4計算區(qū)域與控制方程的離散化ppt課件

1、5 計算區(qū)域與控制方程的計算區(qū)域與控制方程的離散化離散化 1、區(qū)域離散化：即對空間上連續(xù)的計算區(qū)域進行剖分，把它劃、區(qū)域離散化：即對空間上連續(xù)的計算區(qū)域進行剖分，把它劃分成許多個子區(qū)域，并確定每個區(qū)域中的節(jié)點，這一過程又分成許多個子區(qū)域，并確定每個區(qū)域中的節(jié)點，這一過程又稱為網(wǎng)格生成。稱為網(wǎng)格生成。2、離散化方程結構：、離散化方程結構：1一個離散化方程關系到一組網(wǎng)格節(jié)點上的一個離散化方程關系到一組網(wǎng)格節(jié)點上的值，通常它表現(xiàn)值，通常它表現(xiàn)為代數(shù)方程，是由支配為代數(shù)方程，是由支配的微分方程推導而來，并表示與該微的微分方程推導而來，并表示與該微分方程相同的物理信息，一個微分方程變成一組代數(shù)方程組；分

2、方程相同的物理信息，一個微分方程變成一組代數(shù)方程組；2離散化方程只與少數(shù)幾個網(wǎng)格節(jié)點有關，網(wǎng)格節(jié)點上的離散化方程只與少數(shù)幾個網(wǎng)格節(jié)點有關，網(wǎng)格節(jié)點上的值值只影響其相鄰節(jié)點的只影響其相鄰節(jié)點的值；值；3對一個微分方程，離散化方程不只一個，取決于關于的假設對一個微分方程，離散化方程不只一個，取決于關于的假設以及差分的階數(shù)。但當網(wǎng)格節(jié)點數(shù)目很大時，相鄰節(jié)點間以及差分的階數(shù)。但當網(wǎng)格節(jié)點數(shù)目很大時，相鄰節(jié)點間值值變化很小，關于假設的實際細節(jié)已不重要，此時離散化方程變化很小，關于假設的實際細節(jié)已不重要，此時離散化方程的解即是精確解。的解即是精確解。 控制方程離散化控制方程離散化: 即將描寫流動與傳熱過程

3、的偏微分方程轉化為各即將描寫流動與傳熱過程的偏微分方程轉化為各個節(jié)點上的代數(shù)方程組。個節(jié)點上的代數(shù)方程組。 常用離散化方程的方法：常用離散化方程的方法： 有限差分法中的有限差分法中的Taylor展開法展開法 有限容積法中的控制容積積分法有限容積法中的控制容積積分法 多項式擬合法多項式擬合法 平衡法平衡法5.1 區(qū)域離散化區(qū)域離散化1、區(qū)域離散化的實質：就是用一組有限個離散的點來代替原來、區(qū)域離散化的實質：就是用一組有限個離散的點來代替原來的連續(xù)空間。的連續(xù)空間。2、實施過程是：把所計算的區(qū)域劃分成許多個互不重疊的子區(qū)、實施過程是：把所計算的區(qū)域劃分成許多個互不重疊的子區(qū)域域sub-domain

4、），確定每個子區(qū)域中的節(jié)點位置及該），確定每個子區(qū)域中的節(jié)點位置及該結點所代表的控制容積結點所代表的控制容積control volume）。）。3、離散化結束后，得到、離散化結束后，得到4種幾何要素種幾何要素 節(jié)點：需要求解的未知量的幾何位置；節(jié)點：需要求解的未知量的幾何位置；控制容積：應用控制方程或守恒定律的最小幾何單位；控制容積：應用控制方程或守恒定律的最小幾何單位；界面：它規(guī)定了與各節(jié)點相對應的控制容積的分界面位置；界面：它規(guī)定了與各節(jié)點相對應的控制容積的分界面位置；網(wǎng)格線：沿坐標軸方向連接相鄰兩節(jié)點而形成的曲線簇圍成網(wǎng)格線：沿坐標軸方向連接相鄰兩節(jié)點而形成的曲線簇圍成的的 區(qū)域）區(qū)域）

