《2.4.1-2.4.2平面向量的坐標表示》導學案1

1、241-242平面向量的坐標表示導學案 1課程學習目標1. 了解向量的實際背景.2. 理解平面向量的概念和向量的幾何表示.3. 理解相等向量的含義及向量的一些概念.4. 理解零向量的特點.課程導學建議重點：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量難點:理解平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系第一層級：知識記憶與理解知識體系梳理創(chuàng)設(shè)情境一只帆船剛開始在風平浪靜的海上行駛，但突遇“熱帶風暴”，使得它的航向發(fā)生了偏移，沒有按照規(guī)定的航向行駛，雖然行駛了相同的路程但沒有到達目的地.為什么？知識導學問題1:向量的概念、向量與數(shù)量、向量與有向線段的區(qū)別 在數(shù)學中，把既有大

2、小又有方向的量叫作向量.如:力、速度、加速度、位移等 數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量 只有大小沒有方向，是一個代數(shù)量，能 比較大小、進行 代數(shù) 運算;有方向、大小的雙重性，不能 比較大小,向量的大小是一 個數(shù)量（正數(shù)或0），可以比較大小 向量與有向線段的區(qū)別：有向線段是具有 方向 的線段,有向線段AB己作：_，起 點一定寫在終點的前面； 線段AB的長度也叫作 有向線段的長度;有向線段的三要素： 起點、方向、長度 ；向量只有 大小 和方向兩個要素，與起點 無關(guān)；向量可以用有向線段來表示 .問題2：向量的表示方法：沖（起點）起點與終點字母 幾何表示法：用 有向線段 表示，即用表示向量的有向線段的來表示，如

3、圖，以A為起點，B為終點的向量表示為向量； 字母表示法：向量可以用小寫字母來表示，書寫時用，等表示（印刷時用黑體字a、b、c表示），如圖，向量可表示為 a.問題3:向量的有關(guān)概念：（1）向量的模：向量的大小，也就是向量的長度（或稱模），記作_|_，向量不能比較大 小，但向量的 ?？梢员容^大小（2）零向量與單位向量：長度為零的向量叫作零向量，記作0.（3）長度等于1個單位 的向量叫作單位向量.（4）平行向量：方向 相同或相反的兩個非零向量叫作平行向量 （也稱共線向量）：規(guī)定向量0與任一向量平行.（5）相等向量與相反向量： 大小相同，方向相同 的兩個向量是相等向量;大小相同，方向相反 的兩個向量互

4、為相反向量問題4：平行向量（共線向量）與平行線段、共線線段的區(qū)別：平行向量（共線向量）不是幾何圖形，沒有幾何位置關(guān)系，表示兩個非零平行向量的有向 線段可以平行，也可以在同一條直線上；平行線段和共線線段是幾何圖形，有位置關(guān)系，兩條平行線段所在的直線一定平行，不會共線,反過來，兩條共線線段一定在同一條直線上，不會平行知識鏈接數(shù)學中，引進一個新的量后，首先要考慮的是如何規(guī)定它的“相等”，這是討論這個量的基礎(chǔ)，如何規(guī)定“相等向量”呢？由于向量涉及大小和方向，因此，把“長度相等且方向相同的向量”規(guī)定為相等向量是非常自然的由向量相等的定義可以知道，對于一個向量，只要不改變它的方向和大小，就可以任意平行移動

5、因此，用有向線段表示向量時，可以任意選取有向線段的起點， 這為用向量處理幾何問題帶來了方便，并使平面上的向量與向量的坐標得以一一對應(yīng)基礎(chǔ)學習交流1.給出下列物理量：質(zhì)量；速度；力；位移；路程；密度；功其中是向量的有（）A. 2個B.3個C.4個D.5個【解析】判斷一個量是不是向量， 就是看它是否同時具備向量的兩個要素：大小和方向由于速度、位移、力都是由大小和方向確定的，所以是向量；而質(zhì)量、路程、密度、功有大 小而沒有方向，所以不是向量【答案】B2.已知a, b為兩個單位向量，下列結(jié)論正確的是().A. a=bB. a=b或 a=-bC.若all b,則 a=bD. |a|=|b|【解析】單位向

6、量的模為1，但方向不確定【答案】D3.下列命題中，正確的序號是 .平行向量的方向相同；不相等的向量一定不平行；零向量只能與零向量相等； 若兩個向量在同一條直線上，則這兩個向量一定共線； 兩個非零向量相等，當且僅當它們的模相等且方向相同；單位向量都相等.【解析】根據(jù)平行向量的定義，它們的方向可以相反，故不正確；由于模不相等的向量，它們也可以共線，故 不正確；由于零向量只能與零向量相等，故正確；由共線向量的定義知，當兩個向量在同一條直線上時，這兩個向量不論方向如何,它們一定共線，故正確，但是應(yīng)注意當兩個向量共線時，它們卻不一定在同一條直線上;由兩向量相等的定義知，正確；雖然單位向量的模都相等，但它

