山東科技大學(xué)概率論卓相來岳嶸第二章習(xí)題解析

1、 習(xí) 題 二 1. 一袋中裝有5只球，編號依次為1，2，3，4，5.在袋中同時取3只，以表示取出的3只球中的最大的號碼，寫出隨機變量的分布律.解 以表示取出的3只球中的最大的號碼，由古典概型易知的分布律為X3 4 5 2.一批產(chǎn)品包括10件正品，3件次品，有放回地抽取，每次一件，直到取到正品為止.假定每件產(chǎn)品被取到的機會相同，求抽取次數(shù)的分布律.解 抽取產(chǎn)品為伯努里試驗，設(shè)事件=取到正品，事件表示前次均取到次品，而第次首次取到正品，則的分布律3. 自動生產(chǎn)線在調(diào)整之后出現(xiàn)廢品的概率為，當(dāng)在生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時立即重新進行調(diào)整，求在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)的分布律.解 由題設(shè)可知，自動生產(chǎn)線生

2、產(chǎn)產(chǎn)品（廢品與合格品）為貝努里試驗，事件表示首次出現(xiàn)廢品之前已生產(chǎn)個合格品，而生產(chǎn)合格品的概率為，則在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)的分布律為4. 將一顆骰子拋擲兩次，表示兩次中得的小的點數(shù)，求的分布律.解 樣本空間隨機變量的所有取值為,的分布律X1 2 3 4 5 6 5. 試確定常數(shù)，使得下列函數(shù)成為分布律：（1）；（2） 為常數(shù).解 （1） 由 得 （2）由 得 6. 設(shè)在三次獨立試驗中，出現(xiàn)的概率相等，若已知至少出現(xiàn)一次的概率為，求在一次試驗中出現(xiàn)的概率.解 設(shè)在一次試驗中出現(xiàn)的概率為，在三次獨立試驗中，出現(xiàn)的次數(shù)為則.的分布律為 .已知至少出現(xiàn)一次的概率為 ， 7. 一大樓裝有5個同類型

3、的供水設(shè)備.調(diào)查表明在任一時刻每個設(shè)備被使用的概率是0.1，問在同一時刻（1） 恰有2個設(shè)備被使用的概率是多少？（2） 至多有3個設(shè)備被使用的概率是多少？（3） 至少有1個設(shè)備被使用的概率是多少？解 設(shè)在同一時刻被使用設(shè)備的個數(shù)為，則.的分布律為 .于是(1) 恰有2個設(shè)備被使用的概率為(2) 至多有3個設(shè)備被使用的概率是 (3) 至少有1個設(shè)備被使用的概率是8. 甲、乙進行投籃，投中的概率分別為0.6，0.7.今各投3次.求（1）兩人投中次數(shù)相等的概率；（2）甲比乙投中次數(shù)多的概率.解 設(shè)各投3次甲、乙兩人投中的次數(shù)分別為，則.的分布律為 .的分布律為 （1）兩人投中次數(shù)相等的概率為（2）甲

4、比乙生產(chǎn)投中次數(shù)多的概率. 9. 設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺儀器，以概率0.70可以直接出廠，以概率0.30需進一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.80可以出廠，以概率0.,20定為不合格不能出廠。現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了臺儀器（假設(shè)各臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨立），求（1）全部能出廠的概率；（2）其中恰好有兩件不能出廠的概率；（3）其中至少有兩件不能出廠的概率；解 記=“儀器需調(diào)試”，=“儀器能出廠”，=“儀器能直接出廠”，=“儀器經(jīng)調(diào)試后能出廠”， ，設(shè)為所生產(chǎn)的臺儀器中能出廠的臺數(shù)，則作為所生產(chǎn)的次獨立試驗成功（儀器能出廠）的次數(shù)，服從二項分布，即，因此（1）（2）（3）10. 有一繁忙的汽車站，在一天的某段時間內(nèi)出

5、事故的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，問出事故的次數(shù)不少于2的概率是多少？解11. 某一公安局在長度為的時間時隔內(nèi)收到的緊急呼叫次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，而與時間時隔的起點無關(guān)（時間以小時計）。（1）求某一天中午12時至下午3時沒有收到的緊急呼叫的概率：（2）求某一天中午12時至下午5時至少收到一次的緊急呼叫的概率解 （1），（2），12. 實驗器皿中產(chǎn)生甲乙兩類細菌的機會是相等的，且產(chǎn)生的細菌數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，試求（1）產(chǎn)生了甲類細菌但沒有乙類細菌的概率；（2）在已知產(chǎn)生了細菌而且沒有甲類細菌的條件下，有兩個乙類細菌的概率.解（1）的分布律為，個細菌全部是甲類細菌的概率，所以生產(chǎn)了甲類細菌但

6、沒有乙類細菌的概率（2）產(chǎn)生了細菌而且沒有甲類細菌的概率等于生產(chǎn)了甲類細菌但沒有乙類細菌的概率,所以在已知產(chǎn)生了細菌而且沒有甲類細菌的條件下，有兩個乙類細菌的概率為 13. 已知隨機變量的分布律為 -2 -1 0 1 2 4 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 0.1試求關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根的概率.解 若關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則判別式，的一元二次方程有實數(shù)根的概率為14. 從學(xué)校乘汽車到火車站途經(jīng)3個交通崗，每個交通崗的紅燈相互獨立，紅燈出現(xiàn)的概率都為0.4，設(shè)表示“遇到紅燈的次數(shù)”，求的分布律及分布函數(shù).解 設(shè)表示“遇到紅燈的次數(shù)”，易知的分布律為0 1 2 3 即得的分布律