5、5. 2 兩類設置節(jié)點的方法兩類設置節(jié)點的方法視節(jié)點在子區(qū)域中位置的不同將離散化方法分成兩大類：視節(jié)點在子區(qū)域中位置的不同將離散化方法分成兩大類：1、外節(jié)點法：子區(qū)域不是控制容積。為確定各節(jié)點的控制、外節(jié)點法：子區(qū)域不是控制容積。為確定各節(jié)點的控制容積容積,需要在相鄰兩節(jié)點的中間位置上做界面線，由這些需要在相鄰兩節(jié)點的中間位置上做界面線，由這些界面線構成各節(jié)點的控制容積界面線構成各節(jié)點的控制容積.即先節(jié)點后界面。即先節(jié)點后界面。2、內節(jié)點法：節(jié)點位于子區(qū)域的中心，這時子區(qū)域就是控、內節(jié)點法：節(jié)點位于子區(qū)域的中心，這時子區(qū)域就是控制容積。即先界面后節(jié)點。（離散化方程適用于任何特定制容積。即先界面

6、后節(jié)點。（離散化方程適用于任何特定的控制容積面構成方法，但對邊界條件的離散有影響。）的控制容積面構成方法，但對邊界條件的離散有影響。） 5. 3 兩種命名方法：兩種命名方法：區(qū)域離散后，為建立節(jié)點的離散方程，還需對節(jié)點及有關幾何要素的命名方法做出規(guī)定當對離散方程進行特性分析時采用i-j-n表示法，即節(jié)點i,j），與該節(jié)點相鄰的界面i+1/2，i-1/2，j+1/2，j-1/2。其他采用P，N ，E，W，S表示所研究的節(jié)點及相鄰的四個節(jié)點，用n，e，w，s表示相應的界面。用上標0表示非穩(wěn)態(tài)問題中上一 時層的值。x表示相鄰兩點間的距離x 表示相鄰兩界面間的距離。5.4 非均勻網(wǎng)格非均勻網(wǎng)格1、當體

7、系龐大時，不同區(qū)域、當體系龐大時，不同區(qū)域T變化有陡有緩；網(wǎng)格間距應當變化有陡有緩；網(wǎng)格間距應當直接與因變量在計算區(qū)域內的變化聯(lián)系起來。（如靠近熱直接與因變量在計算區(qū)域內的變化聯(lián)系起來。（如靠近熱源源dt/dx大，網(wǎng)格間距可密些，靠近邊界可稀些；薄板坯大，網(wǎng)格間距可密些，靠近邊界可稀些；薄板坯加熱中心加熱中心80%區(qū)域可稀些，角部區(qū)域可稀些，角部20%處可密些；鋼包吹氣處可密些；鋼包吹氣時，只有網(wǎng)格加密才可發(fā)現(xiàn)二次渦。）時，只有網(wǎng)格加密才可發(fā)現(xiàn)二次渦。）2、如何設計一個合適的非均勻網(wǎng)格？、如何設計一個合適的非均勻網(wǎng)格？1由所要得到解的某些定性的預計而得知些指導；由所要得到解的某些定性的預計而得

8、知些指導；2可用初步的粗網(wǎng)格解來求得可用初步的粗網(wǎng)格解來求得tx變化形式，而后可以構成變化形式，而后可以構成一個合適的非均勻網(wǎng)格。一個合適的非均勻網(wǎng)格。5.5 結構化網(wǎng)格結構化網(wǎng)格structured grid)1、結構化網(wǎng)格：給出節(jié)點的編號，立即可以得出其、結構化網(wǎng)格：給出節(jié)點的編號，立即可以得出其相鄰節(jié)點的編號。相鄰節(jié)點的編號。優(yōu)點：生成方法簡單優(yōu)點：生成方法簡單缺陷：對不規(guī)則區(qū)域的適應性比較差。缺陷：對不規(guī)則區(qū)域的適應性比較差。2、非結構化網(wǎng)格、非結構化網(wǎng)格unstructured grid）：對不規(guī)則）：對不規(guī)則區(qū)域的適應性強，但網(wǎng)格生成過程則要復雜得多。區(qū)域的適應性強，但網(wǎng)格生成過程