7、們的方向可以不相同，因此不正確.【答案】4. 一輛貨車從A點出發(fā)向東行駛了 150 km到達B點，然后又改變方向向北偏東30°走了300 km到達C點，最后又改變方向，向西行駛了150 km到達D點.(1)作出向量，；求|.【解析】(1)，如圖.由圖可知和方向相反，故與共線又|=|= 150 km，所以AB CD所以四邊形ABC是平行四邊形，故 |=|= 300 km.第二層級：思維探索與創(chuàng)新重難點探究探究一與向量相關(guān)的概念關(guān)于向量有下列說法： 方向相同或相反的非零向量是平行向量； 長度相等且方向相同的向量叫相等的向量； 有公共起點的向量叫共線向量； 零向量與任一向量共線； 若 |a

8、|=|b| ，則 a=b或 a=-b.其中正確說法的序號是 .【方法指導】可根據(jù)共線向量或平行向量、相等向量的定義和零向量的特點來判斷.【解析】共線向量或平行向量是指方向相同或相反的兩個非零向量，所以正確，不正確；長度相等且方向相同的向量叫相等的向量，故正確；規(guī)定零向量與任一向量平行，故正確；混淆了兩個向量的模相等和兩個實數(shù)相等的概念，兩個向量的模相等，只能說明它們的長度相等，并不意味著它們的方向相同或相反【答案】【小結(jié)】對于涉及向量及相關(guān)概念的說法往往要抓住這些概念的實質(zhì)，從概念去分析判斷，并注意它們的區(qū)別.規(guī)定：零向量與零向量相等，零向量與任何向量共線探究二相等向量與共線向量如圖，四邊形A

9、BC是正方形， BC為等腰直角三角形.(1) 找出圖中與共線的向量；(2) 找出圖中與相等的向量；(3) 找出圖中與|相等的向量；(4) 找出圖中與相等的向量.【方法指導】兩個向量相等滿足模相等且方向相同，而兩個向量共線則要求兩個向量所在的直線平行或重合，對于它們的方向和模的大小沒有要求【解析】(1)與共線的向量有、(2) 與相等的向量有、；(3) 與|相等的向量有、(4) 與相等的向量是.【小結(jié)】非零向量共線或平行，有四種情形：(1)兩個向量方向相同且模相等；(2)兩個向量方向相反且模相等；(3)兩個向量方向相同且模不相等；(4)兩個向量方向相反且模不相等.注意向量共線與相等的區(qū)別探究三向量

10、概念的實際應(yīng)用已知飛機從甲地向北偏東30°的方向飛行 2000 km到達乙地，再從乙地向南偏東30°的 方向飛行2000 km到達丙地，再從丙地向西南方向飛行 1000 km到達丁地，問丁地在甲地的什 么方向？ 丁地距甲地多遠？【方法指導】用向量解決實際問題，可使問題簡單化【解析】如圖，A B、C D分別表示甲地、乙地、丙地、丁地，依題意知，三角形 ABC 為正三角形，AC=2000 km.又 T/ ACD45°, CD=000, AC為直角三角形，即 AD=000 km , / CAD45° .所以丁地在甲地的東南方向，距甲地1000 km.【小結(jié)】解

11、決實際問題的關(guān)鍵是建立數(shù)學模型，將實際問題“數(shù)學化”思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一下列說法中正確的是. 若 |a|>|b| ，則 a>b; 共線向量一定相等； 起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量； 若|a|= 0,則 a=0; 與非零向量a共線的單位向量是【解析】由于向量是既有大小又有方向的量，兩個向量不能比較大小，故不正確；由于共線向量方向相同或相反（模不一定相等），故不正確；由于向量與起點位置無關(guān)，故 正確；忽略了 0與0的區(qū)別，由|a|= 0,知a是零向量，即a=0，但a0,故不正確；因為與 任一非零向量，共線的單位向量有兩個，一個與a方向相同，一個與a方向相反，所以 不正

12、確【答案】應(yīng)用二理如圖，四邊形 ABC中，=,N M分別是AD BC上的點，且=.求證：三【方法指導】非零向量平行（共線）包括兩種情況：一種是方向相同，另一種是方向相反【解析】=, |=| ，且AB/ CD.四邊形ABC是平行四邊形.fi又與的方向相同,同理可證，四邊形CNA是平行四邊形,-11=11 ，11=11|=| ，且 DN/ MB.又與的方向相同，=.【小結(jié)】證明向量相等要抓住向量的模相等且方向相同，從而證明四邊形為平行四邊形只要證明兩個向量相等即可應(yīng)用三已知兩個力Fi,F2的方向互相垂直，且它們的合力F的大小為10 N,其與力Fi的夾角是60°, 求力Fi, F2的大小.

