一節(jié)未按教學設計完成的課正弦定理

1、正弦定理教學案例汾西一中 劉惠文一、背景介紹結合新課標課改的精神和我?！耙匀藶楸尽钡慕逃砟畹闹笇?，高中數學教學不僅僅局限于接受、記憶、模仿和練習，更應該倡導自主探究、動手實踐、合作交流、閱讀自學等數學學習方式，使學生的學習過程成為教師引導下的“再創(chuàng)造”的過程。 2013年4月29日上午第一節(jié)在高二227班（重點班）講的示范課，正弦定理第一課時。本節(jié)內容安排在普通高中課程標準實驗教科書·數學必修5（人教A版）第一章，正弦定理第一課時，是在高一學生了三角等知識之后，顯然是對三角知識的應用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中直角三角形內容的直接延伸，因而定理本身的應用又十分廣泛。本

2、課“正弦定理”，作為單元的起始課，為后續(xù)內容作知識與方法的準備，是在學生已有的三角函數及向量知識的基礎上，通過對三角形邊角關系作量化探究，發(fā)現并掌握正弦定理（重要的解三角形工具），解決簡單的三角形度量問題。本節(jié)教學重點：正弦定理的發(fā)現與證明；正弦定理的簡單應用。1、設計思想根據實際教學處理，本節(jié)課采用探究式課堂教學模式，輔以討論法以及多媒體演示法。即在教學過程中，在教師的啟發(fā)引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以問題為導向設計教學情境，以“正弦定理的發(fā)現和證明”為基本探究內容。分為三個階段：第一階段教師通過引導學生學生對實際問題的探索，并大膽提出猜想；第二階段由猜想入手，帶著疑問，以及特殊

3、三角形中；邊角的關系的驗證，通過“作高法”、 “向量法”等多種方法證明正弦定理，驗證猜想的正確性；第三階段利用正弦定理解決引例，最后進行簡單的應用。學生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現和證明，感受“觀察實驗猜想證明應用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質和勇于求真的精神，逐步培養(yǎng)學生發(fā)現問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。2、學情分析對普通高一的學生來說，在初中，學生已經學習了三角形的邊和角的基本關系、全等三角形等與三角形有關的基礎知識；同時在必修4 ，學生也學習了三角函數、向量三角恒等變換以及平面向量等內容。這些為學生學習正弦定理提供了堅實的基礎。正弦定理是初中解

4、直角三角形的延伸，是揭示三角形邊、角之間數量關系的重要公式，在物理學等其它學科、工業(yè)生產以及日常生活等常常涉及解三角形的問題。 但學生對前后知識間的聯系、理解、應用有一定難度。而且學生基礎差、底子薄，數學運算能力，分析問題、解決問題的能力，邏輯推理能力，思維能力都比較弱，所以在設計課的時候往往要多作鋪墊，教學中以討論法（師生對話、生生討論）為主，以發(fā)現法、類比法、接受法、練習法為輔。3、出現狀況講課中，第一階段的引導、猜想順利完成，第二階段由猜想入手，帶著疑問，以及特殊三角形中；邊角的關系的驗證，通過“作高法”、 “向量法”等多種方法證明正弦定理，驗證猜想的正確性，也完成了 。本來一句“大家還

5、有其他的證明方法嗎？”再來一句“還有很多，有興趣的同學下去試一試?！本屯轮v第三階段了，但是二、教學片段上面我們結合實例，引出正弦定理的構造=，是否任意三角形都有這種邊角關系呢？1、探索發(fā)現猜想老師：我們先通過特殊例子檢驗=是否成立，舉出特例，給學生指明一個方向。如圖一的第一個圖中，在ABC中，A=B=C=60o，對應的邊長a：b：c=1，對應角的正弦值分別為，；引導學生考察，的關系學生1：:它們相等，都是 如圖一的第二個圖中，在ABC中，A=B=45o，C=90o，對應的邊長a=b=1，c=，對應角的正弦值分別為，1；學生2：:它們相等，都是 如圖一的第三個圖中，在 ABC中，A，B，C分別

6、為30o，60o，90o，對應的邊長a=1，b=，c=2，對應角的正弦值分別為，1； 學生3：:它們相等，都是2老師：下面我們考慮任意的RtABC，結論如何？學生4：思考交流得出，如圖2，在RtABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,則有sinA=, sinB=,又sinC=1=,則=c從而在直角三角形ABC中，=老師：更進一步，對于任意三角形是否有=呢？學生按事先安排分組，讓學生閱讀，質疑提問：有什么不明白的地方或者有什么問題嗎？（如果學生沒有問題，教師讓學生動手計算。）學生：分組互動，每組畫一個三角形，席量出三邊和三個角度數值，通過實驗數據計算，比較、的近似值。老師：放映利用幾何畫板制作

7、的多媒體動畫，畫面將顯示：不管三角形的邊、角如何變化， 比值：，的值都會相等。我們猜想：=設計意圖：讓學生體驗數學實驗，激起學生的好奇心和求知欲望。學生自己進行實驗，體會到數學實驗的歸納和演繹推理的兩個側面。2、探索證明定理老師：我們通過驗證知道結論成立，那么對任意的三角形，如何用數學的思想方法證明=呢？前面探索過程對我們有沒有啟發(fā)？學生分組討論，每組派一個代表總結。學生5：在三角形中，如圖3設BC=a，CA=b,AB=c作：ADBC，垂足為D在RtABD中，sinB=AD=AB·sinB=c·sinB 在RtADC中，sinC=AD=AC·sinC=b·