9、則要復雜得多。(用適體坐標方法生成網(wǎng)格相當于是做一個變換，即用適體坐標方法生成網(wǎng)格相當于是做一個變換，即把物理空間中的不規(guī)則區(qū)域變換到計算空間中的規(guī)把物理空間中的不規(guī)則區(qū)域變換到計算空間中的規(guī)則區(qū)域，并在其上進行數(shù)值計算）則區(qū)域，并在其上進行數(shù)值計算）5.6 兩類節(jié)點設置方法的比較兩類節(jié)點設置方法的比較當網(wǎng)格劃分均勻時，兩種方法所形成的節(jié)點分布在區(qū)域內部趨于一致，僅在坐標軸方向上節(jié)點有半個控制容積厚度的位錯。1邊界節(jié)點所代表的控制容積不同.外節(jié)點法中，邊界節(jié)點代表了半個控制容積；而內節(jié)點法中，則應看成是厚度為零的控制容積的代表，即相當于外節(jié)點法中邊界節(jié)點的控制容積在o時的極限。2當網(wǎng)格不均分時

10、，內節(jié)點法中節(jié)點永遠位處控制容積的中心，而由外節(jié)點法形成的節(jié)點則不然。從節(jié)點是控制容積的代表這一角度看，內節(jié)點法更合理。3當網(wǎng)格不均勻時，外節(jié)點法中界面當網(wǎng)格不均勻時，外節(jié)點法中界面永遠位處兩鄰點的中間位置，而內節(jié)永遠位處兩鄰點的中間位置，而內節(jié)點法則不然。點法則不然。 如界面上的導數(shù)：如界面上的導數(shù)： 則對于內節(jié)點法，計算的精度要低一則對于內節(jié)點法，計算的精度要低一些，但外節(jié)點法計算該面熱流提供了些，但外節(jié)點法計算該面熱流提供了較高精度。較高精度。EPeexx4、程序編制與計算時，由于、程序編制與計算時，由于B法取子區(qū)域為法取子區(qū)域為控制容積，界面自然生成，方便容易得多，控制容積，界面自然生

11、成，方便容易得多，且當所求解的區(qū)域中物性發(fā)生階躍變化的且當所求解的區(qū)域中物性發(fā)生階躍變化的面作為界面，以避免在同一控制容積內物面作為界面，以避免在同一控制容積內物性發(fā)生突變的情形。（如模擬突擴通道中性發(fā)生突變的情形。（如模擬突擴通道中繞堵塞物流動時，各處壁面必須位于控制繞堵塞物流動時，各處壁面必須位于控制體面上；又如一組合固體，把控制容積面體面上；又如一組合固體，把控制容積面放在材料性質發(fā)生突變的地方。）放在材料性質發(fā)生突變的地方。）5.7 關于網(wǎng)格生成問題的進一步說明關于網(wǎng)格生成問題的進一步說明1 為作圖方便，網(wǎng)格是均勻分布的，但在工程實際計算時，網(wǎng)為作圖方便，網(wǎng)格是均勻分布的，但在工程實際

12、計算時，網(wǎng)格常常是不均勻的；在預期所求解的變量變化比較劇烈的地區(qū)格常常是不均勻的；在預期所求解的變量變化比較劇烈的地區(qū)網(wǎng)格分布應該稠密一些。這時要注意兩方面的問題。網(wǎng)格分布應該稠密一些。這時要注意兩方面的問題。1對每個控制容積在不同方向的寬度應該保持一個合適的比例，對每個控制容積在不同方向的寬度應該保持一個合適的比例，對橢圓型問題，不同方向的寬度之比應接近于；只有對于拋對橢圓型問題，不同方向的寬度之比應接近于；只有對于拋物型問題或某個方向的變化率明顯大于另一個方向的橢圓型問物型問題或某個方向的變化率明顯大于另一個方向的橢圓型問題，才適宜采用狹長的控制容積，此時變化劇烈的方向應取較題，才適宜采用