7、0 1 2 3 0.216 0.288 若當(dāng)時，則是不可能事件，所以=0. 當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時，當(dāng)時， 故隨機變量的分布函數(shù)為 ，15. 設(shè)隨機變量服從（0-1）分布，求的分布函數(shù)，并作出其圖形解 分布的分布律寫成表格形式0 1 若當(dāng)時，則是不可能事件，所以=0. 當(dāng)時，當(dāng)時， 故隨機變量的分布函數(shù)為 16. 隨機變量的分布函數(shù)為（1） 當(dāng)為何值時為連續(xù)函數(shù)？（2） 當(dāng)為連續(xù)函數(shù)時，求；（3） 當(dāng)是連續(xù)型隨機變量時，求的概率密度.解 （1）故（2）當(dāng)為連續(xù)函數(shù)時，（3）是連續(xù)型隨機變量時，的概率密度.17. 設(shè)隨機變量的概率密度為（1） 試確定常數(shù)；（2） 隨機變量的分布函數(shù)；（3） 求 解

8、 （1）由于.所以.故X的概率密度為（2）當(dāng)時，.當(dāng)時，.當(dāng)時，故 （3）18. 設(shè)隨機變量的概率密度為求隨機變量的分布函數(shù).解 當(dāng)時，.當(dāng)時，.故 19. 若在（1，6）上服從均勻分布，求方程有實數(shù)根的概率. 解 在（1，6）上服從均勻分布，隨機變量的概率密度為方程若有實數(shù)根，則判別式，方程有實數(shù)根的概率為20. 某種型號的電子管的壽命（以小時計）具有以下的的概率密度現(xiàn)有一大批此種電子管（設(shè)各電子管損壞與否相互獨立），任取5只，求其中至少有2只壽命大于1500小時的概率.解 某只電子管的壽命大于1500小時的概率為任取5只，記壽命大于1500小時的電子管的只數(shù)為，從而21. 某種電器元件的使

9、用壽命（以小時計）服從參數(shù)的指數(shù)分布。（1）任取一個這種電器元件，求能正常使用1000小時以上的概率；（2）有一個這種電器元件，求能正常使用1000小時后還能使用1000小時以上的概率.解 的概率密度為（1）（2）22. 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間（以分計）服從指數(shù)分布，概率密度為某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘，他就離開，他一個月要到銀行5次，以表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出的分布律，并求.解 顧客在窗口未等到服務(wù)而離開的概率為 的分布律23. 假設(shè)一大型設(shè)備在任何長為時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布。（1）求相繼兩次故障之間時間間隔的概率分布；（2）求在

10、設(shè)備已經(jīng)無故障工作8小時的情況下，再無故障運行8小時的概率.解 (1) 由于是非負隨機變量，可知當(dāng)時，當(dāng)時，事件與等價，所以當(dāng)時從而即服從參數(shù)為的指數(shù)分布。（2）24. 設(shè)隨機變量求落在（9.95,10.05）內(nèi)的概率.解 25. 設(shè)隨機變量. 求（1）；（2）；（3）. 解26. 設(shè)隨機變量 求概率.解 27. 已知從某批材料中任取一件時，取得的這種材料的強度服從（1） 計算取得的這些材料的強度不低于170的概率；（2） 如果所用的材料要求以的概率保證強度不低于160，問這批材料是否符合這個要求？解 即從這種材料中任取一件以概率（小于）的概率保證強度不低于160，所以這批材料不符合所提出的要

11、求.28. 某人上班所需的時間（單位：分）.已知上班時間為早晨8點，他每天7點出門.求（1） 每天遲到的概率；（2） 某周（5天計算）最多遲到一次的概率.解 (1) 某人上班所需的時間，已知上班時間為早晨8點，他每天7點出門. 設(shè)每天遲到的概率為，則每天不遲到的概率（2）某周（5天計算）遲到的次數(shù)為.則.的分布律為某周（5天計算）最多遲到一次的概率為29. 在電源電壓不超過200，在和超過三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為，假設(shè)電源電壓服從正態(tài)分布，試求（1）該種電子元件損壞的概率；（2）該種電子元件損壞時，電源電壓在的概率；解 引進下列事件，=電壓不超過200=電壓在=電壓超過，=電子

12、元件損壞，=電源電壓的取值，由條件知，因此(1) 由題設(shè)條件知由全概率公式，(2) 由條件概率公式知30. 已知隨機變量的分布律為 -2 -1 0 1 3試求（1）；（2）的分布律. 解 （1） 1 3 1 9則隨機變量的分布律是 0 1 4 9 (2） -2 -1 0 1 3 1 0 -1 0 2則隨機變量的分布律是 -1 0 1 2 0.2 0.3 0.2 0.331. 假設(shè)隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布，試求隨機變量的概率密度.解 記的分布函數(shù)為，下面先求的分布函數(shù)為. 當(dāng)時，因為，故當(dāng)時,故=對關(guān)于求導(dǎo)，得到的概率密度為 32. 設(shè)的概率密度為試求的概率密度.解 記的分布函數(shù)為，下面先求的分布函數(shù)為.故 =對關(guān)于求導(dǎo)，得到的概率密度為 33. 設(shè)（1）求的概率密度；（2）求的概率密度；（3）求概率密度.解 的概率密度為（1）的概率密度 記的分布函數(shù)為，下面先求的分布函數(shù)為.故當(dāng)時，對關(guān)于求導(dǎo)，得到的概率密度為（2）求的概率密度；當(dāng)時，因為，故.當(dāng)時，有的概率密度（3）求概率密度.當(dāng)時，因為，故當(dāng)時，有概率密度* * * * *34.進行某種試驗，成功的概率為，失敗的概率為.以X表示試驗首次成功所需試驗的次數(shù)，試寫出X的分布律，并計算X取偶數(shù)的