第一節(jié)+空間解析幾何基礎(chǔ)知識(shí)ppt課件

1、第七章第七章多元函數(shù)微積分多元函數(shù)微積分 前面幾章討論的函數(shù)都只有一個(gè)自變量前面幾章討論的函數(shù)都只有一個(gè)自變量, ,稱一稱一元函數(shù)元函數(shù). .但在實(shí)際問題中但在實(shí)際問題中, ,往往牽涉到多方面的因往往牽涉到多方面的因素素, ,反映到數(shù)學(xué)上反映到數(shù)學(xué)上, ,就是一個(gè)變量依賴于多個(gè)變量就是一個(gè)變量依賴于多個(gè)變量的情形的情形, ,這就提出了多元函數(shù)以及多元函數(shù)微積分這就提出了多元函數(shù)以及多元函數(shù)微積分問題問題. .本章將在一元微積分的基礎(chǔ)上本章將在一元微積分的基礎(chǔ)上, ,討論多元函討論多元函數(shù)的微分法和積分法數(shù)的微分法和積分法. .主要討論二元的情況主要討論二元的情況. . 第一節(jié)第一節(jié) 空間解析幾

2、空間解析幾何基礎(chǔ)知識(shí)何基礎(chǔ)知識(shí)一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系1、坐標(biāo)系的建立、坐標(biāo)系的建立在空間中取定一點(diǎn)在空間中取定一點(diǎn)O O， 定點(diǎn)定點(diǎn)ox橫軸橫軸y縱軸縱軸過過O O點(diǎn)作三條相互垂直點(diǎn)作三條相互垂直的數(shù)軸的數(shù)軸Ox, Oy, Oz, Ox, Oy, Oz, 各軸上再規(guī)定一個(gè)共同的長度單位，這就構(gòu)成各軸上再規(guī)定一個(gè)共同的長度單位，這就構(gòu)成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系。了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系。 稱稱O O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)， z豎軸豎軸稱數(shù)軸稱數(shù)軸Ox, Oy, OzOx, Oy, Oz為坐標(biāo)軸，為坐標(biāo)軸， 坐標(biāo)軸確定的平面為坐標(biāo)平面，簡稱坐標(biāo)軸確定的平面為坐標(biāo)平面，簡稱xy, yz, xz

3、 xy, yz, xz 平平面面. . 稱由兩稱由兩一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系1、坐標(biāo)系的建立、坐標(biāo)系的建立 定點(diǎn)定點(diǎn)ox橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸的正方三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合右手系向符合右手系.即以右手握住即以右手握住 z z 軸，軸，當(dāng)右手的四個(gè)手指當(dāng)右手的四個(gè)手指度轉(zhuǎn)向度轉(zhuǎn)向 y y 軸正向時(shí)，軸正向時(shí)，大拇指的指向就是大拇指的指向就是 z 軸的正向軸的正向.從從 x x 軸正向以軸正向以 角角2 xyozxoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限空間的點(diǎn)空間的點(diǎn)有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11特

4、殊點(diǎn)的表示特殊點(diǎn)的表示:)0 , 0 , 0(O)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)軸上的點(diǎn),P,Q,R坐標(biāo)面上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn),A,B,Cxyzo),(zyxM 一個(gè)分量為零一個(gè)分量為零: :點(diǎn)在坐標(biāo)面上點(diǎn)在坐標(biāo)面上. . 兩個(gè)分量為零兩個(gè)分量為零: :點(diǎn)在坐標(biāo)軸上點(diǎn)在坐標(biāo)軸上. . 2、簡單的幾何問題、簡單的幾何問題1 1 兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離POxyzRQR1R2P2P1Q1Q2M2M1N, ),(1111zyxM設(shè)設(shè)),(2222zyxM為空間兩點(diǎn)為空間兩點(diǎn),兩點(diǎn)間的距離公式：兩點(diǎn)間的距離公式：

5、 22122122121)()()(|zzyyxxMM 在在 z 軸上求與兩點(diǎn)軸上求與兩點(diǎn) A(4, 1, 7) 和和B(3, 5, 2)等距離的點(diǎn)等距離的點(diǎn).設(shè)該點(diǎn)為設(shè)該點(diǎn)為M(0, 0, z) ,由題設(shè)由題設(shè) |MA| = |MB| ,即即222222)2()05()03()7()01()04( zz 解得解得，914 z即所求點(diǎn)為即所求點(diǎn)為.)914, 0, 0(M例例1 1解解 M0建建立立球球心心在在點(diǎn)點(diǎn)),(0000zyxM、半半徑徑為為 R 的的球球面面方方程程. M R設(shè)設(shè)),(zyxM是球面上任一點(diǎn)，是球面上任一點(diǎn)， ，RMM |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有，即即Rzzyyxx 2