8、;sinCc·sinB=b·sinC=同理，在ABC中，=學生6：不對，如果是鈍角三角形，就不對，如圖4老師：( _ )不錯嘛，由于鈍角三角形與銳角三角形的高位置不同，得重新考慮，那么同學6說一說你的證明方法。學生6： 在鈍角三角形中，如圖4設C為鈍角，BC=a,CA=b,AB=c作ADBC交BC的延長線于D，在RtADB中，sinB=AD=AB·sinB=c·sinB,在RtADC中，sinACD=AD=AC·sinACD=b·sinACBc·sinB=b·sinACB=同銳角三角形證明可知=3、深入探討研究老師

9、：我們把這條性質稱為正弦定理。在向量中，我也學過·=··cos,這與邊的長度和三角函數值有較這密切的聯系，是否能夠利用向量來證明正弦定理？師生共同復習利用向量數量積解決數學問題的方法：先找向量等式，再同乘某一向量來處理。學生7：思考（聯系作高的思想）得出：在銳角三角形ABC中，=，作單位向量垂直于AC，·=··即0=c·cos(90o-A)a·cos(90o-C)c·sinA-a·sinC=0=（圖5）對于鈍角三角形，直角三角形的情況作簡單交代。老師：大家還有其他的證明方法嗎？（本來這節(jié)課準備到

10、此為止，講例題，可有學生亟不可待的站起來。）學生8：可借助初中所學過的面積公式和三角函數知識思考得出。老師：很好，你上來給咱們證明一下。學生8講解：如圖6，對于任意ABC，由初中所學過的面積公式可以得出：SABC=AC·BD=CB·AE=BA·CF，而由圖中可以看出：sinBAC=,sinACB=,sinABC=,BD=AB·sinBAC,AE=AC·sinACB,CF=BC·sinABCSABC=AC·BD=CB·AE=BA·CF=AC·AB·sinBAC=CB·CA

11、83;sinACB=BA·BC·sinABC=b·c· sinBAC=a·b· sinACB=c·a· sinABC等式b·c· sinBAC=a·b· sinACB=c·a· sinABC中均除以abc后可得=即=。（講到此，我突然發(fā)現可講在高中最常見的三角形面積公式：SABC =absinC）老師：在剛才的證明過程中大家是否發(fā)現三角形高AE=c· sinABC=a· sinABC,三角形的面積：SABC=a·AE，能否得到

12、新面積公式。學生9：我見過，SABC=a·AE c·a·sinABC得到三角形面積公式SABC =absinC=casinB=bcsinA（既然課上的這兒，那就不如往下講正弦定理的完整公式=2R）老師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：、都等于同一個比值k，那么它們也相等，這個k到底有沒有什么特殊幾何意義呢？學生討論，不知道該如何處理。老師提示先考慮RtABC中學生10：在前面的檢驗中，RtABC中，（圖7）=c,c是斜邊。（此時及時提醒：斜邊c在直角三角形中恰可做為三角形外接圓的直徑。）老師：那么對于一般三角形呢？這個k到底有沒有什么特殊幾何意義呢？學生討論了半天

13、，學生11：好像應該是：k=c=2R，即正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑2R老師：如何證明呢？學生討論激烈，老師參與并提示、引導先畫三角形的外接圓，把一般三角形轉化為直角三角形來處理。終于有學生做出來了?？纱藭r下課鈴響了。（如學生12已作出結論：k=c=2R作ABC的外接圓O，O為圓心，連接BO并延長交圓O于B/，把一般三角形轉化為直角三角形。證明：連接BO并延長交圓于B/（圖8）B/AB=90O，B/=C在RtB/AB中，=B/B=B/B=2R即=2R，同理可證：=2R，=2R=2R）老師：同學們，部分同學已證明，比如同學12，下去以后再研究，完善一下步驟。我們本節(jié)課通過“作高法”、“向

14、量法”、“等積法”、“外接圓法”等方法證明正弦定理，由于時間有限，對正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學回家再探索。臨時設計意圖:經歷證明猜想的過程，進一步引導啟發(fā)學生利用已有的數學知識論證猜想，力圖讓學生體驗數學的學習過程。三、教學反思本節(jié)課中，教師立足于所創(chuàng)設的情境，通過學生自主探索、合作交流，親身經歷了提出問題、解決問題、應用反思的過程，學生成為正弦定理的“發(fā)現者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實，為今后的“定理教學”提供了一些有用的借鑒。 本節(jié)課是正弦定理教學的第一節(jié)課，課堂思維容量大，教學進度受學生的思維水平的影響；教學中容易出現突發(fā)事件影響教學進度；象本節(jié)課，面積公式證明法，以及完整正弦定理在備課時就沒想到要講，學生提供出新的證法，教師在此適時拓展，講到了三角形的新面積公式，接著提出完整正弦定理。課講到此，正好是一節(jié)完整地定理證明課，有證明，有拓展。而高227班是個重點班，學生學習興趣濃，主動性強，本節(jié)課才講下來。因此在教學中，教師要靈活處理隨機事件的能力高，在組織教學中，采取“讓學生走上講臺”、 “師生、生生討論”等模式，形成學生主動觀察、分析、歸納、探究、猜想、證明為主線的，教師的主導作用，真正體現了新課改的理念。這節(jié)課雖然沒有完成最開始的設想，但我感覺本節(jié)課卻達到了意想不到的效果，并得到三角形面積公式。因此