13、狹長的控制容積，此時變化劇烈的方向應取較小的寬度。小的寬度。2在同一坐標方向上相鄰兩子區(qū)域或控制容積寬度的變化應在同一坐標方向上相鄰兩子區(qū)域或控制容積寬度的變化應保持在一個合適的范圍之內。（保持在一個合適的范圍之內。（1.52.0）2在進行實際問題的數(shù)值計算時，網(wǎng)格的生成要經過反復的在進行實際問題的數(shù)值計算時，網(wǎng)格的生成要經過反復的調試與比較，才能獲得適合于所計算的具體問題的網(wǎng)絡。調試與比較，才能獲得適合于所計算的具體問題的網(wǎng)絡。這里包括兩方面的內容。這里包括兩方面的內容。1作為獲得數(shù)值解的網(wǎng)格應當足夠的細密，以致于再進一步作為獲得數(shù)值解的網(wǎng)格應當足夠的細密，以致于再進一步加密網(wǎng)格已經對數(shù)值計

14、算結果基本上沒有影響了。這種數(shù)加密網(wǎng)格已經對數(shù)值計算結果基本上沒有影響了。這種數(shù)值解稱為網(wǎng)格獨立解值解稱為網(wǎng)格獨立解(grid-independent solution)2有時需要根據(jù)初步計算的結果再反過來修改網(wǎng)格，使網(wǎng)格有時需要根據(jù)初步計算的結果再反過來修改網(wǎng)格，使網(wǎng)格疏密的分布與所計算物理量場的局部變化率更好地相適應。疏密的分布與所計算物理量場的局部變化率更好地相適應。這種根據(jù)計算結果而重新調整疏密，自適應網(wǎng)格這種根據(jù)計算結果而重新調整疏密，自適應網(wǎng)格(adaptive)及多重網(wǎng)格及多重網(wǎng)格(AMG).5.8 建立離散方程的建立離散方程的Taylor展開法展開法一維模型方程一維模型方程非守

15、恒型非守恒型 ： 守恒型守恒型 ： 非穩(wěn)項非穩(wěn)項 對流項對流項 擴擴散項散項 源項源項 廣義變量溫度廣義變量溫度,速度，濃度等）速度，濃度等） 相應于的廣義擴散系數(shù)相應于的廣義擴散系數(shù) 廣義源項包括不能歸入非穩(wěn)態(tài)項，廣義源項包括不能歸入非穩(wěn)態(tài)項，對流項及擴散項中的一切其他項）。對流項及擴散項中的一切其他項）。 uStxxx()()uStxxx S5.8.1 守恒型控制方程守恒型控制方程對流項寫成散度形式：對流項寫成散度形式：從微元體角度，以上二式是等價的，但數(shù)值從微元體角度，以上二式是等價的，但數(shù)值計算是對有限大小計算單元進行的，則不計算是對有限大小計算單元進行的，則不同；同；守恒型優(yōu)點：計算

16、可壓縮流動時，激波計算守恒型優(yōu)點：計算可壓縮流動時，激波計算結果光滑穩(wěn)定；不論節(jié)點布置的疏密程度結果光滑穩(wěn)定；不論節(jié)點布置的疏密程度如何，都能保證其對任意大小容積守恒的如何，都能保證其對任意大小容積守恒的特性。特性。5.8.2 Taylor展開法導出的差分方程展開法導出的差分方程1、在有限差分法中，通過把控制方程中的各階導數(shù)用相應、在有限差分法中，通過把控制方程中的各階導數(shù)用相應的差分表達式來代替而形成的離散方程常叫差分方程）的差分表達式來代替而形成的離散方程常叫差分方程）2、又因為各階導數(shù)的差分表達式可由、又因為各階導數(shù)的差分表達式可由Taylor級數(shù)展開而得級數(shù)展開而得到，故得名到，故得名

17、Taylor展開法。展開法。 先看一階、二階導數(shù)差分表達式的導出。先看一階、二階導數(shù)差分表達式的導出。 試將函數(shù)試將函數(shù) ( x,t)在均勻網(wǎng)格中某點在均勻網(wǎng)格中某點(i+1,n)對點對點(i,n)作作Taylor展開，有：展開，有：22,21,.2!i ni nxini nxxx 由此得由此得2,2,1,.21,i ni nini nxxxxini nxx 上式右端中上式右端中o(x)代替了二階及更高階導數(shù)項之和，稱為截斷代替了二階及更高階導數(shù)項之和，稱為截斷誤差，截差表示的是如何隨誤差，截差表示的是如何隨x趨近于零而變小的。如果另一趨近于零而變小的。如果另一個表達式的截差為個表達式的截差為