6、02020)()()( .)()()(2202020Rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為.2222Rzyx 2 2 球面方程球面方程求求球球面面方方程程02642222 zyxzyx的的球球心心和和半半徑徑. 例例2 2解解2642222 zyxzyx,0214)3()2()1(222 zyx即即,16)3()2()1(222 zyx因而，球心為因而，球心為(1,-2,3)(1,-2,3)，半徑為，半徑為R = 4. R = 4. F (x, y, z) = 0 Sxyzo定義定義: 若曲面若曲面S與三元方程與三元方程F (x, y, z)

7、= 0 有如下關(guān)系有如下關(guān)系:(1) S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程方程F (x, y, z) =0;(2)坐標(biāo)滿足方程坐標(biāo)滿足方程F (x, y, z) =0的點(diǎn)都在的點(diǎn)都在S上上;那末那末, 方程方程F (x, y, z) =0叫做曲面叫做曲面S的方程的方程, 而曲面而曲面S叫做方程叫做方程F (x, y, z) =0的圖形的圖形 .二、曲面及其方程二、曲面及其方程已已知知)3 , 2 , 1(A，)4 , 1, 2( B，求求線線段段AB的的垂垂直直平平分分面面的的方方程程. 例例3 3解解設(shè)設(shè)),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，根據(jù)題意有根據(jù)題意有|,|

8、MBMA 222)3()2()1( zyx,)4()1()2(222 zyx化簡得所求方程化簡得所求方程.07262 zyx三、常見的空間曲面三、常見的空間曲面1 1 平面平面0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程: : 其中其中 A,B,C A,B,C 不全為零不全為零. .,0 z例如：例如：面面即即xoyxyoz,1 yxyoz(0,1,0)三、常見的空間曲面三、常見的空間曲面1 1 平面平面0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程: : 其中其中 A,B,C A,B,C 不全為零不全為零. .,0 yx例如：例如：,2 zyxxyozoy(2,0,0)xz(0,2,0)(

9、0,0,2)2 zyx定義定義觀察柱面的形成過觀察柱面的形成過程程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 C C 移動(dòng)的直線移動(dòng)的直線 L L 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .這條定曲線這條定曲線 C 叫叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線線L叫柱面的母線叫柱面的母線.2 2 柱面柱面播放播放xyzo例如例如: 考慮方程考慮方程 x2 + y2 = R2 所表示的曲面所表示的曲面.在在xoy面上面上, x2 + y2 = R2 表示表示以原點(diǎn)以原點(diǎn)O為圓心為圓心, 半徑為半徑為R的圓的圓.曲面可以看作是由平行曲面可以看作是由平行于于 z 軸的直線軸的直線L沿沿xoy面上的

10、面上的圓圓 x2 + y2 = R2 移動(dòng)而形成移動(dòng)而形成, 稱該曲面為圓柱面稱該曲面為圓柱面.ol畫出下列柱面的圖形畫出下列柱面的圖形:xozyxozy2xy 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面方程方程F (x, y) = 0 表示表示:母線平行于母線平行于 z 軸的柱面軸的柱面, 準(zhǔn)線為準(zhǔn)線為xoy 面上的曲線面上的曲線 00),(:zyxFCxozy類似類似: 方程方程F (x, z) =0 表示表示:母線平行于母線平行于 y 軸的柱面軸的柱面, 準(zhǔn)線準(zhǔn)線為為xoz面上的曲線面上的曲線 C: F (x, z) = 0 , y = 0 .方程方程F (y, z) =0 表示表示:母線平行于母線

11、平行于 x 軸的柱面軸的柱面, 準(zhǔn)線為準(zhǔn)線為yoz面上的曲線面上的曲線 C: F (y, z) = 0 , x = 0 .例例4 4 指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？何中分別表示什么圖形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy解解平平行行于于y軸軸的的直直線線平平行行于于yoz面面的的平平面面圓圓心心在在)0 , 0(，半半徑徑為為2的的圓圓以以z軸為中心軸的圓軸為中心軸的圓柱面柱面 斜率為斜率為1的直線的直線平平行行于于z軸軸的的平平面面 平面解析幾何中平面解析幾何中空間解析幾何中空間解析幾何中2 x42

12、2 yx1 xy方程方程3 3 二次曲面二次曲面三元二次方程三元二次方程0 321321232221 dzcycxcyzbxzbxybzayaxa所表示的曲面稱為二次曲面，所表示的曲面稱為二次曲面，其其中中iiba ,不不全全為為零零。 二次曲面方程經(jīng)過配方和適當(dāng)選取空間直角坐二次曲面方程經(jīng)過配方和適當(dāng)選取空間直角坐標(biāo)系后，可以化成如下幾種標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)系后，可以化成如下幾種標(biāo)準(zhǔn)形式. . zxyO用坐標(biāo)面用坐標(biāo)面z = 0 , x = 0和和y = 0去截割去截割,分別得橢圓分別得橢圓 012222zbyax1222222 czbyax,012222 xczby.012222 yczax(1)

