，指的是由數(shù)列的前有限項所揭示的某些比較淺顯的規(guī)律，去猜測它的一個通項公式例： 已知數(shù)列an的前3 項為2，4，6，試寫出該數(shù)列的通項公式 ？二、線性遞歸數(shù)列1一階線性非齊次遞歸數(shù)列：若數(shù)列an滿足遞歸方程an+1panb (p0，b0，nN) (6)則稱an為一階線性非齊次方程方程(6)可寫成 an+1-=p(an-) 數(shù)列an是公比為p 的等比數(shù)列，故有an(a1-)pn-1 ？二、線性遞歸數(shù)列二、線性遞歸數(shù)列2二階線性齊次遞歸數(shù)列：若數(shù)列an滿足遞歸方程an2=p1an1p2an， nN (8)(其中p1，p2是常數(shù)，p20)，則稱an為二階線性(齊次)遞歸數(shù)列當已知它的第一項a1與第二項a2時，可以求出它的通項公式二次方程r2p1rp2稱為線性遞歸方程(8)的