18、 ，則可以預期，當，則可以預期，當o(x)足夠小時足夠小時，后一表達式比前一表達式更準確，后一表達式比前一表達式更準確. ( i,t) 代表了函數(shù)代表了函數(shù) ( x,t) 在節(jié)點在節(jié)點(I,n)處的精確值。在進行有限差分數(shù)值計算時，處的精確值。在進行有限差分數(shù)值計算時，這一精確值是未知的，只能用其近似值這一精確值是未知的，只能用其近似值 來代替。來代替。 , i nx1,nniii nxxx ， 稱為稱為的向前差分。的向前差分。 ni2x 類似地，向后差分為：類似地，向后差分為：1,nniii nxx，x 11,2nniii nxx2x 如果把函數(shù)如果把函數(shù)x,t)在節(jié)點在節(jié)點(i+1,n),

19、(i-1,n)上對點上對點(I,n)作作Taylor展開，然后相減，可得具有二階精度的中心差分表示式：展開，然后相減，可得具有二階精度的中心差分表示式： ，5.8.3 非穩(wěn)態(tài)項問題非穩(wěn)態(tài)項問題 對于非穩(wěn)態(tài)項問題，則規(guī)定按哪一時刻來計算，對于非穩(wěn)態(tài)項問題，則規(guī)定按哪一時刻來計算，離散方程可分為：離散方程可分為：1、顯式：按每一層的初始時刻之值來計算，所、顯式：按每一層的初始時刻之值來計算，所形成的離散方程形成的離散方程2、全隱格式：按每一層的終了時刻之值計算；、全隱格式：按每一層的終了時刻之值計算；3、CrankNicolson格式：按每一層的中間時格式：按每一層的中間時刻之值計算；刻之值計算；

20、將一維模型方程的精確解在節(jié)點將一維模型方程的精確解在節(jié)點(i-1,n),(i+1,n),(i,n+1) 上對節(jié)點上對節(jié)點(i,n)作作Taylor展開，并展開，并取時間的向前差分、空間的中心差分?？傻茫喝r間的向前差分、空間的中心差分。可得：2( ,1)( , )(1, )(1, )2(1, )2 ( , )(1, )( , )i ni nininutxini ninxS i nHOT 式中符號式中符號HOT代表了所有未寫出的更高階導數(shù)項之和。只代表了所有未寫出的更高階導數(shù)項之和。只有對同一點展開其截差才能相加，得出整個差分方程的截有對同一點展開其截差才能相加，得出整個差分方程的截斷誤差。斷誤

21、差。 為了得到未知函數(shù)為了得到未知函數(shù) 在各節(jié)點上近似值之間在各節(jié)點上近似值之間的代數(shù)關系，的代數(shù)關系，HOT部分必須略去。于是得：部分必須略去。于是得： 11111222nnnnnnnniiiiiiiiuStxx Taylor展開法導出的一維模型方程的一種顯式離散格式展開法導出的一維模型方程的一種顯式離散格式 5.9 控制容積積分法控制容積積分法主要步驟如下：主要步驟如下： 1、將守恒型的控制方程在任一控制容積、將守恒型的控制方程在任一控制容積及時間間隔內對空間與時間作積分。及時間間隔內對空間與時間作積分。 2、選定未知函數(shù)及其導數(shù)對時間及空間、選定未知函數(shù)及其導數(shù)對時間及空間的局部分布曲線

22、，即型線，也就是如何從的局部分布曲線，即型線，也就是如何從相鄰節(jié)點的函數(shù)值來確定控制容積界面上相鄰節(jié)點的函數(shù)值來確定控制容積界面上被求函數(shù)值的插值方式。被求函數(shù)值的插值方式。 3、對各個項按選定的型線作出積分，并、對各個項按選定的型線作出積分，并整理成關于節(jié)點上未知值的代數(shù)方程。整理成關于節(jié)點上未知值的代數(shù)方程。5.9.1 常用的型線常用的型線函數(shù)函數(shù)隨空間及時間隨空間及時間而變化的幾種情形。而變化的幾種情形。在實施控制容積積分法時在實施控制容積積分法時常用的型線有兩種，即分常用的型線有兩種，即分段線性分布及階梯式分布。段線性分布及階梯式分布。5.9.2 控制容積積分法離散方程控制容積積分法離