13、橢球面橢球面橢球面的幾種特殊情況：橢球面的幾種特殊情況：旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面球面球面球面方程可寫為球面方程可寫為, )1(ba 1222222 czayax, )2(cba 1222222 azayax.2222azyx (2) 單葉雙曲面單葉雙曲面 xyoz1222222 czbyax(3) 雙葉雙曲面雙葉雙曲面xyo1222222 czbyaxoxzy(4) 橢圓錐面橢圓錐面22222zbyax 特殊情況：特殊情況：,ba 2222zayx -圓錐面圓錐面. .(3) 橢圓錐面橢圓錐面22222zbyax 特殊情況：特殊情況：,ba 2222zayx -圓錐面圓錐面. .若方程為若方程為)

14、0( 22 kyxkz則圖形如右圖則圖形如右圖oxzyxyzozxyo(5) 橢圓拋物面橢圓拋物面zqypx222 )(同號(hào)同號(hào)與與qp0,0 qp0,0 qpxyzo(5) 橢圓拋物面橢圓拋物面0,0 qp特殊情況：特殊情況：,qp pzyx222 -旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面. .zqypx222 )(同號(hào)同號(hào)與與qp(6) 雙曲拋物面雙曲拋物面(馬鞍面馬鞍面)xyzozqypx222 )(同號(hào)同號(hào)與與qpxzyo(6) 雙曲拋物面雙曲拋物面(馬鞍面馬鞍面)zqypx222 橢圓柱面橢圓柱面 12222 byax還有三種以二次曲線為準(zhǔn)線的柱面：還有三種以二次曲線為準(zhǔn)線的柱面：拋物柱面拋物柱面 )

15、0(22 ppyx雙曲柱面雙曲柱面 12222 byax四、平面區(qū)域的概念及其解析表示四、平面區(qū)域的概念及其解析表示平面上具有某種性質(zhì)平面上具有某種性質(zhì)P P的點(diǎn)的集合的點(diǎn)的集合, ,稱為平面點(diǎn)集稱為平面點(diǎn)集, ,P),(),(具具有有性性質(zhì)質(zhì)yxyxE 例如例如, ,平面上以原點(diǎn)為中心、平面上以原點(diǎn)為中心、r r為半徑的圓內(nèi)為半徑的圓內(nèi)所有點(diǎn)的集合可表示為所有點(diǎn)的集合可表示為 ),(222ryxyxC xyor記作記作 設(shè)設(shè)),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)， 是是某某一一正正數(shù)數(shù)，與與點(diǎn)點(diǎn)),(000yxP距距離離小小于于 的的點(diǎn)點(diǎn)),(yxP的的全全體體，稱稱為為點(diǎn)

16、點(diǎn)0P的的 鄰鄰域域，記記為為),(0 PU， 1.1.鄰域鄰域0P ),(0 PU|0 PPP.)()(| ),(2020 yyxxyx點(diǎn)點(diǎn)0P的的去去心心 鄰鄰域域, ,記記作作),(0 PU, ,即即 )()(0),(),(20200 yyxxyxPU2.2.區(qū)域區(qū)域不包含邊界的區(qū)域稱為開區(qū)域不包含邊界的區(qū)域稱為開區(qū)域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo 區(qū)域是由一條或幾條曲線區(qū)域是由一條或幾條曲線( (或直線或直線) )所圍成的平所圍成的平面的一部分面的一部分. .包含邊界的區(qū)域稱為閉區(qū)域包含邊界的區(qū)域稱為閉區(qū)域xyo用不等式

17、用不等式( (組組) )表示區(qū)域表示區(qū)域: :0| ),( yxyxxyoab)(xfy )(xgy ),()(| ),(bxaxfyxgyxD 用不等式用不等式( (組組) )表示區(qū)域表示區(qū)域: :),()(| ),(dycyxyyxD xyocd)(yx )(yx 練習(xí)：練習(xí)：P324 習(xí)題七習(xí)題七定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線移動(dòng)的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CLCL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線，動(dòng)直線 叫叫柱面的母線柱面的母線.定義定義三、柱面三、柱

18、面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線移動(dòng)的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線，動(dòng)直線 叫叫柱面的母線柱面的母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線移動(dòng)的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線，動(dòng)直線 叫叫柱面的母線柱面的母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線

19、并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線移動(dòng)的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線，動(dòng)直線 叫叫柱面的母線柱面的母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線移動(dòng)的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線，動(dòng)直線 叫叫柱面的母線柱面的母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線移動(dòng)的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線，動(dòng)直線 叫叫柱面的母線柱面的母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線移動(dòng)的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線，動(dòng)直線 叫叫柱面的母線柱面的母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過