13、【解析】設(shè)表示力Fi,表示力F2,以O(shè)A 0囲鄰邊作平行四邊形 OACB則表示合力F,因 為Fi與F2垂直，所以平行四邊形 OAC是矩形，所以|=| cos 60 ° =5, |=| sin 60 ° =5, 因此，力F1和F2的大小分別為5 N和5 N.第三層級：技能應(yīng)用與拓展基礎(chǔ)智能檢測1. 設(shè)偽等邊三角形ABC勺中心，則向量，是().A. 有相同起點的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等的向量【解析】由正三角形的性質(zhì)可知，的長度相等【答案】C2. 下列各命題中，正確的是().A. 若 |a|=|b| ，則 a=bB. 若 |a|=|b|，|b|=|c| ，則 a=

14、cC. 若 |a|=|b| ，則 a>b或 a<-bD. 若 a=b, b=c，貝U a=c【解析】向量是既有大小又有方向的量，大小相等，但方向卻不一定相同，故A、B不正確；向量不能比較大小，故 C不正確；向量相等可以傳遞.【答案】D3. 下列說法正確的是. 相等的向量，若起點不同，則終點一定不同 與非零向量共線的單位向量有兩個 不相等的向量一定不平行【解析】認為 錯誤是考慮到零向量，對于零向量，雖然起點和終點重合，但當起點不同時，終點也是不同的；認為錯誤是誤以為與非零向量 a共線的單位向量只有，而把與方向相反的向量漏掉了，兩個向量只要方向相同或相反就是平行向量，故不正確.【答案】

15、4. 如圖，設(shè)C是正六邊形ABCDEF中心.(1) 模與的模相等的向量有多少個？(2) 是否存在與長度相等、方向相反的向量？(3) 請寫出與共線的向量有哪些？【解析】(1)因為在正六邊形中， 各條邊長與中心C到各頂點的距離都相等，所以模 與的模相等的向量有23個.(2) 存在，如、等.(3) 與共線的向量有、和、全新視角拓展（2013年四川卷）如圖，在平行四邊形 ABC中，對角線AC與BD交于點O, +=入，則【解析】T +=2，二入=2.【答案】2第四層級：總結(jié)評價與反思思維導圖構(gòu)建學習體驗分享固學案基礎(chǔ)達標檢測1. 下列各量中不是向量的是（）.A.體積B.風速C.浮力D.加速度【解析】體積

16、只有大小沒有方向【答案】A2. 下列說法正確的是（）.A. 若a/ b, b / c,貝y a / cB. 終點相同的兩個向量不平行C. 若=,則四邊形ABC是平行四邊形D. 單位向量的長度為單位1【解析】對A，當b=0時，a與c可以不平行，單位向量的?；蜷L度為單位1.【答案】D3. 已知a,b是兩個非零向量，且a與b共線，若非零向量c與a共線，則c與b必定.【解析】當a，b是兩個非零向量時，若 a / b，a/ c，則b / c.【答案】共線4. 在直角坐標系中，畫出下面的向量：|a|= 4，a的方向與x軸正方向的夾角是30°，與y軸正方向的夾角是120°；|b|= 4，

17、b的方向與x軸正方向的夾角是110°，與y軸正方向的夾角是20° .【解析】根據(jù)與x軸正方向的夾角可以得到兩個向量，再根據(jù)與y軸正方向的夾角可以將向量確定下來.a， b如圖所示.5. 如圖，在菱形ABCI中，可以用一條有向線段表示的向量是（）.A. 、B.、C. 、 D.、【解析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，有 DC AB又與的方向相同，故 =.【答案】B6. 正n邊形有n條邊，它們對應(yīng)的向量依次為 a1，a2，a3，an，則這n個向量（）.A.都相等 B.都共線 C.都不共線D.模都相等【解析】正n邊形各邊長相等，可知 D正確.【答案】D7. 把平行于某一直線的一切向量歸結(jié)到共同的始點，則終點所構(gòu)成的圖形是若這些向量為單位向量，則終點構(gòu)成的圖形是【解析】共線向量的特點是方向相同或相反，所以把平行于某一直線的一切向量歸結(jié)到相同的始點時，則終點落在同一條直線上；單位向量的長度為1，方向只有兩個，所以終點會構(gòu)成兩個點【答案】一條直線兩個點8. 如圖，四邊形ABC和四邊形ABD都是平行四邊形.試求：(1) 與向量相等的向量；(2) 與向量共線的向量.【解析