23、散方程 控制容積控制容積P在時間間隔內作積分，把可積的在時間間隔內作積分，把可積的部分積出后得：部分積出后得： ()()()()()etttttewwttteewtwdxuudtdtSdxdtxx 獲得節(jié)點上未知值間的代數(shù)方程，需要對各項中變量獲得節(jié)點上未知值間的代數(shù)方程，需要對各項中變量的型線的型線作出抉擇。正是在這一步中，引入了對被求量的近似處理方法。作出抉擇。正是在這一步中，引入了對被求量的近似處理方法。 ()()uStxxx ()()etttwtttppdxx1非穩(wěn)態(tài)項非穩(wěn)態(tài)項需選定需選定隨隨x變化的型線，取階變化的型線，取階梯式。梯式。即同一控制容積中各處的即同一控制容積中各處的值相

24、值相同，等于節(jié)點上同，等于節(jié)點上 p 值值于是有：于是有： 2對流項對流項: 隨隨 t 變化采用階梯顯式變化采用階梯顯式 則有：則有：()()()()ttttewewtuudtuut3 、擴散項：、擴散項：一階導數(shù)隨時間一階導數(shù)隨時間t 變化取階梯顯式變化取階梯顯式則得：則得：()()()()ttttewewtdttxxxx及擴散項及擴散項 可以表示成為：可以表示成為： ()x()()()()EPeePWwwxxxx()()()2pEeuuu()()()2WPwuuu取取隨隨x呈分段線性變化，對流項呈分段線性變化，對流項u )表示成為：表示成為： 4、 源項：源項：s對對t及及x均呈階梯式變化

25、，則有：均呈階梯式變化，則有： 其中其中St為源項在為源項在t時刻控制容積中的平均值。時刻控制容積中的平均值。這里為簡便起見，取源項的控制容積的平這里為簡便起見，取源項的控制容積的平均值來完成積分。對于源項是被求解變量均值來完成積分。對于源項是被求解變量的函數(shù)的情況，我們以后還要介紹更合理的函數(shù)的情況，我們以后還要介紹更合理的處理方法。的處理方法。ttettwSdxdtSx t 整理之，得整理之，得 ：2()()22tttttEWPPttttEPWuutxSx ()()ewxxx 采用控制容積積分法得出的一維模型方程的離散形式采用控制容積積分法得出的一維模型方程的離散形式采用均分網(wǎng)格的特性：采

26、用均分網(wǎng)格的特性： 5.9.3 關于型線假設的一些討論關于型線假設的一些討論 在控制容積積分法中，控制容積界面上被在控制容積積分法中，控制容積界面上被求函數(shù)插值方式，即型線的選取是離散過求函數(shù)插值方式，即型線的選取是離散過程中極為重要的。程中極為重要的。1、在有限容積法中選取型線僅是為了導出離、在有限容積法中選取型線僅是為了導出離散方程，一旦離散方程建立起來，型線就散方程，一旦離散方程建立起來，型線就完成了使命而不再具有任何意義。這是有完成了使命而不再具有任何意義。這是有限容積法區(qū)別于有限元法的一個重要方面。限容積法區(qū)別于有限元法的一個重要方面。在有限元法中，型線一旦選定就始終認定在有限元法中

27、，型線一旦選定就始終認定為被求量的函數(shù)形式。為被求量的函數(shù)形式。2、在選取型線時主要考慮的是實施的方便及所形、在選取型線時主要考慮的是實施的方便及所形成的離散方程具有滿意的數(shù)值特性，而不必追求成的離散方程具有滿意的數(shù)值特性，而不必追求一致性。也就是說，同一控制方程中不同的物理一致性。也就是說，同一控制方程中不同的物理量可以有不同的分布曲線；同一物理量對不同的量可以有不同的分布曲線；同一物理量對不同的坐標可以有不同的分布曲線；甚至同一物理量在坐標可以有不同的分布曲線；甚至同一物理量在不同項中對同一坐標的型線都可以不同。不同項中對同一坐標的型線都可以不同。3、型線對于離散方程的求解方法及結果有很大影、型線對于離散方程的求解方法及結果有很大影響。在控制容積積分法中，所謂不同的差分格式，