1.2 分部積分法ppt課件

1、 第四節(jié)第四節(jié) 分部積分法分部積分法對于一些特殊的積分他們就解決不了了。比如對于一些特殊的積分他們就解決不了了。比如直接積分和換元積分法可以解決大量的不定積分的計算直接積分和換元積分法可以解決大量的不定積分的計算, 可是可是xdxln.1Cx？.1lndxxduxu，則設xdxlnxduu？這個積分用直接積分和換元法都無法計算，類似的積分還有很多，這個積分用直接積分和換元法都無法計算，類似的積分還有很多，sin d ,ln d , arctan d ,sin dxxx xxx xx xex x 這些積分可以分部積這些積分可以分部積形如形如分法來計算。分法來計算。設函數(shù)設函數(shù) u= u(x)及及

2、v = v(x)具有連續(xù)的導數(shù)具有連續(xù)的導數(shù), 那么那么()uvu vuv上式兩邊求不定積分上式兩邊求不定積分, , 得得移項得移項得()uvuvu vvdxudxuvdxvu)(.)()( CxFdxxF.易于計算要比 udvvdu，因此轉化時要使轉化為積分此公式是把積分vduudv. 1，可以便于擇適當?shù)氖俏覀冏约哼x擇的，選公式里的vuvu,. 2dduv xuvvu x上述公式稱為分部積分公式上述公式稱為分部積分公式. 使用時要注意：使用時要注意：.積分的計算ddu vuvv udxxfxdf)( )(例例1:1:求求,ln xu 設原式xv .)1ln(2dxx解：解：).2( ,11

3、44P練習：,ln dxxduvuvxxdxxlnlnCxxxln求求1(2)原式.arctan22)1ln(2Cxxxx)1ln()1ln(22xxdxxdxxxxx1lndxxx1lnxdxxxxx21)1ln(22dxxxxx22212)1ln(dxxxxx2221112)1ln(dxxxx)111 (2)1ln(22xdxxxd211)1ln(22uvxxde.dxxexxdxxsin:求練習.2cos xdxx解：.Cexexx原式dxexexxxde例例2 求求當被積函數(shù)是兩個函數(shù)的乘積時，一般要用微分公式把其中當被積函數(shù)是兩個函數(shù)的乘積時，一般要用微分公式把其中一個函數(shù)轉化為積分

4、變量，然后再使用分部積分公式一個函數(shù)轉化為積分變量，然后再使用分部積分公式.例例3 求求原式解：xxd2sin21xd2sin21xdxxx2sin212sin21xxdxx22sin412sin21.2cos412sin21Cxxxxxd cosxdxxxcoscos.sincosCxxx時函數(shù)類似于如果兩個函數(shù)中有一個xxaxxe,cos,sin,xdxxsin注意：.最后利用分部積分公式的形式一起轉化為一般都把這些函數(shù)與dudx當被積函數(shù)為冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積時當被積函數(shù)為冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積時, 注注一般采用分部積分法一般采用分部積分法, 并選擇對數(shù)函數(shù)或反

5、三角函數(shù)為并選擇對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為u.2ln dxx x2ln dxx x 例例4 求求 解解3ln d()3xx33lndln33xxxx321lnd33xxxx331ln39xxxC).1 ( 1 ,:144P練習ddxx233/1x).1 ( 1dxxx) 1ln(2) 1ln(21dxx) 1ln() 1ln(2122xdxxxdxxxxx1) 1ln(2122dxxxxx111) 1ln(2122dxxxxxx11) 1)(1() 1ln(212dxxxxx111) 1ln(212.| 1|ln21) 1ln(2122Cxxxxx例例5 5.dxex求tdtet2解：原式.2,2

6、tdtdxtxxt則設分部積分法也可以和直接積分法、換元法結合起來使用分部積分法也可以和直接積分法、換元法結合起來使用tdtet2ttde2dteettt22.22Ceettt).7( , 1 ,144P練習：1,(7)1,(7).3dxex解：原式.2,2tdtdxtxxt則設te3tdt2dttet 32ttde332dteettt333232tdeettt3332923.923233Ceettt3.解：,)(2xexf的一個原函數(shù)是.222Cexx,)(2Cedxxfx)(xf且.222xxxee)(xfxd( )dxfxxxdxfxxf)()(. 3 ,144P練習：)(xfxd)(xexf且.)(Cedxxfx例例6 6已知已知f(x)的一個原函數(shù)是的一個原函數(shù)是,xe( )dxfxx求求解：因為因為f(x)的一個原函數(shù)是的一個原函數(shù)是,xe( )dxfxxxdxfxxf)()(xxxeeC .xe,cosxdxex練習：求sin dxex xsin dxex x 1sin d(sincos )2xxex xexxCsindsinxxexexsincos dxxexex xsincos dxxexx esincossin dxxxexexex x例例7